湖南省邵阳市新宁县新宁县3乡镇联考2023-2024学年下学期3月月考九年级数学试题

2024年九年级数学第一次月考试卷一、选择题(共10题；共0.0分)1．(0分)如图，已知矩形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=2，EC=1，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F．下列结论：①△ADF≌△EAB；②AF=BE；③DF平分∠ADC；④sin∠CDF=．其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2．(0分)如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2，BD=3，则AC的长为（）A.3 B.

C.4 D.3．(0分)《几何原本》里有一个图形：在△ABC中，D，E是边AB上的两点（AD＜AE），且满足AD=BE．过点D，E分别作BC的平行线，过点D作AC的平行线，它们将△ABC分成如图的5个部分，其面积依次记为S1，S2，S3，S4，S5．若S2=18，S3=6，则S4的值为（）A.9 B.18 C.27 D.544．(0分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC=4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）A. B.

C. D.5．(0分)如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE=BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①BH垂直平分AE；②AH=DF；③DF=DE；④∠AEF=45°；⑤S四边形EFHG=S△DEF+S△AGH，其中正确的结论有（）个．A.2 B.3 C.4 D.56．(0分)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB=2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y=的图象恰好经过点M，则k的值为（）A. B.

C. D.127．(0分)已知A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，下列三个命题：其中真命题个数是（）

①若x1=y2，则y1=x2；

②若x1=2019，x2=2020，则y1＞y2；

③过A、B两点的直线与x轴、y轴分别交于C、D两点，连接OA、OB，则S△AOC=S△BOD，A.0 B.1 C.2 D.38．(0分)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）A.6 B.-6

C.12 D.-129．(0分)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b（b＞a）

以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A. B.

C. D.10．(0分)某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A.舞蹈社不变，溜冰社减少

B.舞蹈社不变，溜冰社不变

C.舞蹈社增加，溜冰社减少

D.舞蹈社增加，溜冰社不变二、填空题(共7题；共0.0分)11．(0分)如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．12．(0分)将矩形进行如图所示的折叠，使得点恰好落在的延长线上的点处，点落在点处，折痕分别与边、对角线交于点、，连接交边于点．若，，，则的长度为________．13．(0分)如图1，在线段AB上有一点E，若=，则我们称E为AB的黄金分割点．如图2，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连接ON，延长OP至点G，使得OG=ON，以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，若PQ=4，H是PN的黄金分割点，过点O作OI⊥ON交QM于点I，则S△NOI的值为_____．14．(0分)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：

①∠BAE=30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③AE2=AD•AF；④AF=AB+CF．其中正确结论为是_____．（填写所有正确结论的序号）15．(0分)如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，

∠BAC=∠DEC=30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD=1，AD=5，则=_____．16．(0分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，点P（1，2），作△PQR，使△PQR与△ABC相似，以Q、R点必须要格点上_____．（不写作法）17．(0分)若线段a,b,c满足关系=，=，则a：b：c=_____．三、解答题(共5题；共0.0分)18．(0分)在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（-2，-1）、B（-1，-3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．

（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标；

（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标；

（3）△OAB的内部一点M的坐标为（a,b），写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标．19．(0分)如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．（1）求证：；（2）P上一点，，求；（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．20．(0分)在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．

（1）如图1，连接，求的度数和的值；（2）如图2，当点在射线上时，求线段的长；（3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．21．(0分)问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．22．(0分)如图1，在等腰中，，是的中点，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点．（1）若，，求的长；（2）如图2，点恰好是的中点，连接，求证：．

试卷答案1．【答案】B【解析】根据矩形的性质证明△EAB≌△ADF，∠CDF=∠AEB，利用勾股定理求出AB，然后逐一进行判断即可解决问题．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，

∵BE=2，EC=1，

∴AE=AD=BC=3，AB==，

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠AEB，

∵DF⊥AE，

∴∠AFD=∠B=90°，

∴△EAB≌△ADF，

∴AF=BE=2，DF=AB=，故①②正确，

不妨设DF平分∠ADC，则△ADF是等腰直角三角形，这个显然不可能，故③错误，

∵∠DAF+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，

∴∠DAF=∠CDF，

∴∠CDF=∠AEB，

∴sin∠CDF=sin∠AEB=，故④错误，

∴正确的结论有①②．共2个．

故选：B．2．【答案】B【解析】由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD，再证明∠BCD=∠B，CD=BD=3，根据角平分线的性质得到DE=DF，接着利用面积法证明AC：BC=2：3，则设AC=2x,BC=3x,CF=x,然后证明Rt△CDE≌Rt△CDF得到CE=CF=x,所以AE=x,利用勾股定理得到22-（x）2=32-（x）2，解得x=，从而得到AC的长．

