高考数学人教B版一轮复习测评7-3等比数列

核心素养测评三十三等比数列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列a,a(1a),a(1a)2,…是等比数列,则实数a满足的条件是()A.{a|a≠1} B.{a|a≠0或a≠1}C.{a|a≠0} D.{a|a≠0且a≠1}【解析】选D.由等比数列定义可知a≠0且1a≠0,即a≠0且a≠1.【变式备选】数列{an}满足:an+1=λan1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{an1}是等比数列,则λ的值等于 ()A.1 B.1 C.QUOTE D.2【解析】选D.由an+1=λan1,得an+11=λan2=λ(anQUOTE).由于数列{an1}是等比数列,所以QUOTE=1,得λ=2.2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列QUOTE,且首项a1=100,公比q=QUOTE,易知a5=102,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.已知各项不为0的等差数列{an}满足a6QUOTE+a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2·b8·b11= ()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选D.由等差数列的性质得a6+a8=2a7.由a6QUOTE+a8=0可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比数列的性质得b2b8b11=b2b7b12=QUOTE=23=8.【变式备选】已知方程(x2mx+2)(x2nx+2)=0的四个根组成以QUOTE为首项的等比数列,则QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE或QUOTEC.QUOTE D.以上都不对【解析】选B.设a,b,c,d是方程(x2mx+2)(x2nx+2)=0的四个根,不妨设a<c<d<b,则a·b=c·d=2,a=QUOTE,故b=4,根据等比数列的性质,得到:c=1,d=2,则m=a+b=QUOTE,n=c+d=3或m=c+d=3,n=a+b=QUOTE,则QUOTE=QUOTE或QUOTE=QUOTE.4.(多选)设等比数列{an}的公比为q,则下列结论正确的是 ()A.数列{anan+1}是公比为q2的等比数列B.数列{an+an+1}是公比为q的等比数列C.数列{anan+1}是公比为q的等比数列D.数列QUOTE是公比为QUOTE的等比数列【解析】选AD.对于A,由QUOTE=q2(n≥2)知数列{anQUOTE}是公比为q2的等比数列;对于B,当q=1时,数列{an+an+1}的项中有0,不是等比数列;对于C,若q=1时,数列{anan+1}的项中有0,不是等比数列;对于D,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以数列QUOTE是公比为QUOTE的等比数列.5.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的一个可能值为 导学号()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.设三角形的三边分别为a,aq,aq2,其中q>0.则由三角形三边不等关系知:当q>1时.a+aq>a·q2,即q2q1<0所以QUOTE<q<QUOTE,所以1<q<QUOTE.当0<q<1时.a为最大边.aq+a·q2>a,则q2+q1>0,所以q>QUOTE或q<QUOTE,所以QUOTE<q<1.当q=1时,满足题意,综上知,C满足题意.【变式备选】在递增的等比数列{an}中,已知a1+an=34,a3·an2=64,且前n项和Sn=42,则n等于 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选A.因为{an}为等比数列,所以a3·an2=a1·an=64.又a1+an=34,所以a1,an是方程x234x+64=0的两根,解得QUOTE或QUOTE又因为{an}是递增数列,所以QUOTE由Sn=QUOTE=QUOTE=42,解得q=4.由an=a1qn1=2×4n1=32,解得n=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=64,则q=________,S4=________.

【解析】因为a4=a1·q3,所以q3=64,q=4,S4=QUOTE=QUOTE=51.答案:4517.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=QUOTE,QUOTE=a6,则S5=________. 导学号

【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=QUOTE,QUOTE=a6,所以QUOTE=QUOTEq5,又q≠0,所以q=3,所以S5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【变式备选】等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=QUOTE,S6=QUOTE,则a8=________.

