2023-2024学年河北高二年级上册阶段测试（线上）数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北高二上册阶段测试数学模拟试题

一、单选题

1.在空间直角坐标系中，A(2,l,3),1(3,2,1),则AB=()

A.(1,1,-2)B.(-1,-1,2)C.(5,3,4)D.(6,2,3)

【正确答案】A

［分析】直接根据空间向量的坐标表示法则计算可得；

【详解】解：因为A(2,l,3),B(3,2,l),所以AB=(3,2,1)—(2,1,3)=(1,1,—2)

故选：A

2.如图,已知直线44,4的斜率分别为占，为次3,则()

A.kl<k2<k3B.ki<kl<k2

C.k3<k2<klD.ki<k3<k2

【正确答案】D

【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】解：设直线444的倾斜角分别为四，％，。3，

由题图知，直线4的倾斜角6为钝角，∙∙.κ<o.

又直线44的倾斜角。2,。3均为锐角，且%>%，

.∙.O<k3<k2,

kl<k3<k2.

故选：D.

3.已知空间向量α=(l,(U),b=(x,L2),且〃为=3，则向量α与人的夹角为()

【正确答案】D

【分析】利用空间向量的坐标运算，求出向量α与》的夹角的余弦值，进而可求夹角.

【详解】因为“%=x+0+2=3,所以x=l,所以6=(1,1,2),

则有1d=Jl+1=后,W=Jl+1+4=＞/6,

,ah3G

所以8SS'=丽==①

11TC

因为＜α,b＞e[0,π∣,所以＜。力＞=:，

6

故选:D.

4.直线人的倾斜角为60。，右经过点”(I，6),N(2,2G),则直线乙与直线4的位置关系是

()

A.平行B.垂直C.重合D.平行或重合

【正确答案】D

【分析】求出直线MN的斜率，根据R4的斜率关系，即可求解.

【详解】由点M(I,K),w(2,2√3),可求得直线4的斜率&=拽二@=6，

因为直线《的倾斜角为60。，所以直线4的斜率勺=tan60。=G,

则有占=内,则直线4与直线4平行或重合.

故选：D.

5.等差数列｛%｝的首项为1,公差不为0,若生，％，4成等比数列，则｛%｝前6项的和为()

A.-24B.-3C.3D.8

【正确答案】A

【分析】设等差数列｛%｝的公差d("*0),由%，%，%成等比数列求出"，代入$6可得答案.

【详解】设等差数列｛q｝的公差或4*0),

∙.∙等差数列｛%｝的首项为1,%,生，4成等比数列，

・，・(01+2d1=(q+60(q+5d),且q=l,d≠0,

解得d=-2,

{α,,}前6项的和为56=6αl+~^~d=6×1+-×(-2)=-24.

故选：A.

6.已知直线蛆+4y-2=0与直线2x-5y+"=0互相垂直，垂足为(Lp)厕"+”-，等于

()

A.24B.20C.4D.0

【正确答案】D

【分析】由两直线垂直得m=10,进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.

【详解】由两直线垂直得M2+4X(-5)=0,解得加=10,

所以原直线直线如+"-2=0可写为IoX+4y-2=0,

又因为垂足为(1,P)同时满足两直线方程，

10×l+4p-2=0

所以代入得

2×l-5p+n=0

P=-2

«=-12

所以p=10-12+2=0,

故选:D

7.圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2=2x的准线和双曲线弓-4=1的渐近线都

169

相切，则圆心的坐标是()

ʌ-(M)b∙(H)c∙(M)或(留d∙⅛T)

【正确答案】C

【分析】根据双曲线的标准方程，求出渐近线方程，结合条件设出圆心坐标，再利用点到直

线的距离公式求得参数，从而得到所求.

【详解】由双曲线方程可得0=4,b=3,c=5

3r3V

渐近线方程y==和y=_三，即3x-4y=0和3x+4y=0.

44

抛物线丁=2》的准线为了=-；

根据圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线丁=2x的准线相切，设圆心A的坐标为

（~,m）,（m>O）.

①当圆与双曲线鸟-<=1的渐近线3x-4y=0相切时，圆心A到直线3x-4y=0的距离即为

169

圆的半径1,即"2""'

②当圆与双曲线3-4=1的渐近线3x+4y=0相切时，圆心4到直线3x+4y=0的距离即为

169

圆的半径1,即"2+4"]="?=：.

