2023年高三数学高考模拟试卷五附参考答案

2023年高三数学高考模拟试卷（5）

一、单选题

1.已知集合A={x6/V||<2X+1<8],B={x|x2-4x+m=0]，若1WAClB,则AUB=

()

A.{1,2,3}B.{1,2,3,4}

C.{0,1,2)D.{0,1,3)

2.下列关于某个复数z的说法中，①z2=|z|20|6R③|z-i\=GR有且只有一个说法是错

误的，则错误的是（）

A.①B.②C.③D.④

3.已知a,bER,则Q—b>0是a|a|—b网>0的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7777

4.已知cos。+cos(J+可)=1,贝ljcos(26+可)=()

A--B工C-D乃

32

5.已知数列｛须｝的各项均为正数，记数列｛&J的前n项和S”，且满足2Sn=由±l（neN*），则下列

说法正确的是（）

A.即=2B・。2021.a2022V1

C.S=nDc.1工—1工----工-F—1=Vrn

n出a2an

6.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代

人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年

的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联

和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的

礼品种类相同的概率是（）

A•建B.第C含0.黑

7.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为1—/（ZQIPQ2+NQ2PQ3+

…+乙QkPQQ其中Qt，（i=1.2,3...,k23）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面

Q,PQ2,Q2PQ3,……，Q/Q1遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面

体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a,b,c,d,则a,b,c,d的

大小关系是（）

正四面体正八面体

A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>d>cD.c>d>b>a

8.对于任意x>0都有—则Q的取值范围为（）

B

A.[0,e]-[-e】4,e]

」

rJ(—00,—ee]u[e,+00)D.(—00,e]

二、多选题

9.已知向量司=(3,-1),4=(1,-2),则下列结论中正确的是()

A.ab=5B.\a-b\=V5

C.(a,b)=lD.a||b

10-在锐角△MO中,角4&C所对的边为a,b,c，若当翳=誓+喑,且建.=

辛㈠+房工），则悬的可能取值为（）

A.V3B.2C.孚D.3铲

11.已知双曲线/-彳=1">0）的左、右焦点分别为Fi（-c,0）,F2（c,0）.直线y=%x+

c）与双曲线左、右两支分别交于A,B两点，M为线段AB的中点，且|AB|=4,则下列说法正确的有

)

A.双曲线的离心率为学

B.F2F1-F2M=F2A-F2M

C.出51,F2M=F/2•F]MD.|「训|=|尸2*

仅已知函数若关于x的方程/(%)=m恰有两个不同解

5，则（x2-X1）/（x2）的取值可能是（）

A.-3B.-1C.0D.2

三、填空题

13.若TieZ,且3WnW6,若Q-*)”的展开式中存在常数项，则该常数项为.

14.已知4B为抛物线C：%2=4y上的两点，M(-l,2),若祠=面瓦则直线的方程

为.

15.讲一个半径为5cm的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成,

它们两两成60。角.则水晶球的球心到支架P的距离是cm.

16.某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为5%,且在每年年底卖出100

头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列q,C2,C3，…，且满足递推公式：d+1-

10

k=r(cn-k],｛S=为数列｛7｝的前n项和,则Si。=(1.O5®1.63答案精确到1).

四、解答题

17.已知递增等差数列｛“｝满足的+=1。，«2-«4=21,数列｛5｝满足210g2匕=Gin-1,nE.

N*.

(1)求｛原｝的前n项和Sn；

(2)若7\=正比+(n-1)匕2+…+b”，求数列｛耳｝的通项公式.

18.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2c2=3+-冲)3-+tanB).

(1)求角4的大小；

(2)若边a=&,边BC的中点为。，求中线4。长的取值范围.

19.如图甲是由正方形ABCD,等边AABE和等边△BCF组成的一个平面图形，其中AB=

6,将其沿AB,BC,AC折起得三棱锥P-ABC,如图乙.

(1)求证：平面PAC1平面ABC；

(2)过棱AC作平面ACM交棱PB于点M,且三棱锥P-ACM和B-ACM的体积比为

1：2,求直线AM与平面PBC所成角的正弦值.

