2023年中考数学二轮复习之命题与证明

2023年中考数学二轮复习之命题与证明

一、选择题（共io小题）

1.（2022秋•鸡泽县期末）下列命题中是真命题的有（）个.

①作线段A8UC。；

②正数大于负数；

③钝角和锐角之和为180°；

④今天的天气好吗？

⑤等腰三角形是轴对称图形；

⑥若a、b满足J=射，则“=%.

A.2B.3C.4D.5

2.（2022秋•沧州期末）下列众题中，其逆命题是假命题的是（）

A.等腰三角的两个底角相等

B.直角三角形中两个锐角互余

C.全等三角形的对应角相等

D.如果｛aaMb?'那么a=b

3.（2022秋•未央区期末）下列命题是真命题的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直的矩形是正方形

4.（2022秋•抚州期末）下列命题中，是真命题的有（）个

①同旁内角互补；

②两条边及一个内角分别对应相等的两个三角形是全等三角形；

③西的算术平方根是3；

④若向＞0,则点（a"）在第一象限或第三象限.

A.1B.2C.3D.4

5.（2022秋•屯留区期末）下列命题中，为真命题的是（）

A.-9的平方根为±3

B.一个数的平方根等于它的算术平方根

C.一、后的相反数为遥

D.《没有倒数

6.（2022秋•桥西区期末）下列命题的逆命题是真命题的是（）

A.若。>0,8>0,则a+b>0

B.若,则⑷=|例

C.对顶角相等

D.两直线平行，同位角相等

7.（2022秋•陕西期末）下列命题的逆命题中，属于真命题的是（）

A.如果a=0,〃=0,则M=0

B.全等三角形的周长相等

C.两直线平行，同位角相等

D.若a=6,贝［|J=必

8.（2022秋•宝山区期末）下列命题中，假命题是（）

A.若点C、D在线段AB的垂直平分线上，则AC=8C,AO=BD

B.若AC=BC,AD=BD,则直线CD是线段AB的垂直平分线

C.若朋=P8,则点P在线段AB的垂直平分线上

D.若以=PB,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线

9.（2022秋•南安市期末）下列命题是假命题的是（）

A.有一个角是60。的三角形是等边三角形

B.有两个角是60。的三角形是等边三角形

C.三个角都相等的三角形是等边三角形

D.三边相等的三角形是等边三角形

10.（2022秋•永安市期末）能说明命题“对于任意实数，衣=a「是假命题，其中«可取

的值是（）

A.-1B.0C.1D.V2

二、填空题（共8小题）

11.（2022秋•慈溪市期末）能说明命题：“若两个角a邛互补，则这两个角必为一个锐角一

个钝角”是假命题的反例是.

12.（2022秋•盐田区期末）用一个k的值推断命题“一次函数y=履+1（原0）中，y随着x

的增大而增大”为假命题,这个值可以是.（注：举出一个即可）

13.（2022秋•青田县期末）命题“如果"=I,那么a,6互为倒数”的逆命题为.

14.（2023•金水区开学）“你的作业做完了吗”这句话命题.（填“是”或者“不是”）

15.（2022秋•徐汇区校级期末）在平面内，经过点P且半径等于1的圆的圆心的轨迹

是•

16.（2022秋•常德期末）用反证法证明：在一个三角形中不能有两个角是钝角.应先假

设：.

17.（2022秋•莲池区校级期末）用一组”,b的值说明“若a<h,则/<庐是假命题，若小

明取a=-2,则b=.

18.（2022秋•仙居县期末）如图,在AABC中,ZABC=115°,AB=BC=6cm,将-ABC绕

点B顺时针旋转得到AO2E，过点C作CF±BE于点F,当点E、B、A在同一直线上时

停止旋转.在这一旋转过程中，点尸所经过的路径长为.

C

三、解答题（共2小题）

19.（2022秋•卧龙区校级期末）学习了三角形全等的判定方法后可知，有两边及其中一边

的对角分别相等的两个三角形不一定全等，那么什么时候全等什么时候不全等呢？

小聪将命题用符号语言表示为：在AA8C和AOEF中,AC=DF,BC=EF,^B=AE

思考要想解决问题，应把NB分为“直角、锐角、钝角”三种情况进行探究：

(1)第一种情况：当角时,在AABC和中,AC=DF,BC=EF,NB=NE

=90°,根据“HL”定理，可以知道Rt^ABC^Rl^DEF.

