高一上学期期末复习【第四章 指数函数与对数函数】十一大题型归纳（拔尖篇）（解析版）

高一上学期期末复习第四章十一大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型题型1根据指数式求参1．（2023上·江苏南通·高三统考开学考试）已知ax=2，ay=3，x+A．5 B．6 C．8 D．9【解题思路】根据指数的运算性质即可求解.【解答过程】由于axay=故选：B.2．（2023上·高一单元测试）设a2=b4=m（A．16 B．10C．2 D．81【解题思路】根据给定条件，用b表示出a，再求出b即可计算作答.【解答过程】由a>0,b>0，a2=b4，得a所以m=故选：A.3．（2023上·全国·高一专题练习）设2x=8y+1【解题思路】直接由指数幂的运算性质列出方程组即可求解.【解答过程】因为2x=8y+1又9y=3x-由x=3y+1故x+y的值为4．（2023·上海·高一专题练习）求使等式a-3a2【解题思路】由a-3a【解答过程】a-要使a-3需a-3≤0a+3≥0，解得题型题型2指数式的给条件求值问题1．（2023上·福建福州·高一校考期中）已知x+x-1=3A．7 B．9 C．11 D．13【解题思路】把已知等式两边平方即可求得答案．【解答过程】由x+两边平方得：x+即x2∴x故选:A．2．（2023上·高一课时练习）已知ab=-5，则aA．25 B．C．-25 D【解题思路】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.【解答过程】由题意知ab<0，a-由于ab<0，故aa=-故选B.3．（2023上·广东广州·高一校考期中）化简求值：(1)-(2)若x+①x2+②x1【解题思路】（1）由指数幂运算性质运算求解即可；（2）①将原式平方后求解即可；②设x12【解答过程】（1）原式==1+=1+=1+=1+=19（2）①∵x+x-1=3，∴x+∴x2②当x>0时，设x12-x-12又∵x+x-1=3，∴∴x12-4．（2023上·江苏连云港·高一统考期中）已知a-1(1)a(2)a(3)a【解题思路】（1）根据指数幂的运算，结合完全平方公式即可求解，（2）根据指数幂的运算，结合立方和的公式即可化简求解，（3）由立方差的公式，化简即可求解.【解答过程】（1）由a-1a因为a12-（2）a3（3）由（1）知a+a-又因为a12+所以a3题型题型3比较指数幂的大小1．（2023上·河南郑州·高一校考期末）设a=0.80.8,bA．c>b>C．a>c>【解题思路】根据指数函数的单调性比较a,b的大小，由幂函数的性质比较a【解答过程】解：令f(由指数函数的单调性可知f(x)又因为0.8<0.9，所以f(0.8)>即0.80.8所以a>令g(由幂函数的性质可知g(x)=又因为0.8<0.9，所以g(0.8)<g(0.9)即a<所以b<故选：D.2．（2023上·山东临沂·高一校考期末）若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1A．0<a<bC．1<b<a【解题思路】根据已知可得0<c<1【解答过程】因为c是正实数，且c<1，所以0<c<1，则函数由c<cb<c故选：A.3．（2023·全国·高一专题练习）比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.5(2)0.6-1.2和(3)1.70.2和0.9(4)a1.1与a0.3(【解题思路】根据指数函数的图象和性质即可比较大小．【解答过程】（1）1.52.5和1.53.2可看作函数由于底数1.5>1，所以函数y=1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2（2）0.6-1.2和0.6-因为函数y=0.6x且-1.2>-1.5，所以0.6（3）由指数函数性质得，1.70.2>1.7所以1.70.2（4）当a>1时，y=ax在当0<a<1时，y=ax4．（2023上·河南南阳·高一校联考期中）已知函数fx=ax((1)求a的值；(2)比较f-2与(3)求函数gx【解题思路】（1）直接代入即可求出a值；（2）根据指数函数单调性即可比较大小；（3）求出0≤x-【解答过程】（1）因为fx=a所以a4=4，又a>0且a（2）因为2>1，所以fx=又因为m2-2所以f-（3）当-3≤x≤3时，-所以(2)0所以gx的值域为1,4题型题型4解指数不等式1．