20.随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频

降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动

方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.

(1)公司内部测试的活动方案设置了第i(iCN+)次抽奖中奖的名额为3i+2，抽中的用户退出

活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余

全部用户均中奖，则活动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.

①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少？

②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望？

(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广.报名参加第一次抽奖活

动的有20万用户，该公司设置了第i(iCN+)次抽奖中奖的概率为巴=2±*,每次中奖的用户退

出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行2n(neN+)次.已知用户丙参加了第一次抽

奖，并在这2几次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于自

21.已知函数/(x)=ex+1+ax+a(aGR).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当％之0时，f(x-1)+ln(x+1)>1,求实数Q的取值范围.

22.如图，在△力BC中，点4(一1,0),5(1,0).圆/是的内切圆，且C/延长线交48于点D,若

C7=2W.

C

DDB

(1)求点C的轨迹0的方程；

(2)若椭圆各*l(a>b>0)上点值,y°)处的切线方程是簧+孝=1，

①过直线2：x=4上一点M引0的两条切线，切点分别是P、Q,求证：直线PQ恒过定点N；

②是否存在实数九使得|PN|+|QN|=4|PN|・|QN|,若存在，求出；I的值，若不存在，说明理

参考答案

L【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】A,B,C

10.【答案】A,C,D

11.【答案】B,D

12.【答案】B,C

13.【答案】-8

14.【答案】x+2y-3=0

15.【答案】5V5

16.【答案】9920

17.【答案】(1)解：设数列｛即｝公差为d9>o),由

十十Ou)=L1

解嚼二或｛淖(舍去)，

所以期=14-(n-l)x2=2n-l,

则210g2%=2九一2,即log2bn=九一1,所以刈=2〃-1，

所以数列｛匕｝的前n项和3==2n-l

(2)解：由⑴知S.=2n-l,

又由「九=Tib]+(71—1)历+…+6九9

7n=历+Si+厉)+(hi+/72+—3)+…+(瓦+/+•,,+bn)

=Si+S2+…+S九=(2—1)+(22-1)+…+(2n-1)

2(2n—1)

=(24-22H----1-2n)—n=——---------n=2n+1-2-n

Z—1

18.【答案】（1）解：由余弦定理得2c2=2accosB（£anA+tanB）,

即。=acosB^tanA+tanB),

由正弦定理得sinC=sinAcosB^tanA+tanB)=sinAcosB(^^+cos^)

sin(A+B)_sinAsinC

=sinAcosBcosAcos8~cosA'

vsinC。0,・•・sinA=cos4，即=1,

TT77

,**6(0,1),A=

(2)解：由余弦定理得：2=炉+—近be，则房+c2=2+y/2bc-

_,1一一11

|AD|2=-r(AB+AC>)2=-(c2+b2+V2bc)=7y(l+V2bc)

414Z

由正弦定理得&=「J=rJ=2

sinBsinCsinA

所以b=2sinB,c=2sinC»

37rV2

be=4sinBsinC=4sinBsin(—^——B)=(sinBeosB+sin2B)=y/2(-cos2B+sin2B)+V2

~2

TT「

=2sin(2B-4)+鱼

(0<B<57r7r

因为△ABC是锐角三角形，所以37r兀，即

10cl<2

则与<2B—田<<sin(2.B—百)W1,beG(2V2,2+V2]-

中线40长的取值范围是(孚，空]

19.【答案】（1）证明：如图，取AC的中点为0,连接BO,PO.

"：PA=PC,：.P0LAC.

'：PA=PC=6,AAPC=90°,

:.PO==3V2,同理BO=3V2.

又PB=6,：.PO2+OB2=PB2,

：.PO1OB.'：ACC\OB=0,AC,OBc平面ABC,

：.PO1平面ABC.

又P。u平面PAC,

平面PAC1平面ABC

(2)解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，71(372,0,0),C(-3版,0,0)，

8(0,3V2,0),P(0,0,3V2),

ACB=(3V2,3V2,0)，CP=(3V2,0,3V2).