解：过D点作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，如图，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACB=2∠BCD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠BCD=∠B，

∴CD=BD=3，

∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DE=DF

∵S△CAD：S△CBD=AD：BD=2：3，

∴DE•AC：DF•BC=2：3，

∴AC：BC=2：3，

设AC=2x,BC=3x,

∵DB=DC，

∴CF=BF=BC=x,

在Rt△CDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），

∴CE=CF=x,

∴AE=x,

∵DE2=DA2-AE2=CD2-CE2，

∴22-（x）2=32-（x）2，解得x=，

∴AC=．

另一种解法：∵∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，

∴∠B=∠ACB，∠BCD=∠ACB，

∴∠B=∠BCD，

∵∠ADC是△BCD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B，

∴∠ADC=∠ACB，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∵AD=2，BD=3，

∴，

解得：AC=．

故选：B．3．【答案】C【解析】连接GF，证明△DHE∽△GHF，可得=（）2，进而可得S4的值．

解：如图，连接GF，

∵AD=BE，DG∥AC，EF∥BC，

∴===，

∵∠DHE=∠GHF，

∴△DHE∽△GHF，

∴=（）2，

∵S2=18，S3=6，

∴=，S△HGF=S3，

∴S△DHE=（）2×3=27，

则S4的值为27．

故选：C．4．【答案】A【解析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE=AE=BE=AB，进而得到∠BEC=2∠A=∠BFC，从而有∠CEF=∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，求出CF，再根据锐角三角函数的定义求解即可．

解：连接BF，

∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，

∴EF是AB的垂直平分线，

∴S△AFE=S△BFE=5，∠FBA=∠A，

∴S△AFB=10=AF•BC，

∵BC=4，

∴AF=5=BF，

在Rt△BCF中，BC=4，BF=5，

∴CF==3，

∵CE=AE=BE=AB，

∴∠A=∠FBA=∠ACE，

又∵∠BCA=90°=∠BEF，

∴∠CBF=90°-∠BFC=90°-2∠A，

∠CEF=90°-∠BEC=90°-2∠A，

∴∠CEF=∠FBC，

∴sin∠CEF=sin∠FBC==，

故选：A．5．【答案】C【解析】先根据正方形的性质和BE=BC得到AB=BE，进而判断BH垂直平分AE，故①正确，然后判断出∠DAE=∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF从而得到②正确，根据三角形的外角求出∠AEF=45°，得出④正确；结合②④可得DF=DE即可得③正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出⑤错误．

解：∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，

∵BE=BC，

∴AB=BE，

∵BG⊥AE，

∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH=∠DBH=22.5°，故①正确；

在Rt△ABH中，∠AHB=90°-∠ABH=67.5°，

∵∠AGH=90°，

∴∠DAE=∠ABH=22.5°，

在△ADE和△CDE中，

，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴∠DAE=∠DCE=22.5°，

∴∠ABH=∠DCF，

在Rt△ABH和Rt△DCF中，

，

∴Rt△ABH≌Rt△DCF（ASA），

∴AH=DF，∠CFD=∠AHB=67.5°，故②正确；

∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，

∴67.5°=22.5°+∠AEF，

∴∠AEF=45°，故④正确；

∵∠FDE=45°，∠DFE=∠FAE+∠AEF=22.5°+45°=67.5°，

∴∠DEF=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴DF=DE，故③正确；

如图，连接HE，

∵BH是AE垂直平分线，

∴AG=EG，

∴S△AGH=S△HEG，

∵AH=HE，

∴∠AHG=∠EHG=67.5°，

∴∠DHE=45°，

∵∠ADE=45°，

∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°，

∴EH=ED，

∴△DEH是等腰直角三角形，

∵EF不垂直DH，

∴FH≠FD，

∴S△EFH≠S△EFD，

∴S四边形EFHG=S△HEG+S△EFH=S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故⑤错误，

