(新教材)【鲁科版】20版必修一51(物理)

§5.3离散随机变量随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.§5.3离散随机变量随机变量概念的产生是15.3.1一维离散随机变量及分布列引例.掷一枚硬币,观察其面朝上的情况.样本空间Ω={正面,反面},定义一个映射

:Ω

R,满足(正面)=1,

(反面)=0.可见,

将一个事件映射到一个实数,且其取值是随机的;我们也称

为掷一枚硬币,其面朝上的次数.此例定义了样本空间到实数域上的一个对应关系：.(

)RΩ5.3.1一维离散随机变量及分布列引例.掷一枚硬币,2上例中变量取什么值,在每次试验之前是不能确定的,因为它们的取值依赖于试验的结果,也就是说它们的取值是随机的.因此,我们称这种变量为随机变量.定义5.5定义在样本空间上,取值于实数域R,且只取有限个或可列个值的变量称为一维(实值)离散型随机变量,简称离散随机变量.人们习惯上常把它们的取值及可能性情况写成

…………表格形式:并且称其为随机变量的分布列,或简称的分布.上例中变量取什么值,在每次试验之前是不能确定的,因3

例5.15在n=5的伯努利试验中,设事件A在一次试验中出现的概率为p,令“5次试验中事件A出现的次数”,由:得:

所以的分布为:5pq410p3q2012345q510p2q35p4qp5例5.15在n=5的伯努利试验中,设事4由概率性质可知,任一离散型随机变量的分布说明:都具有下述两个性质：(1)(2)反过来,任意一个具有以上两个性质的数列都有资格作为某个随机变量的分布.分布列不仅明确给出了的概率,而且对任意实数a<b,事件发生的概率均可由分布列算出,因为于是由概率的可列可加性知:由概率性质可知,任一离散型随机变量的分布说明:都具有下述两5其中上例中,的分布为:5pq410p3q2012345q510p2q35p4qp5容易验证：其中(1)

(2)而恰好是二项式展开式中的一项,因此也称该分布列为二项分布,记为B(n,p).

其中上例中,的分布为:5pq410p3q26在二项式分布n=1,那么k只能取值0或1,这时的分布表为中,如果

qp01

此分布列称为0-1分布或二点分布,它是二项式分布的特例.例如,掷一枚硬币,令:(正面)=1,

(反面)=0.则的分布为0-1分布:

1/21/201

在二项式分布n=1,那么k只能取值0或1,这时的分布表7

例5.16

在一个伯努利试验中,每次试验成功的概率为p,失败的概率为q=1-p,(0<p<1),设试验进行到第次才出现成功,求

的分布.

解:qk-1p…q2pqpppk…k…321ξ即此分布也叫几何分布.

例5.16在一个伯努利试验中,每次试验成8

例5.17

泊松分布(Poisson):该分布用于描述在大量试验中,稀有事件出现次数的数学模型.例如高速公路上每天发生的车祸数;数字通讯中的误码数;某公共汽车站单位时间内车站乘车的乘客数等.若离散型随机变量分布为其中常数

>0，则称服从参数为

的泊松分布,记为P(

).容易验证:(1)(2)例5.17泊松分布(Poisson):该分布用9随机变量的函数定义.设

是一随机变量,对任意的实数x,令则称F(x)为

的分布函数.例.设

服从参数为p的二点分布,即：k=0,1,其中0<p<1,q=1-p.求

的分布函数F(x).于是解:对任意实数x,由

的分布

qp01

知:随机变量的函数定义.设是一随机变量,对任意的实数10例5.18设是参数为的泊松分布的随机变量,又

求的分布.的可能取值必为1,0,-1,解:因为而的分布为所以例5.18设是参数为的泊松分布的随机变量,又求11练习题:1.射手每次射击的成绩在9.5环以上时被认为射击成功.如果每次射击成功的概率为0.45,令

求随机变量X的分布律.解:X的分布律为0-1分布,如下表所示:

X01Pk0.550.45练习题:1.射手每次射击的成绩在9.5环以上时被认为射击成122.统计资料表明某路口每月交通事故发生次数服从参数为6的泊松分布,求该路口一个月内至少发生两起交通事故的概率.解:设该路口每月发生的交通事故次数为X,由因此,所求概率为题设,X~即该路口每月都要发生两起或两起以上交通事故的概率为0.9826.2.统计资料表明某路口每月交通事故发生次数服从参数为6的泊13解:(1)(2)(3)3.某商店某种商品日销量X~P(5),试求以下事件(3)在已售出1件的条件下,求当日的概率.(1)日销3件的概率;(2)日销不超过10至少售出3件的概率.件的概率;解:(1)(2)(3)3.某商店某种商品日销量X~144.一办公室内有8台计算机,在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻:1)恰有3台计算机被使用的概率是多少?2)至多有2台计算机被使用的概率是多少?3)至少有2台计算机被使用的概率是多少?解:设X为同一时刻8台计算机中被使用的台数,于是则X~4.一办公室内有8台计算机,在任一时刻每台计算机被使用的155.3.2离散随机变量的数字特征和性质例:“上证指数”是股市的“数字特征”。