\•三棱锥P-ACM和B-ACM的体积比为1；2,

:.PM：BM=1：2,

V2,2V2),

宿=(-3怎V2,2V2).

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，

则C3A/2X+3V2y二0

-，令1=1,得7J=(L—1,-1).

l3V2x+3y/2z=0

设直线AM与平面PBC所成角为0,

则sin。=|cos（俞，n）|=I荒磊I=亨•

...直线AM与平面PBC所成角的正弦值为孚

20.【答案】（1）解：①甲在第一次中奖的概率为pi=^=4,

乙在第二次中奖的概率为P2=苣x衾=翳

②设甲参加抽奖活动的次数为X,则X=l,2,3,

nzv..51”10816n,v105.10

。5=1)=正=丁P(X=2)=讴XR=而；p(x=3)=正XRX1=丽,

X123

p11610

339W

•••LE/(VXA)=<1lx13i+C2x16丽1+c3x10^=25讨

(2)证明：丙在第奇数次中奖的概率为卷在第偶数次中奖的概率为

设丙参加抽奖活动的次数为匕“丙中奖”为事件4则p(a)=i-(1x|r=i-(|r，

令znWn,mGN*,则丙在第2m-1次中奖的概率P(Y=2m-1)=(|)根-1x1

在第2nl次中奖的概率P(y=2m)=(|尸-】x|x1=(|)时]x

即P(Y=2m-1)=P(Y=2m)=(|尸1x

13m-l

在丙中奖的条件下，在第26-1,27n次中奖的概率为式耳)，

~PW

则丙参加活动次数的均值为

E(Y)=[(1+2)+5(3+4)+6)2(5+6)+-+(fr-1(2n-1+2n)],

设S=3+7x焉+llx(5)2+…+(4九-I)。)"""i'

则,S=3x)+7x+…+(4zi—5)(3+(4n—1)(卷)9

Q222Qn-1&n

•拿=3+4后+电+…+电]-(4n-l)(f)-

5=学_12与27(|严_1,

45

所以E（Y）=2n

5。-电Q)

21.【答案】(1)解：由题知/(%)=蛾+】+。％+。，/(%)的定义域为R,

•**/(%)=ex+1+a•

(对函数/(%)求导后.由于y=e%+i恒大于0,故对a进行正负分类讨论，从而判断函数/(%)

的单调性)

当a之。时，/(%)>0在R上恒成立，故/(%)在R上是增函数：

当a<0时，令/(%)=0得%=ln(-a)-1,

在(―8,ln(—a)—1)上有f(%)<0，在(ln(—a)—1,4-oo)上有f(%)>o，

/./(x)在(-oojn(-a)-1)上是减函数,在(ln(-a)-1,+8)上是增函数

(2)解：当1之0时，/(x-1)+ln(x+1)>1,

即ex+ax+ln(x+1)-1>0,(*)

令g(x)=ex+ax+ln(x+1)—1(%>0),

则9(x)=e”++a(x>0).

①若a>-2,由(1)知，当a=-l时，/(%)=ex+1-x-1在(一1,+8)上是增函数，

故有/(x)>f(-1)=e-1+1+1-1=1,

即f(%)=e"+i-x-1>1,得ex+1>%4-1+1,故有ex>14-x.

(由(1)可判断e^>l+x,此不等式为常见不等式，熟记更利于解题)

(当且仅当％+1=占，即久=0,且a=—2时取等号)

(根据ex>l+x及基本不等式可知需对a和-2的大小分类讨论)

...函数g(x)在区间［0,+oo)上单调递增，

，g(x)?g(。)=o，，(*)式成立•

②若a<—2,令<p(x)-ex+a，

则w'(x)=ex-----=(x+1)>o,当且仅当x=0时等号成立.

。+1)(x+1)

函数(p(x)在区间［0,+8)上单调递增.

V(p(O)=2+a<0,

1I1

租(-a)=e-a+T—+a>l-a+1―+a=1+T—>0,

/.3x0e(0,-a)，使得(p(Xo)=0，

则当OVxV'o时，？(%)V0(%o)=0,即g'(x)V0.