则圆心的坐标是：七手或C）.

故选：C

8.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）

所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、

（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别装、||、y,设图⑴、（2）、（3）中椭

圆的离心率分别为e∣∖g、e1,则（）

【正确答案】A

【分析】根据椭圆的离心率公式可知，椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大，比

较出三个椭圆的长轴长与短轴长的比值大小，由此可得出结论.

所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.

因为Aal.44,If≈1.24,¥=1.43,则H所以。勺乂.

94579745

故选：A.

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(I)定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、C的值，根据离心率的定义求解离心率e

的值；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于。、C的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

二、多选题

9.(多选)点(1,1)在圆(x-4y+(y+α)2=4的内部，则。的取值不可能是()

A.-2B.--

2

C.ɪD.2

【正确答案】AD

【分析】求出实数。的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】由已知条件可得(l-α)2+(l+α)2<4,即2∕+2<4,解得-l<α<l.

故选：AD.

TT

10.三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面Ba)的法向量分别为勺,％，若则二

面角A-Bo-C的大小可能为()

πeπ

A.—B.—

63

C.—D.—

36

【正确答案】BC

【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果.

【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，

，二面角A-BD-C的大小可能为■或勿—

333

故选：BC.

11.下列说法中正确的是()

A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量

B.一个平面的所有法向量互相平行

C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直

D.如果向量〃、b与平面α共面，且向量”满足"J.。，nlb，那么"就是平面ɑ的一个法

向量

【正确答案】ABC

【分析】根据法向量的定义可判断A、B选项的正误；利用空间中平面与平面的位置关系与

法向量之间的关系可判断C选项的正误：根据线面垂直的判定定理可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由法向量的定义可知，平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有

向量，A选项正确；

对于B选项，一个平面的所有法向量互相平行，B选项正确；

对于C选项，由空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可知，如果两个平面的

法向量垂直，那么这两个平面也垂直，C选项正确；

对于D选项，只有当〃、。不共线时，才能得出结论，依据是线面垂直的判定定理：如果一

条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直，D选项错误.

故选：ABC.

本题考查平面法向量定义的应用，同时也考查了平面间的位置关系与法向量之间的关系，考

查推理能力，属于基础题.

12.已知直线ax+y—2=0与圆心为C的圆(x—I/+。一")2=4相交于A,8两点，且△A8C

为等边三角形，则实数”的值为()

A.-B.--C.4+λ∕j^5D.4—VFs

33

【正确答案】CD

【分析】设圆心C到直线AB的距离为4,由AABC为等边三角形可得d=√L利用点到直

线距离公式求“∙

【详解】设圆心C到直线AB的距离为d,

∙.∙圆的方程为(x—l)2+(y-α)2=4

二圆心C(IM),圆的半径为2,CA=CB=2,

又AABC为等边三角形，.∙.d=石,

Iα+4—21

由圆心C(l,α)到直线Or+y-2=0的距离d=

√a2+l

(24-2)2

=3

a2+1

故选：CD.

三、填空题

13.已知数列｛4｝的通项公式为=2"-l,则其前"项和5,=.

【正确答案】2n+'-n-2,"wΛΓ

【分析】根据数列的通项公式，求和时采用分组求和法，利用等比数列的前〃项和公式，求

得答案.

【详解】因为4=2"-l,

所以S“=2-1+22—1+23—1++2"-i

=(2+22++2,,)-n=2(1~2)-n

1-2

=2"+'-n-2,nwN”

故2"j-2,neN'

14.已知m,”,”,⅛>∈R,且满足3机+4〃=6,6。+86=1,则j(/n-ɑ)?+(〃一的最小值为

【正确答案】H

【分析】设点4九〃),B(a,b)

【详解】设点AO,"),B(a,b),直线∕∣:3x+4y-6=0,直线∕2：3x+4y-；=0

由题意可知A(，〃，〃)点在直线4：3x+4y-6=0上，点B(a,b)在直线4：3x+4y-；=0上

所以IABl=∖∣(m-a)2+(n-b)2

由题意可知《与4平行，故A、B之间的最小距离即为两平行线之间的距离

曲平-ιo

,H

故4而

15.若双曲线，一y2=i(α>0)的右焦点与圆χ2+∕-4χ=o的圆心重合，贝IJa=

【正确答案】√3

【分析】分别求出双曲线的右焦点坐标以及圆的圆心坐标，列方程即可求解.