（2023上·湖南邵阳·高一统考期末）若12<1A．a<b<1 B．b>a>1【解题思路】利用指数函数的单调性求解即可.【解答过程】∵函数y=12x在∴b<故选：C.2．（2023上·福建厦门·高一统考期末）已知函数f(x)=a-A．(-2,+∞) B．(2,+∞) C．【解题思路】根据f(x)是奇函数求出参数【解答过程】函数f(x)定义域为R，又f(x不等式f(x)<35，即1-22x+1故选：D.3．（2023下·湖北恩施·高二校考期末）已知函数fx=a⋅(1)求fx(2)解不等式f【解题思路】（1）把点A，B的坐标代入fx解析式，得到关于a，b的方程组，解出a，b的值，即可得到f（2）根据函数fx的单调性可得x2+3【解答过程】（1）∵函数fx=a⋅b∴ab=2a∴f（2）因为函数fx=2所以不等式fx2+3解得x<-4或x即不等式的解集为{x|4．（2023下·江苏南通·高二统考期末）已知函数fx=4(1)若m=-3，解关于x的不等式f(2)若函数y=fx+f【解题思路】（1）因式分解得到2x+12x-（2）变形得到y=gt=t2【解答过程】（1）m=-3时，由f4x-3×因为2x+1>0，所以2x所以原不等式的解集为2,+∞（2）因为y=令t=2x所以t=2x则y=gt①当-m2≤2，即m≥-4时，当t=2，即x=0时，所以2m+2=-4，解得②当-m2>2gt在2,-m2当t=-m2所以-m24综上，m的值为-3．题型题型5指数型复合函数的应用1．（2023上·浙江杭州·高一校考期末）定义在R上函数y=fx满足f-x+fx=0A．-1,3 B．0,3 C．1,9 D．【解题思路】先根据定义判断fx在0,+∞上单调递增以及函数为奇函数.则原不等式可化为fx+2x【解答过程】∀x1,则fx因为x1<x2，x2所以fx所以fx1<fx2又f-x+f又x>0时，有f所以，x<0时，有f由fxfx因为x+2所以由fx+2x整理可得x-2x显然x+1>0，所以有x-3≤0所以，不等式的解集为0,9.故选：D.2．（2023上·江苏泰州·高一统考期末）已知函数f(x)=2x+2-x，g(x)=A．-∞,0 B．0,+∞ C．-【解题思路】把∀x1∈0,+∞，∃x【解答过程】因为f(x)=所以g(设0≤x1<x所以f(x)在[0,+因为∀x1∈0,+∞，∃所以g(令t=f(x2)，易得显然f(t)=5-2tt2-1在2,故选：B.3．（2023上·山西朔州·高一统考期末）已知函数f((1)若a=14(2)若a>38，存在实数m，n(m<n)，当f(x【解题思路】（1）首先得到fx解析式，令u（2）首先可得fx在R上单调递增，则问题转化为fx=3x+1在R上有两个不同的实数解，令t【解答过程】（1）若a=14则f令y=u2所以当u=16所以fx的值域为-（2）因为a>38，所以f所以当fx的定义域为m,n时，f即fm即fx=3即4a×9令t=3x,t所以-8a3所以实数a的取值范围为12134．（2023·高三课时练习）已知定义域为R的函数fx=(1)求a、b的值；(2)用定义证明fx在-(3)若对于任意t∈R，不等式ft【解题思路】（1）由f0=0可求得b=1；根据奇函数定义知f（2）将函数整理为fx=22x（3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为3t2【解答过程】（1）∵fx=b-2x∵f0=∴fx=∴-1-∴2x+当a=1，b=1时，∴f-x综上所述：a=1，b（2）由（1）得：fx设x2>x∵2x2>2∴f∴fx在（3）由ft2-又fx为R上的奇函数，∴-∴f由（2）知：fx是定义在R∴t2-所以只需Δ=解得k<-13，即实数k题型题型6指、对数方程的求解1．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）方程lnlog3xA．1 B．2 C．e D．3【解题思路】利用指数与对数的转化即可得到结果.【解答过程】∵lnlog3x=0，∴log故选：D.2．（2023上·河北保定·高一校考期末）已知a是方程x+lgx=3的解，b是方程2xA．-32 B．32 C．3【解题思路】依题意，设t=lga，利用指对数互化可得10t+t=3，再将【解答过程】因为a是方程x+lgx=3令t=lga所以10t+因为b是方程2x+100x=3的解，所以设fx=10x+由①②得，t=2b，所以代入a+lga故选：C.3．