∴正确的是①②③④，

故选：C．6．【答案】B【解析】过点M作MH⊥OB于H．首先利用相似三角形的性质求出△OBM的面积=9，再证明OH=OB，求出△MOH的面积即可．

解：过点M作MH⊥OB于H．

∵AD∥OB，

∴△ADM∽△BOM，

∴=（）2=，

∵S△ADM=4，

∴S△BOM=9，

∵DB⊥OB，MH⊥OB，

∴MH∥DB，

∴===，

∴OH=OB，

∴S△MOH=×S△OBM=，

∵=，

∴k=，

故选：B．7．【答案】D【解析】①、②按照命题的定义，根据反比例函数的性质逐个验证即可；

③将△AOC、△BOD的面积进行拆分，通过证明△DEA≌△BFC（AAS），进而求解．

解：①把x1，x2分别代入得，y1=，y2=，

若x1=y2，则y2==x1，即x1x2=1+|k|=y1x2，则x1x2=1+|k|=y1x1，

即y1=x2，

故①是真命题；

②把x1=2019，x2=2020分别代入得，y1=，y2=，

∴y1＞y2；

故②是真命题；

③设直线CD的表达式为：y=k′x+b,

反比例函数表达式y=，

设m=|k|+1，则反比例函数表达式为：y=（x＞0），

过点A、B分别作AE⊥y轴于点E，BF⊥x轴于点F，连接OA、OB，

A（x1，y1），B（x2，y2），

则AE=x1，OF=x2，

联立直线y=k′x+b与函数y=表达式并整理得：

k′x2+bx-m=0，

则x1，x2是方程的两个根，

则有x1+x2=-，

而y=k′x+b中，当y=0时，x=-，

∴OC=x1+x2．

又OF=x2，

∴CF=OC-OF=x1=AE．

∵AE∥CF，

∴∠DAE=∠BCF，而∠DEA=∠BFC=90°，

∴△DEA≌△BFC（AAS），

∴S△DEA=S△BFC，

而S△AEO=S△BFO=m,

S△AOC=S△AOB+S△BOF+S△BFC=S△AOB+S△AEO+S△DEA=S△BOD，

故③正确，符合题意；

故选：D．8．【答案】D9．【答案】D【解析】根据题设条件，由，知[x（b-a）]2=（b-a）2-x（b-a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．

解法一：∵c-a=x（b-a），b-c=（b-a）-x（b-a），，

∴[x（b-a）]2=（b-a）2-x（b-a）2，

∴x2+x-1=0，

解得x=，

∵0＜x＜1，

∴x=．

解法二：

由c=a+x（b-a），可得x=，

由，可得（c-a）2=（b-a）（b-c），

即（c-a）2=（b-a）[（b-a）-（c-a）]，

∴（c-a）2=（b-a）2-（b-a）（c-a），

两边同时除以（b-a）2可得，

=1-，

将x=代入，可得x2+x-1=0，

解得x=，

∵0＜x＜1，

∴x=．

故选：D．10．【答案】D【解析】若甲：乙：丙=a：b：c,则甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的．

解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：舞蹈社溜冰社魔术社上学期===下学期===∴舞蹈社增加，溜冰社不变．

故选：D．11．【答案】##【解析】延长DE，交AB于点H，确定点B关于直线DE的对称点F，由点B，D关于直线AC对称可知QD=QB，求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值.连接BD，即可求出CO，EO，再说明，可得DO，根据勾股定理求出DE，然后证明，可求BH，即可得出答案．延长DE，交AB于点H，∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，∴点P的对称点在EF上．由点B，D关于直线AC对称，∴QD=QB．要求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值BF．连接BD，与AC交于点O．∵AE=14,CE=18，∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴，∴，即，解得，∴．在Rt△DEO中，．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，∴，即，解得，∴．故答案为：．【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键．12．【答案】【解析】根据题意易证，即得出．利用勾股定理即可求出CE的长，再根据题意易证，即得出，代入数据即可求出的长，从而可求出ED的长，又易证，即得出，代入数据即可求出EI的长．解：由翻折可知，在和中，，∴，∴．∵，∴．∵，，∴，∴，即，解得：，∴．∵，，∴，∴，即解得：．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及三角形相似的判定和性质．数据处理较大，较难，解题的关键是利用数形结合的思想来求解．13．【答案】5【解析】分两种情形：①当PH＞NH时，由题意PH=•PN=2-2，②当NH＞PH中，则NH=2-2，PH=PG=6-2，分别利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．

解：①当PH＞NH时，由题意PH=•PN=2-2，

设ON=OG=x,则OP=x-（2-2），

∵∠OPN=90°，

∴[x-（2-2）]2+42=x2，

∴x=2，

∴OP=2，OQ=2，

∵∠OPN=∠Q=∠NQI=90°，

∴∠NOP+∠QOI=90°，∠NOP+∠PNO=90°，

∴∠QOI=∠PNO，

∴△OQI∽△NPO，

∴=，

∴=，

∴OI=，

∴S△NOI=•NO•OI=×2×=5．

②当NH＞PH中，则NH=2-2，PH=PG=6-2，

设ON=OG=y,则OP=y-（6-2），

∵∠OPN=90°，

∴[y-（6-2）]2+42=y2，

∴y=8，

∴OP=2+2＞4（不符合题意，舍弃）．

综上所述，△NOI的面积为5．

故答案为：5．14．【答案】②③④【解析】①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到∠BAE是否等于30°；