(2)第二种情况：当NB是锐角时，如图,BC=EF/B=4E<90°,在射线EQ上有点

。，使OF=AC,在答题卡的图中画出符合条件的点，根据作图可以判断“BC和SEF

的关系.

A、不全等

B、不一定全等

C、全等

(3)第三种情况：当N8是钝角时，在AABC和A£»EF中,AC=DF,BC=EF/B=4E

>90°,求证：^ABC^^DEF.

20.(2022秋•桐柏县期末)函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历

了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.以

下是课外兴趣小组研究函数y具障的图象、性质及其应用的部分过程，请按要求

x2+l

完成下列各题：

(1)下表是函数y与自变量.V的几组对应值，则a=

X...-5-4・3・2-1-0.500.512345

y…-0.8-0.501.5343m0_

0.70.50.70.8

(2)如图在平面直角坐标系中，已经描出了该函数图象的部分点并绘制了部分图象，请

把图象补充完整；

（3）观察函数y=?（4二1）.的图象，判断下列命题的真假.（在题后括号内正确的打“的，

x2+l

错误的打"x”）

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x=0；；

②该函数在自变量的取值范围内有最大值，当x=0时取最大值4；；

③若当x<〃时，函数y的值随x的增大而增大，则h的值是0；；

④该函数图象与直线y=-1没有公共点.；

（4）结合相关函数的图象，直接写出不等式包（fY）,>洛都］解集（近似值保留

x2+l2

一位小数，误差不超过02）；

（5）若函数y=±早也的图象与直线y=k有两个公共点，则常数k的取值范围

x2+l

是

2023年中考数学二轮复习之命题与证明

参考答案与试题解析

一、选择题（共io小题）

1.（2022秋•鸡泽县期末）下列命题中是真命题的有（）个.

①作线段

②正数大于负数；

③钝角和锐角之和为180°；

④今天的天气好吗？

⑤等腰三角形是轴对称图形；

⑥若a、b满足/=射，则”=°.

A.2B.3C.4D.5

【考点】命题与定理；轴对称图形；等腰三角形的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】根据真命题的概念以及等腰三角形的性质、平方的特点的知识即可判断.

【解答】解：①作线段A8HCD,不是命题；

②正数大于负数；是真命题；

③钝角和锐角之和为180°,是假命题；

④今天的天气好吗？不是命题；

⑤等腰三角形是轴对称图形，是真命题；

⑥若〃、b满足“2=序，则”=°,是假命题.

故选：A.

【点评】本题考查命题的知识，解题的关键是了解有关定义及性质.

2.（2022秋•沧州期末）下列众题中，其逆命题是假命题的是（）

A.等腰三角的两个底角相等

B.直角三角形中两个锐角互余

c.全等三角形的对应角相等

D.如果用=必，那么

【考点】命题与定理；全等三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】写出各命题的逆命题，再根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，全等三

角形的判定，逐项判断即可求解.

【解答】解：人逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项

不符合题意；

民逆命题为：有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故本选项不符合题意；

C、逆命题为：对应角相等的三角形全等，是假命题，故本选项符合题意；

D、逆命题为：如果,那么席=小,是真命题，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查的是命题与定理，涉及到等腰三角形的判定，三角形内角和定理，全

等三角形的判定，判断命题的真假，逆命题等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

3.（2022秋•未央区期末）下列命题是真命题的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直的矩形是正方形

【考点】命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的

判定.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】根据特殊平行四边形的判定定理即可——判定.

【解答】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，是假命题，不符合题

意；

B.一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，故该命题错误，是假命题，

不符合题意；

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该命题错误，是假命题，不符合题意；

D.对角线互相垂直的矩形是正方形，故该命题正确，是真命题，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查的是命题与定理及特殊四边形的判定，熟练掌握和运用各特殊四边形

的判定方法是解决本题的关键.

4.（2022秋•抚州期末）下列命题中，是真命题的有（）个

①同旁内角互补；

②两条边及一个内角分别对应相等的两个三角形是全等三角形；

③我的算术平方根是3；

④若4>0,则点（“"）在第一象限或第三象限.

