2023高考数学复习练39　必要性探路

微专题39必要性探路

2知识拓展

1.必要性探路法，是指对一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某

个特殊的值或某几个特殊的值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再

在该范围内讨论，或去验证其充分条件，进而解决问题的方法.

2.虽然这种必要性探路的方法求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以

限定问题成立的大前提，缩小参数的讨论范围，在一定程度可以减少分类讨论的

类别，降低了思维难度.

热点聚焦分类突破研热点析考向

类型一取点探路

I核心归纳

对已知不等式恒成立求参数范围问题，我们可以取定义域内的一个或几个特殊点

探路，以缩小参数的取值范围，如取闭区间的端点，指数函数常取O或1,对数

函数常取1或e等.

ɪ-X

例1(2022•哈三中模拟节选)已知人X)=In(αx+1)+^pq(x2D,若危)2In2恒成立,

求实数α的取值范围.

解必要性：对XeI,/(x)∖ln2恒成立，

ɪ-X

即ln(ax+1)+]+.Tn2≥0在(1,+8)怛成立.

ɪ-X

令g(x)=ln(&x+1)+]+.Tn2,

所以g(l)=ln(α+l)-ln220,解得α21∙

x+12

充分性：当421时，g(x)^ln^-+^q-j-1(x^1).

则令h(f)=in/+ɪ-1(Z≥1),

11t—1

所以

则〃⑺在(1,+8)上单调递增，

所以〃(。2秋1)=0,

所以g(x)20恒成立，

综上所述，α的取值范围是［1,+∞).

训练1已知/(x)=Ox2-4In(X—1),对x∈［2,e+1］恒有/(x)Wl,求实数α的取值

范围.

解必要性:因为对x∈［2,e+l］恒有y(x)≤l.

即αx2-41n(χ-1)—1≤0,令g(x)=0x2-4In(X—1)-1,

则g(2)=4tz-1≤0,则α≤∣.

充分性：当aW；时，g(x)=αx2-41n(χ-1)—l≤^x2-41n(χ-1)—1,

根据InXel-%证明略)，在x∈［2,e+1］上有4In(X—1)—1

1,(1)(X—2)(x2+x—18)

<7?-41--7\-1=---------——∏----------≤0,

4VX-IJ4(%—1)

所以g(x)WO,即/(x)<1,

故α的取值范围是(一8,ɪ.

类型二极值点探路

I核心归纳

1.已知/(x)WO(或/(x)∖0),找/(x)的极大值(或极小值)点探路；

2.对于/(x)Wg(X),找/(x)的极大值点，g(x)的极小值点探路.

例2已知函数y(x)=ln(x+l)-ae2d)+l,α≥0.

(1)当。=1时，求函数7(x)在区间(0,+8)上的零点个数；

(2)若关于X的不等式In(X—，一小(厂Yχ-q2e(χ-1)—,在区间(1,+8)上恒成

立，求实数α的取值范围.

解(1)当a=∖时，/(x)=In(X+1)+1—e2(*F

y=ln(x+l)+l

ln(x+l)+l=e2<r"1)

当Xe(O,1)时，_/(x)=ln(x+l)+l—e2(、T)>l—e2dsl-1=0,此时无零点.

当x∈[l,+8)时，

/(“)=*—2e2L),

当X∈[l,+8)时，/(X)单调递减，

且/(X)寸⑴=g—2<0,

当XG[1,+8)时，/(χ)单调递减，

T(I)=In2+I-I=In2>0,

√(2)=ln3+l-e2<0,

3xo∈(l,2),使HXO)=O∙

.∙.当α=l时，函数/(x)在区间(0,+8)上有且只有一个零点.

(2)必要性：在区间(1,+8)上In(X-O—αe2(x~∣)≤χ-∕e(χ-1)—I■恒成立，

即In(X—卜一))一1</62。-1)一42七(》一1)在(1,+8)上恒成立，

当o=0时，ae2(x-1)—02e(χ-1)=0,

因为y=lnχ-(χ-l)W0恒成立，

则InQ-])—(χ-χ)-ɪW。,

当a>0时，

3

2~x

m,(x)=­p

x-2

3

当x>/时，*(x)<0,〃?(x)单调递减，

3

当1<X<]时，7M,(x)>0,〃7(X)单调递增,

所以∕M(x)≤mf∣j=O.

3e

当a>O时，X=],0≤αe-a2-2>

则α∙e(l-

即1—520,得αW2∙

综上，α的取值范围为[0,2],

充分性：当α∈[0,2]时，

In(X—g)—3)—1—。上2。一0—q∙e(χ-1)]≤0,①

当α∈[0,2]时，e2(x-l)—a∙e(χ-l)^e2(jv-l)—2∙e(χ-1).

令w(x)=e2(v"1)-2∙e(χ-1),x>l,贝∣J〃'(X)=2e2(x~^—2e.