【解析】设等比数列{an}的公比为q,则由S6≠2S3得q≠1,则S3=QUOTE=QUOTE,S6=QUOTE=QUOTE,解得q=2,a1=QUOTE,则a8=a1q7=QUOTE×27=32.答案:328.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________. 【解析】因为数列{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,所以a10a11+a9a12=2a所以a10a11=e5所以lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11=ln(e5)10=lne50=50.答案:50三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列QUOTE中,a1=1,a5=4a3. 导学号(1)求QUOTE的通项公式.(2)记Sn为QUOTE的前n项和.若Sm=63,求m.【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=2或q=2.故an=(2)n1或an=2n1.(2)若an=(2)n1,则Sn=QUOTE.由Sm=63得(2)m=188,此方程没有正整数解.若an=2n1,则Sn=2n1.由Sm=63得2m综上,m=6.10.(2020·郑州模拟)已知等比数列{an}的公比q>0,其前n项和为Sn,且S5=62,a4,a5的等差中项为3a3. 导学号(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=QUOTE,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)因为a4+a5=6a3,所以a1q3+a1q4=6a1q2,即q2+q6=0,解得q=2或q=3(舍去).所以S5=QUOTE=31a1=62,a1=2,所以an=2·2n1=2n.(2)因为bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以Tn=b1+b2+…+bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTEQUOTE.(15分钟35分)1.(5分)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=QUOTEB.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=QUOTEC.a,b,c成公比为QUOTE的等比数列,且a=QUOTED.a,b,c成公比为QUOTE的等比数列,且c=QUOTE【解析】选D.由题意可得,a,b,c成公比为QUOTE的等比数列,b=QUOTEa,c=QUOTEb,三者之和为50升,故4c+2c+c=50,解得c=QUOTE.【变式备选】已知等比数列{an}的公比q=2,前100项和为S100=90,则其偶数项a2+a4+…+a100为 ()A.15 B.30 C.45 D.60【解析】选D.S100=a1+a2+…+a100=90,设S=a1+a3+…+a99,则2S=a2+a4+…+a100,所以S+2S=90,S=30,故a2+a4+…+a100=2S=60.2.(5分)在等比数列{an}中,a2,a16是方程x26x+2=0的根,则QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE或QUOTE【解析】选D.由题意可得a2a16=2,又由等比数列的性质可知a2a16=QUOTE=2,所以a9=±QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=a9=±QUOTE.【变式备选】在等比数列{an}中,a3,a15是方程x26x+8=0的根,则QUOTE= ()A.2QUOTE B.2 C.1 D.2【解析】选A.由题知,a3+a15=6>0,a3a15=8>0,则a3>0,a15>0,由等比数列的性质知a1a17=a3a15=8=QUOTE⇒a9=±2QUOTE.设等比数列{an}的公比为q,则a9=a3q6>0,故a9=2QUOTE,故QUOTE=QUOTE=2QUOTE.3.(5分)在各项都为正数的等比数列{an}中,若a2020=QUOTE,则QUOTE+QUOTE的最小值为________,此时q=________.

【解析】设公比为q(q>0),因为a2020=QUOTE,所以a2019=QUOTE=QUOTE,a2021=a2020q=QUOTEq,则有QUOTE+QUOTE=QUOTEq+QUOTE=QUOTEq+QUOTE≥2QUOTE=4,当且仅当q2=2,即q=QUOTE时取等号,故所求最小值为4.答案:4QUOTE【变式备选】设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q为________.

【解析】若q=1,则Sn=na1,所以{Sn}是等差数列;若q≠1,则当{Sn}是等差数列时,一定有2S2=S1+S3,所以2·QUOTE=a1+QUOTE,即q32q2+q=0,故q(q1)2=0,所以q=0或q=1,而q≠0,q≠1,所以此时不成立.综上可知,q=1.答案:14.(10分)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,若a1=1,a2a4(1)设bn=log2an,求数列{bn}的通项公式.(2)求数列{an·bn}的前n项和Sn.【解析】(1)因为a1=1,a2·a4=16,由等比数列的性质可得,a2·a4=QUOTE=16且an>0,所以a3=4,所以q2=QUOTE=4,所以q=2或q=2(舍去),所以an=2n1,因为bn=log2an=log22n1=n1,所以bn=n1.(2)由(1)得an·bn=(n1)·2n1,Sn=0·20+1·21+2·22+…+(n1)·2n1①2Sn=0·21+1·22+…+(n2)·2n1+(n1)·2n②①②得Sn=2+22+23+…+2n1(n1)·2n=QUOTE(n1)·2n=2n(2n)2所以Sn=(n2)·2n+2.5.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=QUOTE(n∈N*). 导学号(1)若数列{an+t}是等比数列,求t的值.(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)当n=1时,由a1=QUOTE=QUOTE得a1=1;当n≥2时,an=SnSn1=2ann2an1+(n1),即an=2an1+1,所以a2=3,a3=7.依题意得(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,当t=1时,an+1=2(an1+1),n≥2,即{an+1}为等比数列成立,故实数t的值为1.(2)由(1)知当n≥2时,an+1=2(an1+1),又因为a1+1=2,所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2×2n1=2n,所以an=2n1.1.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的