A.1B.2C.3D.4

【考点】命题与定理；坐标与图形性质；同位角、内错角、同旁内角；全等三角形的判

定.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】依据平行线的性质，全等三角形的判定，算术平方根的定义及象限点的坐标特

征分别判断即可.

【解答】解：由两直线平行，同旁内角互补，故①错误；

依据两边及夹角对应相等的两三角形全等，故②错误；

向的算术平方根是F,故③错误；

若必>0,则点（a"）在第一象限或第三象限,故④正确，真命题有1个.

故选：A.

【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大.

5.（2022秋•屯留区期末）下列命题中，为真命题的是（）

A.-9的平方根为±3

B.一个数的平方根等于它的算术平方根

c.”年的相反数为五

D.飞没有倒数

【考点】命题与定理；平方根；算术平方根；实数的性质.

【专题】实数；推理能力.

【分析】根据平方根，算术平方根，实数的性质进行求解即可.

【解答】解：49的平方根为±3,-9没有平方根，是假命题，不符合题意；

民一个数的平方根不等于它的算术平方根，是假命题，不符合题意；

C、f后的相反数为粕，是真命题，符合题意；

D、f行有倒数，是假命题，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查的是命题与定理，平方根，算术平方根，实数的性质，熟知相关

知识是解题的关键.

6.（2022秋•桥西区期末）下列命题的逆命题是真命题的是（）

A.若a>0,〃>0,则a+b>0

B.若。=6,贝!1|。|=创

C.对顶角相等

D.两直线平行，同位角相等

【考点】命题与定理；绝对值；有理数的加法；对顶角、邻补角；平行线的性质.

【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可

以利用排除法得出答案.

【解答】解：人若”>0">0,贝!|。+。>0的逆命题是若a+b>0,则a>0">0,逆

命题是假命题，不符合题意；

B、若a=b,则同=|例的逆命题是若同=|例，则a=6,逆命题是假命题,不符合题意；

C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；

两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符

合题意;

故选：D.

【点评】此题主要考查学生对命题与逆命题的理解及真假命题的判断能力，解题的关键

是能够正确的得到原命题的逆命题.

7.（2022秋•陕西期末）下列命题的逆命题中，属于真命题的是（）

A.如果“=0"=0,则帅=0

B.全等三角形的周长相等

C.两直线平行，同位角相等

D.若a=6,则J=必

【考点】命题与定理；全等三角形的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可

以利用排除法得出答案.

【解答】解:人如果岫=0,则4=0"=0,是假命题,应该是如果ab=0,则。=0

或%=0,此选项错误，不符合题意；

8、周长相等的三角形不一定是全等三角形，此选项错误，不符合题意；

C、同位角相等，两直线平行，是真命题，此选项正确，符合题意；

D、若“2=序，则4=6,是假命题，应该是若“2=廿，则4=〃或a=-6,此选项错误,

不符合题意.

雌：C.

【点评】本题主要考查学生对命题与逆命题的理解及真假命题的判断能力，解题的关键

是能够正确的得到原命题的逆命题.

8.（2022秋•宝山区期末）下列命题中，假命题是（）

A.若点C、D在线段AB的垂直平分线上，则AC=8C,AO=8。

B.若AC=BC,AO=8。，则直线CD是线段AB的垂直平分线

C.若布=尸3,则点P在线段AB的垂直平分线上

D.若布=尸8,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线

【考点】命题与定理；线段垂直平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】利用线段的垂直平分线的性质分别判断即可.

【解答】解：人若点C、D在线段AB的垂直平分线上，则AC=BC,AD=BD,正确，

是真命题，不符合题意；

B、若AC=BC,AD=BD,则直线CD是线段AB的垂直平分线，正确，是真命题，不符

合题意；

C、若出=P8,则点P在线段AB的垂直平分线上,正确，是真命题，不符合题意；

D、若％=PB,则过点P的直线不一定是线段AB的垂直平分线，故错误，是假命题，

符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解线段的垂直平分线的性质及

判定方法，难度较小.

