4《生活中的优化问题举例》

1.4生活中的优化问题举例1.4生活中的优化问题举例新课引入:

导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 ．优化问题新课引入:导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求1.几何方面的应用2.物理方面的应用.3.经济学方面的应用(面积和体积等的最值)(利润方面最值)(功和功率等最值)1.几何方面的应用2.物理方面的应用.3.经济学方面的应用([例1]

在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？4《生活中的优化问题举例》[分析]根据所给几何体的体积公式建模．[解析]

设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数，V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30)＝4x3－240x2＋3600x.∴V′(x)＝12x2－480x＋3600，令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)当0<x<10时，V′(x)>0，当10<x<30时，V′(x)<0.[分析]根据所给几何体的体积公式建模．∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值．答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大．[点评]

在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最例2．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为,此时四周空白面积为。

求导数，得令解得舍去）。

例2．海报版面尺寸的设计解：设版心的高为xdm，则版心的宽因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。<0；当当

时，时，

>0.于是宽为因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。答：当版解法二：由解法(一)得解法二：由解法(一)得已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．[解析]

设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，4《生活中的优化问题举例》4《生活中的优化问题举例》4《生活中的优化问题举例》问题2:

饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?问题2:

饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市例3:某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最小？２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？例3:某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8π解：由于瓶子的半径为Ｒ，所以每瓶饮料的利润是令当当半径r＞２时，f’(r)>0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)<0它表示f(r)单调递减，

即半径越大，利润越低．解：由于瓶子的半径为Ｒ，所以每瓶饮料的利润是令当1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,2、当利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题的答案用函数表示的数学问题用导数解决数学问题回顾总结解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题的答案用函数[分析]根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．[分析]根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收4《生活中的优化问题举例》答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．[点评]

建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元一、选择题1．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为 (

)[答案]

A一、选择题4《生活中的优化问题举例》2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 (

)A．10 B．15C．25 D．50[答案]

C2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最4《生活中的优化问题举例》3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为 (

)A．0.5m B．1mC．0.8m D．1.5m[答案]

A3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容4《生活中的优化问题举例》二、填空题4．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．[答案]

1∶1二、填空题4《生活中的优化问题举例》5．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，同时能获得最大利润，需要支付给存户的年利率定为________．[答案]

6%[解析]

设支付给存户的年利率为x，银行获得的利润y是贷出后的收入与支付给存户利息的差，即y＝kx2×0.9×0.1－kx2·x＝0.09kx2－kx3(x>0)，y′＝0.18kx－3kx2，由y′＝0，得x＝0.06或x＝0(舍去)．当x∈(0,0.06)时，y′>0，当x∈(0.06，＋∞)时，y′<0，故当x＝0.06时，y取最大值．5．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银三、解答题6．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[解析]

设广告的高和宽分别为xcm，ycm，三、解答题4《生活中的优化问题举例》当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，