1角的平分线-冀教版八年级数学上册

16.3角的平分线第十六章轴对称和中心对称冀教版八上16.3角的平分线第十六章轴对称和中心对称冀教版八上1学习目标冀教版八上1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.3.能利用尺规作出一个已知角的角平分线.学习目标冀教版八上1.理解并掌握角平分线的性质定理及其2旧知链接1.下图中表示点P到直线l的距离的是

.线段PC的长PlABCD点到直线的距离是指：点到直线的垂线段的长度.旧知链接1.下图中表示点P到直线l的距离的是3旧知链接2.本章中，从哪些方面学习线段的中垂线？①线段中垂线的定义③线段中垂线的性质定理④线段中垂线的性质定理的逆定理⑤线段中垂线的尺规作图类似地，今天我们将从这些角度学习角平分线的相关知识......②线段的轴对称性旧知链接2.本章中，从哪些方面学习线段的中垂线？①线段中垂线4新课学习一、角的对称性如图，OC是∠AOB的平分线，当沿OC所在的直线对折时，∠AOB两旁的部分会重合，因此∠AOB关于OC所在的直线对称.AOBC角是轴对称图形对称轴是角平分线所在的直线1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册新课学习一、角的对称性如图，OC是∠AOB的平分线，当沿OC5新课学习二、用尺规作已知角的角平分线ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点MN为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册新课学习二、用尺规作已知角的角平分线ABMNCO已知:∠AO6新课学习ABMNCO证明：连接CM,CN由作图过程知，OM=ON,CM=CN,又OC=OC∴△OMC≌△ONC∴∠AOC=∠BOC即OC是∠AOB的角平分线.试一试：在练习本上分别作锐角，钝角，平角的角平分线.1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册新课学习ABMNCO证明：连接CM,CN由作图过程知，OM=7新课学习三、角平分线的性质定理用尺规画∠AOB的平分线OC,，在OC上任取一点P,作出点P到OA,OB的距离，即图中的垂线段PD,PE.PD与PE有何数量关系呢？PAOBCDE探究：你能用什么方法说明你的结论是正确的？PD=PE1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册新课学习三、角平分线的性质定理用尺规画∠AOB的平分线OC,8用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等.PAOBCDE新课学习方法一：方法二：利用角的对称性，当沿OC所在的直线对折时，PD与PE重合，因此PD=PE.1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等.PAOBCD9PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.新课学习方法三：1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO10

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.请你用语言描述你所得到的结论用途：

证明两条垂线段相等.BADOPEC新课学习试一试：角平分线的性质定理1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册角的平分线上的点到角的两边的距离相等.请你用语言描述11几何语言：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PEPD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC新课学习注意：一定要表明是两条垂线段.1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册几何语言：∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PEPD⊥12精准辨析，提升认知（1）∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴

=

，()角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC判断下列的写法是否正确？理由：没有垂直，不能确定BD,CD是点D到角两边的距离.1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册精准辨析，提升认知（1）∵如图，AD平分∠BAC（已知）13(2)∵

如图，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC精准辨析，提升认知理由：无法确定点D在∠BAC的角平分线上.1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册(2)∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.∴141.下列各图中，OP是∠MON的角平分线，点E,F,G分别在射线OM,ON,OP上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边距离相等”的图形是（）.

D巩固练习ENOGFMENOGFMENOGFMENOGFMGABCDPPPP1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册1.下列各图中，OP是∠MON的角平分线，点E,F,G分别在152.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD=3CD,BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（）.

C巩固练习ACDBA.4B.3C.2D.11角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD=3CD16新课学习线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分线的性质定理是否也有逆定理呢？请你说出角平分线的性质定理的逆命题如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上.1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册新课学习线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分线的性质17四、角平分线性质定理的逆定理到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE新课学习用途：

证明点在角平分线上，即可以判定角平分线.在17章进行证明1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册四、角平分线性质定理的逆定理到角的两边的距离相等的点在角的平18几何语言：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.新课学习PAOBCDE∴OP是∠AOB的角平分线.1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册几何语言：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在19典例精析例题

已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.A

B

C

PN

M1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册典例精析例题已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于20典例精析D

E

F

A

B

C

P

N

M

证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，PD⊥AB,PE⊥BC,∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册典例精析DEFABCPNM证明：过点P作P21典例精析思考：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上.D

E

F

A

B

C

P

N

M

结论：三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等.1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册典例精析思考：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平22课堂小测1.如图，已知四边形ABCD中，∠BCD=90°,BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是______.DA

BC

BA.24B.30C.36D.421角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册课堂小测1.如图，已知四边形ABCD中，∠BCD=90°,B23课堂小测125°2.如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB,BC,AC的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=______.FDEA

BC

O1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册课堂小测125°2.如图，O是△ABC内一点，且点O到三边A243.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMNCOA课堂小测1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明25课堂小测4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.

GHMABCFED1角的平分线-冀教版八年级数学上册1角的平分线-冀教版八年级数学上册课堂小测4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分26课堂小结角的平分线性质定