9.（2022秋•南安市期末）下列命题是假命题的是（）

A.有一个角是60。的三角形是等边三角形

B.有两个角是60。的三角形是等边三角形

C.三个角都相等的三角形是等边三角形

D.三边相等的三角形是等边三角形

【考点】命题与定理；等边三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】利用等边三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：人有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，是假命题,

符合题意；

员有两个角是60。的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意；

C、三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意；

以三边相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等边三角形的判定方法，难

度较小.

10.（2022秋•永安市期末）能说明命题“对于任意实数，值=a."是假命题,其中a可取

的值是（）

A.-1B.0C.1D.V2

【考点】命题与定理；二次根式的性质与化简.

【专题】实数；运算能力.

【分析】分别把各选项的值代入即可进行判断.

【解答】解：4.当。=-1时，衣=4（_1）2=近=1卉符合题意;

8.当“=0时，值=后=0，不符合题意；

C.当。=1时，底工=i，不符合题意；

D.当a=加时，挣=7（72）2=近，不符合题意.

故选：4.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论

证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

二、填空题（共8小题）

11.（2022秋•慈溪市期末）能说明命题：“若两个角a,6互补，则这两个角必为一个锐角一

个钝角”是假命题的反例是a=90°,0=90°.

【考点】命题与定理；余角和补角.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】举出一个反例即可.

【解答】解：若两个角a,。互补，则这两个角不一定一个是锐角一个是钝角，

如a=90。，p=90°,

故答案为：a=90°,0=90。.

【点评】本题考查的是命题与定理，证明一个命题是假命题举出一个反例是解决此类题

的关键.

12.（2022秋•盐田区期末）用一个k的值推断命题“一次函数），="+1（原0）中，y随着x

的增大而增大”为假命题，这个值可以是7（答案不唯一）.（注：举出一个即可）

【考点】命题与定理；一次函数的性质.

【专题】一次函数及其应用；应用意识.

【分析】根据一次函数的性质：对于一次函数y=履+6,当％<。时，y随x的增大而砌'

解答即可.

【解答】解：当％=-1时，一次函数为y=-x+1,），随着x的增大而减小，

二命题”一次函数），=履+1（以0）中，y随着x的增大而增大”.是错误的，

故答案为：-1（答案不唯一）.

【点评】本题考查的是命题和定理、一次函数的性质，掌握对于一次函数y=丘+8,当k

<0时，y随A-的增大而减小是解题的关键.

13.（2022秋•青田县期末）命题“如果岫=1,那么〃，b互为倒数”的逆命题为如果

互为倒数，那么久=1.

【考点】命题与定理；倒数.

【专题】实数；数感；推理能力.

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.

【解答】解：命题“如果油=1,那么。。互为倒数”的逆命题为：

如果“，人互为倒数，那么"=1；

故答案为：如果。互为倒数，那么ab=\.

【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命

题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命

题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

14.（2023•金水区开学）“你的作业做完了吗”这句话不是命题.（填“是”或者“不是”）

【考点】命题与定理.

【专题】推理填空题；推理能力.

【分析】根据命题的定义进行判断即可.

【解答】解：“你的作业做完了吗”这句话不是命题.

故答案为：不是.

【点评】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题

设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以

写成如果...那么…”形式.凡是作图语句与疑问句都不是命题.

15（2022秋•徐汇区校级期末应平面内，经过点P且半径等于1的圆的圆心的轨迹是以

点P为圆心，1为半径的圆.

【考点】轨迹.

【专题】圆的有关概念及性质；几何直观.

【分析】经过点P且距离等1的圆的圆心的轨迹是以点P为圆心，1为半径的圆.

【解答】解：在平面内，经过点P且半径等于1的圆的圆心的轨迹是以点P为圆心，1

为半径的圆.

故答案为：以点P为圆心，1为半径的圆.

【点评】本题考查的是圆的相关概念、根据几何术语正确作出图形是解决此题的关键.

16.（2022秋•常德期末）用反证法证明：在一个三角形中不能有两个角是钝角.应先假设：

这个三角形中有两个角是钝角.

【考点】反证法；三角形内角和定理.

【专题】反证法；推理能力.

【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可.

【解答】解：用反证法证明命题“在一个三角形中不能有两个角是钝角”第一步应假设这

个三角形中有两个角是钝角.

故答案为：这个三角形中有两个角是钝角.