【详解】由［―V=I可得¢2=/+1,所以C=G71，

矿

«2+1,0),

由V+y2-4χ=0可得(X-2『+丁=4,

所以圆心坐标为(2,0),

2

由题意可得：√Π+1=2>解得α=g或α=-6(舍)

故答案为.6

16.已知圆C:(X-3)2+V=4,点M在抛物线T：∕=4x上运动，过点M引直线4，4与

圆C相切，切点分别为尸，Q,则IPQl的取值范围为.

【正确答案】［2√2,4)

【分析】设出点M的坐标(7,s),探讨出ICMl的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算,

把IPa表示为ICMl的函数即可作答.

【详解】如图，连接CP,CQ,CM,依题意，CP工MP,CQ,MQ,而ICPl=ICQ∣=2,

而IMPl=IMQI,则CM垂直平分线段PQ,于是得四边形MPCQ的面积为RjePM面积的2

倍，

从而得;IPQI∙ICMI=2∙g∣CP∣∙∣MP∣,即

2∣CP∣∙∣MP∣=4j∣CMjCp2=4h4

L-ICMl-ICMIVlCMI2'

设点MQ,s),而C(3,0),52=4r(f≥0),则∣CM∣2=(r-3)2+s2=∕-2f+9=Q-l)2+8≥8,

当且仅当Ul时取‘'=",VZ≥0,∣CM∣2∈[8,+∞),

4114

因此得°＜两针5,即六一而U'得2夜"QK4,

所以IPa的取值范围为[2√Σ,4)∙

⅛[2√2,4)

四、解答题

17.（1）已知直线4经过点（U）且与直线4：x+2y-l=O垂直，求直线《的方程.

（2）已知直线&与X轴，）'轴分别交于A8两点，AB的中点为（2,1）,求直线&的方程.

【正确答案】（1）y=2x—i；（2）x+2y-4-0.

【分析】（1）由垂直关系可得直线4的斜率，进而由点斜式得到方程；

（2）设出A（α,0）,B（0,6）,利用中点坐标公式得到两点坐标，从而得到直线方程.

【详解】（1）直线《的斜率K=-g,则心=2,

故直线4的方程为＞=2x-l;

（2）设A（a,0）,3（0,6）,AB的中点为（2,1）,知—,

则直线4的方程为x+2y-4=0.

18.已知动圆过点20,2）,且与直线/：y=-2相切.

（1）求动圆圆心〃的轨迹方程；

（2）若过点尸且斜率1的直线与圆心〃的轨迹交于48两点，求线段A8的长度.

【正确答案】（1）/=8y；（2）16.

（1）由题意分析圆心例符合抛物线定义，然后求轨迹方程；

（2）直接联立方程组，求出弦长.

【详解】解：（1）圆〃过点尸（0,2）,且与直线/：y=-2相切

点M到直线/的距离等于IMFI

由抛物线定义可知点M的轨迹是以尸（0,2）为焦点、以Ly=-2为准线的抛物线,

依题意，设点M的轨迹方程为f=2py（p>0）,则=2,解得。=4,

所以，动圆圆心M的轨迹方程是/=8），.

(2)依题意可知直线AB:y=x+2,设A(XI,/),8(%,%)

y=χ+2

联立得d-8χ-16=0,则χ+X2=8y+y=n

X2=8yl2

所以，线段A8的长度为IABI=M+%+P=12+4=16.

（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；

（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问

题.

19.设数列｛“〃｝的前〃项和为S〃，且25.=34-1.

（1）求数列｛“〃｝的通项公式；

n

（2）设加二7，求数列｛加｝的前〃项和Th.

l96〃+9

【正确答案】（1）an=3n-i（2）Tn=^----.

44×3,,

【分析】（1）由4=S“-S,ɪ（〃≥2）求得数列｛ɑ“｝是等比数列，从而易得其通项公式；

（2）由错位相减法求和.