当x>l时，〃'(x)单调递增，且〃'@=2e-2e=0,

故当x∈(l,|)时，n'(χ)<0,“(X)单调递减，

当x∈仔，+9时，∕√(χ)>0,〃(X)单调递增，

.∙."(x)N"电=e-e=O,

.,.x>l,aw(x)≥0.

由已知得x>l,ln(x—1)—(χ-2}-ɪWθ∙

二①式成立∙.∙∙aW[0,2].

训练2已知α>0,函数兀。=0x2-χ,g(x)=lnX.是否存在实数α,使/(x)2g(4x)

恒成立？若存在，求出实数。的值；若不存在，请说明理由.

解必要性：令S(X)=Hx)—g(αx)=αr2-x—In"，x>0,

求导得^,(x)=2αχ-1—ɪ

因为"()=°'又S(X)

则1是s(x)的一个极小值点，则d(0=O,解得α=L

、八I1L1(2x+l)(χ-1)

充分性：当Q=I时，φf(x)=2χ-l--=-------------------------.

当O<x<l时，φ'(x)<0,矶x)单调递减;当x>l时，"(x)>0,夕(X)单调递增,

从而S(X)23(1)=0,符合题意.

综上可知a=∖.

类型三保号性探路

I核心归纳

“保号性”的完整提法是“局部保号性”，它是微积分学中的一个重要概念，有

多种叙述形式，我们介绍一种比较容易理解的形式：已知函数小)在。点连续，

且/(α)>0,则存在σ>0,当|x—α∣<o"时，/(x)>0(注意它的逆命题是假命题).

例3已知函数/(x)=axlnχ-其中aGR.

若函数.危)是(1,+8)内的减函数，求正数α的取值范围.

解必要性：因为函数/(x)是(1,+8)内的减函数，所以/(χ)=αlnx+a-ox"—I

=α(lnx+I-Xa-I)Wo在(1,+8)内恒成立.

令式X)=Inx+1~xa1,

因为α>0,所以g(x)=Inx+I-XflTWO在(1,+8)内恒成立,

因为g(l)=0,g,w=^-(α-i)%a2,

保证g(x)在X=I处有单减趋势，则gQ)≤0,即g，(l)=l—5一l)≤0,则α22.

充分性：

因为所以。一121,

因为x>l,所以尸

则g(x)=lnx+1-χɑ^1≤lnx+1-χ<0,

所以/(x)=α(lnx+1—x)<0.

故α的取值范围是［2,+∞).

X3

训练3已知函数/(x)=In(X+1)—χ一^y,

若当x>~∙1时，"v)≤αr2,求实数α的取值范围.

解必要性：令g(x)=ln(x+l)-x—^y-αx2W0,

1ɔ

g(x)=R［—］一片―2"，

g"(x)=-(二1)2-2x~2a,

因为g(0)=0,g'(0)=0,所以g"(0)W0,

贝Ig-g.

充分性：当a》一g时，g(x)=In(X+1)—%+52-a}2,

1√

由三阶泰勒公式知In(X+1)—x+]x2-1W0(证明过程略)，

又(-g-~0jx2W0,

1ʌɜ/ɪλ

Λg(x)=ln(x+1)—x+p^-ɜ-+!—2-∣x2≤0,即g(x)≤0.

故实数4的取值范围是一看+∞).

类型四双参数不等式恒成立探路问题

I核心归纳

此类问题多数是求双参数代数式的最值，基本方法是先移项构造一端是零的不等

式，再设出另一端的函数，重点分析此函数自变量取何值时，恰好出现双参数的

代数式，进而探出代数式的最值(可能值)，最后再证明此代数式取最值时，原题

目中的不等式恒成立.

例4已知函数/(X)=—2HnX+2(α+l)χ-x2(a>0),若在函数/(x)的定义域内，总

有7(x)2—χ2+24x+b成立，试求a+b的最大值.

解必要性：7(x)2—x2+2αx+b,x>0,

即2。InX—2x+bW0.

令g(x)=2αlnχ-2x+b,

由题意知“g(m)W0”是“g(x)W0”的必要条件(注意选X=注是为了整理后的

不等式出现α+6),即a+

则α+6的最大值可能为2#.

充分性：存在a,b满足a+b=2#,总有/(X)，一χ2+2αx+6成立，取a=h=∖β,

则g(x)=2√elnχ-2x+√e,从而g,(x)=2∙^ɪ

当0<x<m时，g,(x)>0,g(x)单调递增；

当χX∖R时，g,(x)<0,g(x)单调递减.

从而当x>0时，g(x)≤g(Ve)=O,符合题意.

综上可知，α+b的最大值为2#.

训练4已知a,b∈R,/(x)=e"—αx—bʌ/d+］在［0,+8)上的最小值为0,求。

+√5∕)的最大值.