（2023下·湖南岳阳·高一校考阶段练习）解关于x的方程：(1)x(2)log【解题思路】（1）根据指数幂的运算性质即可求解，（2）根据对数与指数的互化，即可由二次方程求解.【解答过程】（1）因为x2①x2-5x+5≠0②x2-5x+5③x2-5x+5=-1当x=2时，当x=3时，综上，方程的解为x=1或x=2或x=3或（2）由log42x所以2x由于2x+12≠0，所以2x故方程的解为x=44．（2023上·高一课时练习）解关于x的方程.（1）log2（2）lg2【解题思路】（1）先求得x应满足的条件,再将对数方程转化为一元二次方程,解方程即可得解.（2）根据对数的运算性质,将方程化简,即可求解.【解答过程】（1）log所以x应满足x由对数的运算性质可将方程化为log∴(∴x=2或因为x∴（2）lg所以x应满足2根据对数的运算性质,1-则原方程可化为lg∴∴经检验,x=8符合题意题型题型7带附加条件的指、对数问题1．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知2a=15,log83=A．25 B．5 C．259 D．【解题思路】先由对数公式把a,b化简，然后代入2【解答过程】由题意可得2a=15⇒a所以a-所以2a故选：B.2．（2023上·天津·高三统考期末）若xlog23=1，则3A．32 B．2 C．52 D【解题思路】根据给定条件，利用对数运算性质结合指数式与对数式的互化求出3x，再代入计算作答【解答过程】因为xlog23=1，则log所以3x故选：C.3．（2023上·辽宁丹东·高一统考期末）已知实数a，b满足3a=2，(1)用a表示log3(2)计算9a【解题思路】根据对数的运算法则及性质求解即可.【解答过程】（1）由题意可知a=所以log3（2）因为b=所以9a4．（2023上·四川遂宁·高一统考期末）已知a+(1)求a，b的值；(2)若(a+1)c=3，用b，c【解题思路】（1）根据指数和对数的运算性质可求出a，b可得结果；（2）根据指数式与对数式的互化以及对数的运算性质可得结果.【解答过程】（1）因为a+所以a+所以a+2=12-912-因为b=log749b解得7b=4，故b=（2）由（1）知，a=6，b所以7c=3，所以所以log=log题型题型8对数式的大小比较1．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知a=log312A．a>b>C．b>c>【解题思路】根据指对数的性质判断a,b【解答过程】由a=∴故选：C.2．（2023下·山东威海·高二统考期末）已知函数f(x)=3|x|，若aA．a<b<C．b<c<【解题思路】根据对数函数的单调性和中间量比较出0<log52<lg【解答过程】0=log5由于lg14=lg4=lg3log25所以0<log因为函数f(x)=则f(所以f(故选：A.3．（2023·全国·高一专题练习）比较下列各题中两个值的大小：(1)lg0.6(2)log0.5(3)logm(4)log35与【解题思路】根据对数函数单调性即可比较大小.【解答过程】（1）∵函数y=lgx在又∵0.6<0.8,∴lg0.6<（2）∵函数y=log0.5x又∵6>4,∴log0.5（3）当m>1时，函数y=logm∵5<7,当0<m<1时，函数y=log∵5<7,（4）∵log35>∴log4．（2022·高一课时练习）比较a，b，c的大小：(1)已知1<x<2，a=log2(2)已知a=log36，【解题思路】(1)根据1<x<2，求出log2x的范围，由此判断c＜0，0＜(2)a=1+log32，b=1+log【解答过程】（1）∵1<x∴0=log21<∴ca=log2x2∴b=∴c＜0＜a＜b，∴c（2）∵ab=c=又∵0<lg∴lg∴log∴1+log即a＞b＞c﹒题型题型9解对数不等式1．（2022上·安徽合肥·高一校考阶段练习）不等式log32xA．(-∞,3C．(-∞,5] D【解题思路】不等式可化为log3(2【解答过程】∵log32∴0<2x∴∴不等式log32x故选：B.2．（2023上·重庆江北·高一校考期中）已知函数f(x)=ln(x2A．-23,-C．(-12,【解题思路】首先由解析式得f(1+t)=f(1-t)，得出fx关于x=1对称，再得出fx=lnx2【解答过程】当t>0时，f(1-则f(1+t)=f(1-又当x≥1时，f(x)=lnt在定义域上单调递增，t=所以由fx<f即x-当|a当|a|>1时，x-此时不等式的解集有无穷多个整数，舍去；若|a|=1，则x-当0<a<1，且x≠0得-a<x显然当x=1满足此式，x得x=2满足此式，x∴2<1解得a故选：A.3．