【详解】（1）由2SΛ,=3",,-1,①

得2Sιlτ=3α,ι-l(n>2),②

①一②，得2α,,=3a„-3a„_,,Λall=3⅛.∣("?2),

又251=3《-1=2。|,，4/=1,

•••{〃〃}是首项为L公比为3的等比数列,

.∙.an=3nl.

(2)由(1)得，加=Fr，

・T123n

/〃=3+3+铲+…+F'

1123n

-7H=-+—÷ʒ-÷∙∙∙+—,

33'32333〃

两式相减，得IT"='+?+/+…+击一段

1」

_3〃〃_32/7+3

n,

^11^F^2^2×3

3

.E96〃+9

・・Tn=--------.

44x3”

20.已知圆C.X2+j2+2x-4y÷3=0

⑴若不过原点的直线/与圆C相切，且在X轴，y轴上的截距相等，求直线/的一般式方程;

(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线，切点为M,O为坐标原点，且有IPM=IP求

点P的轨迹方程.

【正确答案】(I)X+y+i=0或χ+y-3=o

⑵2x-4y+3=0

【分析】(1)先由配方法求得圆C的标准方程，得到圆心C(T,2),半径为拉，再由题设

条件设得直线/为x+y-b=(),再利用相切4=r得到关于b的方程，从而求得直线/的一般

式方程；

⑵利用圆的切线长的性质及InWl=IPOI,得到∣pof=∣PC「-，，再利用两点距离公式代

入化简，即可求得点尸的轨迹方程.

【详解】3)由f+∕+2χ-4y+3=0配方得(x+iy+(y-2)2=2,所以圆C的圆心C(-l,2),

半径为∖∣2»

因为直线/在X轴，)，轴上的截距相等，所以设直线/为χ+y=6,即χ+y-b=O,

∣-l+2-⅛∣

则由直线/与圆C相切得=72,解得A=-I或6=3,

√Γ+T

直线/的方程为χ+y+∣=o或χ+y-3=o.

(2)由圆上切点的性质知IPM「=|PC「-',

又因为IPM=IPa，所以IPOr=∣PC∣2-2,

所以x2+y2=(x+iy+(y_2)2_2,整理得2x-4y+3=0,

故点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.

21.已知椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),

平行于OM的直线/在)，轴上的截距为〃，(m*0),/交椭圆于A,B两个不同点.

(I)求椭圆的方程；

(II)求，"的取值范围；

(III)求证直线M4,MB与X轴始终围成一个等腰三角形.

【正确答案】(I)—+^-=1；(II)-2<mv2且机≠0;(HI)证明见解析.

82

22

【分析】(I)设出椭圆方程=+2=l(a>6>0),根据题意得出关于。的方程组，从而

ab

求得椭圆的方程；

(H)根据题意设出直线方程，并与椭圆方程联立消元，根据直线与椭圆方程有两个不同交

点，利用A>O即可求出，"的取值范围；

(DI)设直线MA,的斜率分别为"k2,根据题意把所证问题转化为证明QHb=O即可.

2[a=2b

【详解】(1)设椭圆方程为=+4=l(a>b>0),由题意可得41,,解得

a-b-7+*

2=82v2

a,,，•••椭圆方程为r土+乙=1；

[h-=282

(II)Y直线/平行于OM,且在y轴上的截距为机，kOMɪɪ,

所以设直线/的方程为y=；x+，〃，

1

y=-x-∖-m

2_

2

由彳22消兀，得W+2/nr+2m-4=0

三+匕=1

82

：直线/与椭圆交于A,B两个不同点，

所以△=(2/«)2-4(2W2-4)>O,解得-2<m<2,ιn≠0,

所以〃?的取值范围为(-2,0)5。，2)•

(III)设直线MA,MB的斜率分别为Q,k2,只需证明k∕+%2=0即可,

2

设A(XI,y),8(々,当)，由(II)xl+x2=-2m,xlx2=2m-4,

则仆二2"—，&二2T

x1-2X2-2

2

由％2+2〃K+2ιrr-4=O可得x1+x2+-2m,xlx2=Itn-4,

ʃi~ɪΛ~ɪ_(X~~1)一3~^2)+(%~~l)(x∣~~2)

而K+&l

玉一2X,—2(x∣—2)(%2—2)

(―F+5-l)