解必要性：由/(x)20得e*24x+fr∖序TI,

即≤⅛α+岖亘，

XX

令市，得X=J或X=—)(舍)，故取X=J,yβ∙)=e2-"ɪ?θ,

√V乙乙乙∖~*y乙乙

\_

即α÷∙∖∕56≤2e2,

ɪ

充分性：存在m匕满足。+小6=2/且能使7U)在［0,+8)上的最小值为0.

取6=坐?(此时可使/(j=0),

/(『—"—啬p(f+ι∖χ2"b=年<1，

故当x∈［0,+8)时，(χ2+l)√χ2+l≥l,e^l,

故/"(x)20,

所以/(x)在［0,+8)上单调递增，

冏=0∙

则当x∈0,时，/(x)<0,/(x)单调递减，当x∈ɪ+8)时，/(χ)>0,/(x)单调

递增，・；/(X)min=∕^g［=0,

此时(α+小刀max=2e2.

高分训练对接高考重落实迎高考

一、基本技能练

1.已知不等式eʌ—aln(x÷α)—Ina-120恒成立，求实数a的取值范围.

解必要性：依题有a>0,当x=0时，-lnα-^αlna20,解得0<aWl.

充分性：下面证明0<aWl时，题设不等式恒成立.

由e'2x+l(证明略)易得eA-1^a1x,

只需证明Q2χ-Hn(x+α)-Inα20.

设g(x)=∕χ-Hn(x+α)-Ina,

则gG)=α2-M=α(kW40，

则gtx)单调递增，

令g<x)=0,即4。一*，=0,解得X=]-α,

所以当x<：—“时，g,(x)<O,g(x)单调递减，

当x>十一α时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所g(x)min=gθ~)

=α(l-α2)÷(l—ɑ)lnɪ^θ,当且仅当α=l取等号.

所以证得fl⅛-Hn(x+α)-Inα20成立，当且仅当X=0,α=l时等号成立.

因此4W(0,1]时，不等式eMx—4]n(x+4)-Ina—120恒成立.

2.已知函数/(x)=x(InX+3ax+2)-3ax+4.

⑴若川)在[1,+8)上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)若/(x)的最大值为6,求实数a的值.

解(1)必要性：由题意知/(x)=InX+6ax+3-3aW0在Xel时恒成立，

因此必有/(l)=3a+3W0,

即a≤—1.

充分性：当aW-l时，由不等式InXWX-1(当且仅当x=l时取等号)，有/(X)=

Inx+3a(2x—1)+3WX—1—3(2x—1)+3=5(1-x)≤0,

此时符合题意.

综上可知aG(-8,—1],

(2)由题意得/(1)=6.

因为/(x)W6,所以1为/(x)的一个极大值点.

又f[x}=Inx+6ax+3-3a,

因此必有/(l)=0,解得。=一L

当q=—1时，由不等式InXWX—1(当且仅当X=I时取等号)，有

/(x)=x(lnX—3x+2)+3x+4WX(X—1—3x+2)+3x+4=6—2(X一1)2≤6,符合题意.

综上可知4?=—1.

3.已知函数兀T)=X-In(X+1),g(x)=ev-χ-1.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若g(x)2研x)对任意的x∈[0,+8)恒成立，求实数左的取值范围.

1X

解(l*(x)=l—F=F(x>—I),

令/(x)=0,得X=0,

.∙.在(一1,0)±,/(x)<0,函数〃)单调递减;

在(0,+∞)±,/(x)>0,函数人x)单调递增.

所以函数段)的单调递减区间为(一1,0),单调递增区间为(0,+∞).

(2)由题意得ex-χ-12A^[χ-ln(x+1)]在Xe[0,+8)上恒成立，

令A(x)=ev-χ-1—4χ-ln(x+1)],

则MX)No在x∈[0,+8)上恒成立，

"㈤=CATT(I-4)，

则V(O)=O,心(X)=e'-(二])2,

Λ,,(0)=l-⅛,

若ZT(O)=I—左<0,即左>1时，存在x∈(0,+8)使得χ∈(0,XO)时，ΛH(X)<O,

则在(0,X0)上∕f(x)单调递减，此时〃(X)<∕(0)=0,

则〃(X)在(0,XO)上单调递减，且x∈(0,xo)使Aa)Oi(O)=O,则MX)20不恒成立.

若犷(O)=I一左20,即A‹l时，

由(1)知/(x)=X-In(X+1)的最小值为/(0)=0,

贝!]h(x)=ex-χ-1—ln(x+χ-1—x÷ln(x÷l)=ex-2χ-1+ln(x÷

I)(X20).

令φ(x)=eκ-2x~1÷ln(x÷l)(x^0),

^,(x)=ev-12^2Λ/(X+1)2=0(当且仅当X=O

时取等号）,

则S(X)在[0,+8)