2019九年级数学上册第二十三章旋转232中心对称2322中心对称图形作业课件

第2课时异面直线所成的角第2课时异面直线所成的角1.了解公理4及等角定理.2.会用公理4和等角定理进行简单的推理论证.3.理解异面直线的概念,了解异面直线所成的角的定义,并会求异面直线所成的角.1.了解公理4及等角定理.2019九年级数学上册第二十三章旋转232.空间两条直线的位置关系

2.空间两条直线的位置关系名师点拨画两条异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交(即不共面)的特点,通常采用平面衬托法,以加强立体感,常见的画法如下:名师点拨画两条异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交【做一做1】

a,b,c是三条直线,若a与b异面,b与c异面,试判断a与c的位置关系,并画图说明.解:直线a与c的位置关系有以下三种情形.由图可知直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.【做一做1】a,b,c是三条直线,若a与b异面,b与c异面3.定理(又称为等角定理)文字语言:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.图形语言:如图①②所示.符号语言:OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°.作用:判断或证明两个角相等或互补.【做一做2】

空间的两个角α,β,且α与β的两边对应平行,α=60°,则β为

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答案:60°或120°3.定理(又称为等角定理)4.异面直线所成的角

4.异面直线所成的角5.空间四边形如图①所示,顺次连接不共面的四点A,B,C,D所构成的图形叫作空间四边形.这四个点中的各个点叫作空间四边形的顶点;所连接的相邻顶点间的线段叫作空间四边形的边;连接不相邻的顶点的线段叫作空间四边形的对角线.空间四边形用表示顶点的四个字母表示,如图②所示,图中的四边形可以表示为“空间四边形ABCD”,A,B,C,D是它的顶点,线段AB,BC,CD,DA是它的四条边;线段AC,BD是它的对角线.5.空间四边形题型一题型二题型三【例1】

已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为AA1,CC1的中点.求证:BF∥ED1.分析:充分利用中点的作用,取BB1的中点G,借助EG,GC1,合理构造平行四边形EGC1D1和平行四边形BFC1G,利用平行于同一条直线的两条直线平行来达到证明的目的.题型一题型二题型三【例1】已知正方体ABCD-A1B1C1题型一题型二题型三证明:如图所示,取BB1的中点G,连接GC1,GE,∵F为CC1的中点,∴BG∥C1F,且BG=C1F.∴四边形BGC1F为平行四边形.∴BF∥GC1.又EG∥A1B1,EG=A1B1,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,∴EG∥D1C1,EG=D1C1.∴四边形EGC1D1是平行四边形,∴ED1∥GC1,∴BF∥ED1.反思证明两直线平行的方法:(1)平行线的定义;(2)利用三角形的中位线平行于底边;(3)利用公理4,即平行于同一条直线的两直线平行;(4)平行四边形的对边互相平行.题型一题型二题型三证明:如图所示,取BB1的中点G,连接GC题型一题型二题型三【变式训练1】

如图所示,P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB和△PBC的重心.求证:DE∥AC.题型一题型二题型三【变式训练1】如图所示,P是△ABC所在题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例2】

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点.求证:∠EA1F=∠E1CF1.分析:A1F与F1C及A1E与CE1分别平行.证明∠EA1F=∠E1CF1可考虑利用等角定理.题型一题型二题型三【例2】题型一题型二题型三证明:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中点M,连接BM,MF1,又BF∥A1M,所以四边形A1FBM为平行四边形.所以A1F∥BM.而F1,M分别为C1D1,A1B1的中点,则F1M∥C1B1,F1M=C1B1,而C1B1∥BC,C1B1=BC,所以F1M∥BC,且F1M=BC.所以四边形F1MBC为平行四边形,所以BM∥CF1.所以FA1∥CF1.题型一题型二题型三证明:如图所示,在正方体ABCD-A1B1题型一题型二题型三同理取A1D1的中点N,连接DN,E1N,则A1N∥DE,A1N=DE,所以四边形A1NDE为平行四边形,所以A1E∥DN.又E1N∥CD,且E1N=CD,所以四边形E1NDC为平行四边形,所以DN∥CE1,所以A1E∥CE1.所以∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行.又∠EA1F与∠E1CF1对应边方向相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.反思证明角相等的技巧:①利用题设中的条件,将要证明的两个角放在两个三角形中,利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等.②在题目中若不好构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等,可考虑两个角的两边,通过证明这两个角的两边分别对应平行且角的方向相同或相反,从而达到证明角相等的目的.题型一题型二题型三同理取A1D1的中点N,连接DN,E1N,题型一题型二题型三【变式训练2】

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1中点.求证:∠BGC=∠FD1E.证明:∵E,F,G分别是正方体的棱CC1,BB1,DD1的中点,∴CE

GD1,BF

GD1,∴四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.∴GC∥D1E,GB∥D1F,∵∠BGC与∠FD1E的对应边方向相同,∴∠BGC=∠FD1E.题型一题型二题型三【变式训练2】题型一题型二题型三【例3】

如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成的角.分析:首先根据E,F分别为BC,AD的中点,结合三角形中位线的性质找出EF与AB所成的角,然后根据三角形知识求角的大小.题型一题型二题型三【例3】题型一题型二题型三解:如图所示,取BD的中点G,连接EG,FG.∵E,F分别为BC,AD的中点,∴∠GFE或其补角就是EF与AB所成的角.∵AB⊥CD,∴EG⊥GF,即∠EGF=90°.∵AB=CD,∴GF=EG,∴△EFG为等腰直角三角形,∴∠GFE=45°,即EF与AB所成的角为45°.题型一题型二题型三解:如图所示,取BD的中点G,连接EG,F题型一题型二题型三反思构造异面直线所成的角的方法:①过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线,使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(或其补角).②当异面直线依附于某几何体,且直接对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,将两条异面直线分别平移相交于该点.③当两条异面直线互相垂直时,欲求它们所成的角,实际上是要通过证明得出结论.题型一题型二题型三反思构造异面直线所成的角的方法:①过其中一题型一题型二题型三【变式训练3】

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,中心为O,且底面边长和侧棱长相等,M是PC的中点,求MO与AB所成的角.题型一题型二题型三【变式训练3】如图所示,在四棱锥P-AB题型一题型二题型三解:如图所示,取BC的中点N,连接ON,MN,AC.因为四边形ABCD是正方形,中心为O,所以O为AC的中点.又因为N为BC的中点,所以ON是△ABC的中位线,所以ON∥AB,所以∠MON或其补角是异面直线MO与AB所成的角.设该四棱锥的底面边长和侧棱长都是2a,因为MN是△PBC的中位线,所以△OMN是等边三角形,所以∠MON=60°,所以异面直线MO与AB所成的角为60°.题型一题型二题型三解:如图所示,取BC的中点N,连接ON,M123451.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(

)A.平行或异面 B.相交或异面C.异面 D.相交解析:假设a与b是异面直线,而c∥a,显然c与b不平行(若c∥b,则有a∥b,矛盾),因此c与b可能相交或异面.答案:B1234123452.已知a,b为异面直线,且a⫋α,b⫋β,若α∩β=l,则直线l必定(

)A.与a,b都相交B.与a,b都不相交C.至少与a,b之一相交D.至多与a,b之一相交答案:C1234123453.在四面体SABC中,各个侧面都是边长为a的正三角形,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于(

)A.90° B.60°C.45° D.30°答案:C1234123454.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于

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解析:由题意知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°.根据等角定理知,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,所以∠PQR=30°或∠P