新教材高中数学人教A版学案8-4-1平面

8．4空间点、直线、平面之间的位置关系8．4.1平面[目标]1.理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面；2.掌握三个基本事实及推论并会简单应用．[重点]平面的画法、表示；三个基本事实及推论的简单应用．[难点]三个基本事实及推论的简单应用．要点整合夯基础知识点一平面的概念[填一填]1．概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：①平；②无限延展；③没有厚薄．2．画法(1)我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．(2)当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．3．表示法：我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．[答一答]1．课桌面、黑板面、海面是平面吗？提示：虽然课桌面、黑板面、海面给我们以平面的形象，但是平面是无限延展的，所以它们不是平面．2．如下图所示，平面(1)和平面(2)哪个大？提示：平面无厚薄、无大小，是无限延展的，所以两个平面之间无法比较大小．3．我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？提示：不对，我们通常用平行四边形表示平面，但平面是无限延展的，所以平行四边形不是一个平面．[填一填][答一答]4．如图，点A∈平面ABC；点A∉平面BCD；BD⊂平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝BC.知识点三平面的基本性质[填一填]1．平面基本性质的三种表示及主要作用(1)基本事实1(2)基本事实2(3)基本事实32.推论(1)推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．(2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．(3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．[答一答]5．如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内吗？为什么？提示：直线AB在平面α内．因为线段AB在平面α内，所以线段AB上的所有点都在平面α内，故线段AB上A，B两点一定在平面α内，由基本事实2可知直线AB在平面α内．6．经过三点有多少个平面？提示：当三点不共线时，由基本事实1可知，经过这三点有且只有一个平面．而当三点共线时，经过这三点有无数个平面．7．若两个平面相交，则有几条交线？若点P是这两个平面的公共点，那么点P在哪里？提示：两个平面相交只有一条交线，点P在交线上.典例讲练破题型类型一平面的概念、画法及表示[例1](1)给出下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽为20m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________．(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是_______________________________．[分析]根据平面的特征及表示来判断．[解析](1)由平面的概念知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①②③都不正确．(2)对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，也可知②③图形的画法不正确，④中图形画法正确．[答案](1)1(2)④1平面是无限延展的，不能度量其面积；平面没有厚薄之分，不能度量其体积；平面可以用任意平面图形来表示.2在平面几何中，凡是所引的辅助线都要画成虚线，但在立体几何中，能看见的线要画成实线，看不见的线要画成虚线.[变式训练1]如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(A)A．平面MN B．平面NQPC．平面α D．平面MNPQ解析：MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.[变式训练2]把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：③.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：④.(3)a⊄α，a∩α＝A：①.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：②.类型三基本事实的运用命题视角1：共面问题[例3]过直线l外一点P引两条直线PA，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l共面．[分析]根据条件点P，A，B确定一个平面，再证直线l，PA，PB在这个平面内．[证明]如图．∵点P，A，B不共线，∴点P，A，B确定一个平面α.∴P∈α，A∈α，B∈α.∴PA⊂α，PB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.∴PA，PB，l共面．证明点、线共面的两种方法方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内．方法二：先由有关点、线确定一个平面α，再由其余元素确定一个平面β，然后根据有关定理，证明这两个平面重合．[变式训练3]已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？解：(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内，因为B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面．(2)如果B、C、D三点共线于l，若A、E都在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；若A、E中有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面．命题视角2：共线与共点问题[例4]如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线．[分析]解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可．[证明]∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈(平面ABD∩平面BCD)，∴O∈BD，即B，D，O三点共线．1证明三点共线的常用方法：方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据基本事实3知，这些点都在交线上.方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.2证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.[变式训练4]如图，已知空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DFFC＝DGGA＝12.求证：直线EF、BD、HG交于一点．证明：连接EH、FG.∵E、H分别为BC、AB的中点，∴EH∥eq\f(1,2)AC.∵DFFC＝12，DGGA＝12，∴FG∥AC，FG＝eq\f(1,3)AC，∴EH∥FG且EH≠FG，∴E、F、G，H四点共面且EF不平行于GH.∴EF与GH相交．设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.∵GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直线EF、BD、HG交于一点．课堂达标练经典1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是(A)解析：选项B、C中直线a在平面α外，选项D中直线a与平面α相交，选项A中直线a在平面α内．2．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作(B)A．Q∈b∈β B．Q∈b⊂βC．Q⊂b⊂β D．Q⊂b∈β解析：∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b⊂β，∴Q∈b⊂β.3．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是1或4.解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．4．给出下列命题：①A，B，C三点确定一个平面；②若直线a∩直线b＝A，则直线a与b能够确定一个平面；③已知平面α，直线l和点A，B，若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.其中正确命题的序号是②③.解析：①中，只有不共线的三点才可以确定一个平面，因此①错误；②中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此②正确；③中，由于点A，B既在直线l上又在平面α内，即直线l上的两点在平面α内，所以直线l在平面α内，即l⊂α，因此③正确．综上，可知正确命题的序号是②③.5．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．(1)作直线AB与平面α的交点P；(2)求证：D，E，P三点共线．解：(1)延长AB交平面α于点P，如图所示．(2)证明：∵平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α与平面ABC的交线DE上，即P∈DE，∴D，E，P三点共