在证券市场中每天有上千只股票，每只股票都有不同幅度的振荡，眼花缭乱。为了了解它的总体变化，引入了“上证指数”，它仅仅只是一个数，但知道了上证指数就大致了解了当天大盘总的涨跌行情，为股民研究股市带来了很大方便。离散随机变量的两个数字特征：数学期望和方差。5.3.2离散随机变量的数字特征和性质例:“上证指数”是股市16定义5.2

设离散型随机变量可能取值为（i=1,2,．．．），则当

时，称存在

数学期望，并且记数学期望为：如果

则称的数学期望不存在。定义5.2设离散型随机变量可能取值为17例5.19

如果10人中有3个80分，4个70分，3个90分，则平均成绩是 。如果换一个角度看这个问题，将10人成绩放在一起，随机抽取一个成绩，则抽得的成绩是一离散随机变量，它的概率分布是：

注意：平均成绩从概率角度看正是数学期望。数学期望有时也称为“均值”。它反映了随机变量平均取值的大小，它是一个数。9080703/103/104/10例5.19如果10人中有3个80分，4个70分，3个90分18定理5.3

若是一个离散型随机变量，其分布列为又g(x)是实变量x的单值函数，如果 ，则有

．．．．．．定理5.3若是一个离散型随机变量，其分布列为19证明令，则仍是一个离散型随机变量，设其可能取的值为 ，于是由（5.17）式有

由数学期望的定义有证明令，则仍是一个离散20随机变量的数学期望具有下述基本性质：（1）若，则E存在，且。特别，若C是一个常数，则EC=C。（2）对二维离散型随机变量（，），若E、E存在，则对任意的实数，（3）若是相互独立的，则存在且

随机变量的数学期望具有下述基本性质：21例5.20

若随机变量服从二项式分布B(n,p)，试求它数学期望

。解这时

所以

（5.23）例5.20若随机变量服从二项式分布B(n,p)，试求22证法2可以看作是n重贝努里试验中事件A出现的次数，其中A在每次试验中出现的概率为p。现在令

显然是服从分布的随机变量，所以

另一方面，我们所关心的随机变量可以表示为：，于是由数学期望的性质（2）即得

证法2可以看作是n重贝努里试验中事件A出现的次数，其23说明：

把一个比较复杂的随机变量

拆成n个比较简单的随机变量之和，则数学期望等于这些简单的随机变量的数学期望之和。说明：24例5.21若随机变量服从参数为的泊松分布，试求的数学期望。解因为

于是

（5.24）由此可知服从泊松分布的随机变量的数学期望就是这个分布的参数。例5.21若随机变量服从参数为的泊松分布，试25方差的引入

例如：两个毕业班级中，高三甲班平均成绩为70分，高三乙班平均成绩为65分，甲班优于乙班，但在高考中乙班有5人考取，而甲班一个也没有考取。问题出在甲班成绩都集中在65~75分之间，而乙班成绩分散而且不及格很多，也有相当一批高于80分的，如果高考分数线定在80分，那么，就会出现上述现象。方差是研究随机变量取值分散程度的一种量度，也是随机变量的数字特征。方差的引入26定义5.6

设是一个离散型随机变量，数学期望E存在，如果E（-E）2存在，则称E（-E）2为随机变量的方差，并记作D或Var。方差的平方根又称为标准差或根方差，常记作。用E（-E）2这个数值来衡量离开它的平均值E的偏离程度。定义5.6设是一个离散型随机变量，数学期望E存27如果随机变量的分布列为则由定理5.1可得

（5.25）．．．．．．如果随机变量的分布列为．．．．28例5.22若服从参数为的泊松分布，试求D.解已知E=，

由(5.25)即得

由此可知服从泊松分布的随机变量的方差恰为该分布的参数。例5.22若服从参数为的泊松分布，试求D29方差有下述常用的基本性质：（1）若C是常数，则DC=0；（2）若C是常数，则 ；（3）若是两个相互独立的随机变量，且 存在，则