08SG311-2-混凝土结构加固构造(地基基础及结构整体加固构造)

2.2.2函数的奇偶性第2章

2.2函数的简单性质2.2.2函数的奇偶性第2章2.2函数的简单性质学习目标1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考

知识点一函数奇偶性的几何特征下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案答案

①②关于y轴对称，③④关于原点对称.思考知识点一函数奇偶性的几何特征下列函数图象中，关于y轴图象关于y轴对称的函数称为

函数，图象关于原点对称的函数称为

函数.梳理偶奇图象关于y轴对称的函数称为函数，图象关于原点对称的思考1

知识点二函数奇偶性的定义为什么不直接用图象关于y轴(或原点)对称来定义函数的偶奇性？答案答案因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.思考1知识点二函数奇偶性的定义为什么不直接用图象关于y轴思考2

利用点对称来刻画图象对称有什么好处？答案答案好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然.(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可.思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处？答案答案好处有梳理设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性.梳理设函数y＝f(x)的定义域为A.思考

知识点三奇(偶)函数的定义域特征如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那这个函数f(x)还具有奇偶性吗？答案答案由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f(－x)与f(x)的关系.而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f(－1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数是既非奇函数，也非偶函数.思考知识点三奇(偶)函数的定义域特征如果一个函数f(x)梳理判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于

对称.原点梳理判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否题型探究题型探究命题角度1已知函数解析式，证明奇偶性证明类型一证明函数的奇偶性证明因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f(x)＝

既非奇函数又非偶函数.命题角度1已知函数解析式，证明奇偶性证明类型一证明函数的证明(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；证明函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数.证明(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；证明证明证明定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，即该函数既是奇函数又是偶函数.证明证明定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域.反思与感悟利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关跟踪训练1

证明跟踪训练1证明(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数.证明证明函数的定义域为R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数.(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数.证明证明函数的定义命题角度2证明分段函数的奇偶性解答命题角度2证明分段函数的奇偶性解答解由题意可知f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，关于原点对称，当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)，所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]，所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x).综上可知对于任意的x∈(－6，－1]∪[1,6)，都有f(－x)＝f(x)，解由题意可知f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点(1)定义域是否关于原点对称.(2)对于定义域内的任意x，是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x)).反思与感悟分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点反思与感悟证明证明证明定义域为{x|x≠0}.若x<0，则－x>0，∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，∴f(－x)＝－f(x)；若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，∴f(－x)＝－f(x)；即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.证明定义域为{x|x≠0}.命题角度3证明抽象函数的奇偶性例3

f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性.解

∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数.f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数.f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数.解答命题角度3证明抽象函数的奇偶性解∵f(x)，g(x)是定利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x，看总的结果.反思与感悟利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数跟踪训练3设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是________.(填序号)①f(x)g(x)是奇函数；②f(x)g(x)是偶函数；③|f(x)|g(x)是偶函数；④f(x)|g(x)|是奇函数.答案解析①③④跟踪训练3设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x解析①令h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故①对，②不对；③令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，故③对；④令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故④对.解析①令h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x命题角度1奇(偶)函数图象的对称性的应用例4

定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象；类型二奇偶性的应用解答命题角度1奇(偶)函数图象的对称性的应用类型二奇偶性的应解先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图.解先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1(2)解不等式xf(x)>0.解答解

xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).(2)解不等式xf(x)>0.解答解xf(x)>0即图象上引申探究将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.解答解

(1)f(x)的图象如图所示.(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2).引申探究解答解(1)f(x)的图象如图所示.(2)xf(鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画跟踪训练4

已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.解答(1)画出在区间[－5,0]上的图象；跟踪训练4已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区解如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲线连接即得.解如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解答解由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5).(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解答解由(1)图可命题角度2利用函数奇偶性的定义求值例5

(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝_____，b＝____.0答案解析命题角度2利用函数奇偶性的定义求值0答案解析解析∵偶函数的定义域关于原点对称，又f(x)为偶函数，对定义域内任意x恒成立，解析∵偶函数的定义域关于原点对称，又f(x)为偶函数，对定08SG311-2-混凝土结构加固构造(地基基础及结构整体加固构造)(2)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时f(x)的解析式.解答解设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.(2)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)函数奇偶性的定义有两处常用(1)定义域关于原点对称.(2)对定义域内任意x，恒有f(－x)＝f(x)(或－f(x))成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值.反思与感悟函数奇偶性的定义有两处常用反思与感悟0当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.答案解析0当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，答案解析当堂训练当堂训练1.函数f(x)＝0(x∈R)的奇偶性是____________________.答案23451既是奇函数又是偶函数1.函数f(x)＝0(x∈R)的奇偶性是__________2.函数f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是__________________________.答案23451既不是奇函数又不是偶函数2.函数f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是_______3.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝_____.234515解析∵函数y＝f(x)＋x是偶函数，∴x＝±2时函数值相等.∴f(－2)－2＝f(