【点评】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键.

17.（2022秋•莲池区校级期末）用一组a,b的值说明“若a<b,则/<庐，是假命题，若小

B月取a=-2,贝!Jb=-.

【考点】命题与定理.

【专题】实数；数感.

【分析】找到满足题设但不满足结论的一对数即可.

【解答】解：当。=-2"=-1时，满足但是

.,命题“若a<h,则J<*是错误的.

故答案为：-1（答案不唯一）.

【点评】此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一

个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是

假命题，只需举出一个反例即可.

18.（2022秋•仙居县期末）如图，在-ABC中,ZABC=115°,AB=BC=6cm,将M8C绕

点8顺时针旋转得到AO8E，过点C作CF±BE于点F,当点反8、A在同一直线上时

停止旋转.在这一旋转过程中，点F所经过的路径长为.

C

【考点】轨迹；旋转的性质；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的计算；运算能力；

推理能力.

【分析】取BC的中点O,连接OF,由N8FC=90。，得OF=OB=OC=1BC,可知点F

2

在以BC为直径的圆上运动，当点&A、B在同一直线上，则NEBC=180°-乙48c=65。，

所以NC。尸=2NEBC=130。，而。尸=」BC=3,即可根据弧长公式求得».=空匚机,

2CF6

则点厂所经过的路径长为=，于是得到问题的答案.

6

【解答】解：如图1,取BC的中点。，连接OF,

♦.CF_L5E于点F,

.-.ZBFC=90°,

:.OF=OB=OC=^BC,

2

・•・点F在以BC为直径的圆上运动，

如图2,点E、A、B在同一直线上，

■：AABC=115°,AB=BC=6an,

"EBC=180°-NABC=180°-115°=65°,

.-.ZCOF=2Z£BC=2x65°=130°,

.'.OF=—BC=AX6=3(cnz),

22

130XJlX3=232L(Cffl))

1806

•••点E所经过的路径长为=用四m,

6

故答案为：整工。〃.

6

【点评】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质、圆周角

定理、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

三、解答题（共2小题）

19.（2022秋•卧龙区校级期末）学习了三角形全等的判定方法后可知，有两边及其中一边

的对角分别相等的两个三角形不一定全等，那么什么时候全等什么时候不全等呢？

小聪将命题用符号语言表示为：在"BC和AOEF中,AC=DF,BC=EF/B=NE.并

思考要想解决问题，应把NB分为“直角、锐角、钝角”三种情况进行探究：

(1)第一种况：当角时,在AABC和中,AC=DF,BC=EF,=

=90°,根据“HL”定理,可以知道Rt^ABC^Rt^DEF.

(2)第二种情况：当“是锐角时，如图,BC=EF/B=ZE<90°,在射线EQ上有点

。，使。尸=AC,在答题卡的图中画出符合条件的点D,根据作图可以判断和

的关系B.

A、不全等

B、不一定全等

C、全等

(3)第三种情况：当“是钝角时，在MBC和AOEF中,AC=DF,BC=EF,NB=4E

>90°,求证：4AB0DEF.

【考点】命题与定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定；直角三角形全等的判定.

【专题】分类讨论；图形的全等；几何直观.

【分析】(2)按要求画出图形，观察图形可知MBC和AOEF不一定全等；

(3)过点C作AB边的垂线交AB的延长线于点M,过点F作DE边的垂线交DE的延

长线于N,由AAS可证ACBM*FEN,即得BM=EN,CM=FN,根据HL证明ACM

WRKDFN，有AM=DN,即得AB=DE,再由SSS可得.

【解答】(2)解：如图：

BQDD'E

由图可知，满足条件的有。和。，故MBC和不一定全等，

故答案为：B；

(3)证明：过点C作AB边的垂线交AB的延长线于点M,过点尸作DE边的垂线交DE

的延长线于N,如图：

•：4ABC=4DEF,

：.ZCBM=/FEN,

■：CMA-AB,FN±DE,

：.4CMB=NFNE=90°.

在△。刚/和4尸硒中，

，ZCMB=ZFNE

<ZCBM=ZFEN,

BC=EF

-.^CBM^FEN(AAS),

：.BM=EN,CM=FN,

在Rt^ACM和RKDFN中，