静态场边值问题的解法

关于静态场边值问题的解法本章内容安排4.1边值问题的分类4.2唯一性定理4.3镜像法4.4分离变量法4.5复变函数法4.6格林函数法4.7有限差分法第四章静态场边值问题的解法第2页,共30页，2024年2月25日，星期天4.1边值问题的分类1定义通过微分方程及相关边界条件描述的问题2分类第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值；第二类边值问题：给定边界上每一电位函数的法向导数；第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点电位法向导数。第四章静态场边值问题的解法第3页,共30页，2024年2月25日，星期天4.2唯一性定理4.2.1格林公式1格林第一公式由散度定理令则第四章静态场边值问题的解法第4页,共30页，2024年2月25日，星期天则即第四章静态场边值问题的解法第5页,共30页，2024年2月25日，星期天2格林第二公式4.2.2唯一性定理对任意的静电场,当空间各点的电荷分布与整个边界上的边界条件已知时,空间个部分的场唯一确定。第四章静态场边值问题的解法第6页,共30页，2024年2月25日，星期天4.3镜像法1用途是解静电场边值问题的一种特殊方法，主要用来求解分布在导体附近的电荷产生的场。2分类平面镜像法球面镜像法圆柱镜像法平面介质镜像法第四章静态场边值问题的解法第7页,共30页，2024年2月25日，星期天4.4分离变量法1内容是数学物理方法中应用最广的一种方法，它要求所给的边界与一个适当的坐标系的坐标表面相重合，或分段重合，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一个函数仅是一个坐标的函数。从而把偏微分方程化为常微分方程进行求解。第四章静态场边值问题的解法第8页,共30页，2024年2月25日，星期天2实现分离变量法的步骤分离变量。将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题（线性齐次偏微分方程）；确定固有值和固有函数。当边界条件是齐次的时，利用其求固有值，并求出满足零边界条件的非零解；求解其他常微分方程。得到满足齐次边界条件的偏微分方程的特解Un（x，y）；将所有Un（x，y）叠加，利用其中的常数使其满足偏微分方程其余的定解条件。第四章静态场边值问题的解法第9页,共30页，2024年2月25日，星期天3分离变量法的分类直角坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法4.5复变函数法主要用途用于求解复杂边界的二维边值问题，且在一般条件下，其解具有较简单的形式，可方便地计算电容。第四章静态场边值问题的解法第10页,共30页，2024年2月25日，星期天4.5.1复电位若复变函数为解析函数，则实部和虚部间满足柯西-黎曼条件：解析函数的实部和虚部满足二维拉普拉斯方程：第四章静态场边值问题的解法第11页,共30页，2024年2月25日，星期天在无源区，二维静电场的电位满足拉普拉斯方程，即二维静电场的电位可用解析函数的实部或虚部表示。对于解析函数曲线簇和曲线簇处处相互正交。即任意解析函数的实部和虚部均满足二维拉普拉斯方程，且实部和虚部的等值线相互垂直。第四章静态场边值问题的解法第12页,共30页，2024年2月25日，星期天由于二维静电问题的等位线和电力线相互垂直，故如果用虚部表示电位，则实部的等直线就表示电通量线，此时称该实部为通量函数，称解析函数为复电位。第四章静态场边值问题的解法第13页,共30页，2024年2月25日，星期天4.5.2用复电位解二维边值问题通量函数若利用某一解析函数的虚部表示二维电场的电位，则如图所示，通过曲面的电通量为第四章静态场边值问题的解法第14页,共30页，2024年2月25日，星期天第四章静态场边值问题的解法BE导体EdSdlAxy电通量函数第15页,共30页，2024年2月25日，星期天4.6格林函数1格林函数的内容是数学物理方法中的基本方法之一，可用于求解静态场中的拉普拉斯方程，泊松方程及时变场中的亥姆霍兹方程。2格林函数的要点求出与待解问题具有相同边界形状的格林函数；通过积分得到具有任意分布源的解。第四章静态场边值问题的解法第16页,共30页，2024年2月25日，星期天4.6.1静电场边值问题的格林函数表示方法1给定边界形状下一般边值问题的格林函数2格林函数边界条件的分类第一类边值问题的格林函数第四章静态场边值问题的解法第17页,共30页，2024年2月25日，星期天第二类边值问题的格林函数第三类边值问题的格林函数第四章静态场边值问题的解法第18页,共30页，2024年2月25日，星期天4.6.2简单边界的格林函数无界空间的格林函数上半空间的格林函数球内、外空间的格林函数第四章静态场边值问题的解法第19页,共30页，2024年2月25日，星期天4.7有限差分法1．差分原理有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题，通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解。2.差分表示法对于函数f(x)，当独立变量x有一微小增量

x＝h时，相应f(x)的增量为：第四章静态场边值问题的解法第20页,共30页，2024年2月25日，星期天称为函数f(x)的差分被称为有限差分。中心差分一阶差商二阶差商

第四章静态场边值问题的解法第21页,共30页，2024年2月25日，星期天3

将二维场的边值问题转化为一组差分方程组设边值问题是决定离散点的分布方式按正方网格划分，网格边长（步长）h，网格线的交点称结点；设结点O上的电位为

(xo,yo)=

o,结点1，2，3，4上的电位为

1，

2，

3，

4；第四章静态场边值问题的解法第22页,共30页，2024年2月25日，星期天任一点x的电位考虑1，3两点x1=xo+h,x3=xo-h

第四章静态场边值问题的解法第23页,共30页，2024年2月25日，星期天若h足够小，则第四章静态场边值问题的解法第24页,共30页，2024年2月25日，星期天二维场泊松方程的差分形式二维场拉普拉斯方程的差分形式第四章静态场边值问题的解法第25页,共30页，2024年2月25日，星期天第四章静态场边值问题的解法格林函数表示方法第26页,共30页，2024年2月25日，星期天4.

差分方程的解法设将场域划分如图；边界上的值分别为f1,......f16；在各内点上作出差分，泊松方程变成差分方程组；解出关于

1，

2.....

9的代数联立方程组，即可求出各点的函数值。第四章静态场边值问题的解法第27页,共30页，2024年2月25日，星期天第四章静态场边值问题的