②根据题目中的条件，可以求得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为∠AFC的角平分线；

③根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；

④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到AF=AB+CF是否成立．

解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，

∴AB=BC，BE=AB，

∴tanA==，

∵tan30°=，

∴∠BAE≠30°，故①错误；

∵∠B=∠C=90°，AE⊥EF，

∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF，

∵AB=2BE=2CE，

∴EC=2CF，

设CF=a,则EC=BE=2a,AB=4a,

∴AE=2a,EF=a,tan∠CFE=2，

∴tan∠AFE==2，

∴∠AFE=∠CFE，

即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=∠B=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△BAE∽△CEF，

∴=，

∵BE=CE，

∴=，

∵∠B=∠AEF=90°，

∴△ABE∽△AEF，

∴=，

∴AE2=AD•AF；故③正确；

作EG⊥AF于点G，

∵FE平分∠AFC，∠C=90°，

∴EG=EC，

∴EG=EB，

∵∠B=∠AGE=90°，

在Rt△ABE和Rt△AGE中，

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），

∴AB=AG，

又∵CF=GF，AF=AG+GF，

∴AF=AB+CF，故④正确，

由上可得，②③④正确，

故答案为：②③④．15．【答案】【解析】过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，先证△BCD∽△ACE，求出AE的长及∠CAE=60°，推出∠DAE=90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE的长，进一步求出CD的长，分别在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的长，再证△MFC∽△NFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF与EF的比值．

解：如图，过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，

∵BD=1，AD=5，

∴AB=BD+AD=6，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠B=90°-∠BAC=60°，

∴BC=AB=3，AC=BC=3，

在Rt△BCA与Rt△DCE中，

∵∠BAC=∠DEC=30°，

∴tan∠BAC=tan∠DEC，

∴，

∵∠BCA=∠DCE=90°，

∴∠BCA-∠DCA=∠DCE-∠DCA，

∴∠BCD=∠ACE，

∴△BCD∽△ACE，

∴∠CAE=∠B=60°，，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=30°+60°=90°，，

∴AE=，

在Rt△ADE中，

DE===2，

在Rt△DCE中，∠DEC=30°，

∴∠EDC=60°，DC=DE=，

在Rt△DCM中，

MC=DC=，

在Rt△AEN中，

NE=AE=，

∵∠MFC=∠NFE，∠FMC=∠FNE=90°，

∴△MFC∽△NFE，

∴===，

方法二：求出AE后，证明△DFC∽△AFE，利用相似三角形的性质求解即可．

故答案为：．16．【答案】略【解析】根据相似三角形的性质，利用平行，连接AP作PR∥AC，且PR=2AC，同理作PQ∥AB，PQ=2AC连接QR．三角形就画成了．

解：

17．【答案】9：12：20【解析】此类题做的时候可以根据分式的基本性质把两个比例式中的相同字母变成所占的份数相同，即可把三个字母的比的关系求解出来．

解：∵=，=，

∴=，

∴a：b：c=9：12：20．

故填9：12：20．18．【解析】（1）连接O1O并延长与A1A的延长线相交，交点即为位似中心P，再根据平面直角坐标系写出点P和B1的坐标；

（2）延长OA到A2，使AA2=OA，延长OB到B2，使BB2=OB，连接A2B2，再根据平面直角坐标系写出点B2的坐标；

（3）根据位似比是2写出即可．

解：（1）位似中心P如图所示，P（-5，-1），B1（3，-5）；

（2）△OA2B2如图所示，B2（-2，-6）；

（3）点M2（2a,2b）．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）（3）【解析】（1）由D是的中点得，由垂径定理得，得到，根据同圆中，等弧对等弦即可证明；（2）连接，证明，设的半径为r，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；（3）过点B作交于点G，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解．【小问1详解】解：∵D是的中点，∴，∵且为的直径，∴，∴，∴；【小问2详解】解：连接，∵，∴，∵为的直径，∴，∵，∴，∴，∴，设的半径为r，则，解得，经检验，是方程的根，∴，∴，∴，∵，∴；【小问3详解】解：如图，过点B作交于点G，∴∵，是的平分线，∴∴∴，∵∴，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．20．【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案；（2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案；（3）连接，先证明是等边三角形，，得出，将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为．【小问1详解】解：∵矩形中，，，∴，，，∴，∴，由矩形和矩形可得，，∴，即，∴，∴；【小问2详解】解：如答案图1，过点作于点，由矩形和矩形可得，，，∴，，∴，∴，，∴，，∴，∴，设，则，∴，∵，∴，解得，∴；【小问3详解】解：如答案图2，连接，∵矩形中，，，∴，，∵，∴，，∴，∴是等边三角形，，∴，将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，∴，，，∴，∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为．【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．

21．【答案