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）已知函数fx=log(1)解关于x的不等式：fx(2)若函数Fx=fx+g【解题思路】（1）根据对数函数的定义域与单调性，结合fx<g（2）求出函数Fx的定义域，结合对数型复合函数的单调性可得出Fx的最小值的表达式，结合a【解答过程】（1）不等式fx<gx，即所以x+4>02-x>0x（2）对于函数Fx，由x+4>02-x>0，得-又Fx=log因为hx在-4,-1上单调递增，在-1,2因为0<a<1，Fx的最小值为-1，所以4．（2023上·甘肃天水·高一统考期末）已知函数fx=logax（a>0且(1)求a的值；(2)若函数fx满足：∀x1，x2∈0,+∞且x【解题思路】（1）对a进行分类讨论，根据fx在区间12,4（2）根据fx的单调性求得不等式0<f【解答过程】（1）当0<a<1时，fxf4当a>1时，fx在区间f1综上所述，a的值为14或2（2）依题意，函数fx满足：∀x1，x2∈即fx在0,+∞上递增，所以a=2由0<ffx即log2所以1<log2x解得2<x所以满足0<ffx<1的题型题型10对数型复合函数的应用1．（2023上·北京·高一校考期末）若函数y=log0.2x2-2A．2,52 B．2,52 C．【解题思路】根据对数函数的性质结合复合函数单调性分析求解.【解答过程】由题意可知：x2-2ax+6>0在1,2则4-4a+6≥0a所以a的取值范围为2,5故选：B.2．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知fx=-2+log22+A．-12,14 B．14【解题思路】根据对数函数的定义域可得-1<x<0，将fx【解答过程】令2+x2-x>0，解得-2<可得-2<2x+2<2关于不等式f2x+2整理得log2x+2则0<x+2x+1x所以不等式f2x+2故选：D.3．（2023下·山东滨州·高二统考期末）已知函数fx=log(1)当a=-10时，判断函数f(2)当x∈2,+∞时，f【解题思路】（1）先求函数的定义域为-∞,1∪3,+（2）先根据函数y=log2x为单调递增函数，将fx>x转化为4x【解答过程】（1）当a=-10时，f由4x2x故2x<2或得x<1或x故函数fx=log因函数fx的定义域不关于原点对称，所以函数fx（2）由fx>x得4x即4x设t=2因x∈2,+∞所以当x∈2,+∞即为gt=t2+函数gt=t当1-a2<4即a>-7时，函数此时g4=4当1-a2≥4，即a此时g1-得-7<故a的取值范围为-7,+4．（2023上·河南郑州·高一校考期末）已知函数fx(1)求函数fx(2)解关于x的不等式fx(3)若对任意的x∈2,4，不等式f2x【解题思路】（1）根据对数的运算性质可化简fx（2）由一元二次不等式以及对数不等式即可求解，（3）分离参数，结合基本不等式求解最值即可求解.【解答过程】（1）因为fx定义域为0,+则f设log2x=所以fx值域为-（2）不等式可化为t2-6t+8>3，即即log2x<1或log2所以不等式的解集为{x∣0<（3）因为f2所以log2设log2x=原问题化为对任意t∈即a≤因为t+4t-4≥2即t+4t所以a≤0题型题型11利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题1．（2023下·辽宁·高二统考期末）已知函数fx=ex+1,x≤0x2-4A．2,103 B．52,103【解题思路】作出函数fx图象，进行分析，gx=x2-【解答过程】由题可得函数图象，当k=0或2<k<3当0<k<1时，fx=k有4个解；当1<当k>3时，fx=因为g(x因此，要使y=gfx有6个零点，则g(则存在下列几种情况：①fx=k1有2个解，fx=k2有4个解，即则此时应满足g0>0g1<0g②fx=k1有3个解，fx=k2有则应满足g1综上所述，a的取值范围为52故选：B.

2．（2023下·云南保山·高一统考期末）已知fx=ln-x,x<0xA．2 B．3 C．4 D．-【解题思路】结合图像可知1<m≤2，由此可推得x1⋅x2【解答过程】不妨设x1因为方