天津大学2011-2012学年度第二学期线性代数期末评分标准及参考答案

PAGE1PAGE1天津大学2011-2012学年度第二学期线性代数期末评分标准及参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．3阶行列式中元素的代数余子式（C）A． B． C．1 D．2．2．设，，，，则（A）A． B． C． D．．3．设阶可逆矩阵、、满足，则（D）A． B． C． D．由，得，．4．设3阶矩阵，则的秩为（B）A．0 B．1 C．2 D．3，的秩为1．5．设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为（C）A．1 B．2 C．3 D．4是的极大无关组，的秩为3．6．设向量组线性相关，则向量组中（A）A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7．设是齐次线性方程组的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（B）A． B．C． D．只有线性无关，可以作为基础解系．8．若2阶矩阵相似于，为2阶单位矩阵，则与相似的是（C）A． B． C． D．与相似，则，，即与相似．9．设实对称矩阵，则3元二次型的规范形为（D）A． B． C． D．，规范形为．10．若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则的正惯性指数为（D）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．已知3阶行列式，则_______________．，．12．设3阶行列式的第2列元素分别为，对应的代数余子式分别为，则_______________．．13．设，则_______________．．14．设为2阶矩阵，将的第2列的（）倍加到第1列得到，则_____．将的第2列的2倍加到第1列可得．15．设3阶矩阵，则_______________．，．16．设向量组，，线性相关，则数___________．，．17．已知，是3元非齐次线性方程组的两个解向量，则对应齐次线性方程组有一个非零解向量_______________．（或它的非零倍数）．18．设2阶实对称矩阵的特征值为，它们对应的特征向量分别为，，则数______________．和属于不同的特征值，所以它们是正交的，即，即，．19．已知3阶矩阵的特征值为，且矩阵与相似，则_______________．的特征值为，．20．二次型的矩阵_______________．，．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．已知3阶行列式中元素的代数余子式，求元素的代数余子式的值．解：由，得，所以．22．已知矩阵，，矩阵满足，求．解：由，得，于是．23．求向量组，，，的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出．解：，是一个极大线性无关组，．24．设3元齐次线性方程组，（1）确定当为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解． 解：（1），或时，方程组有非零解；（2）时，，，基础解系为，全部解为，为任意实数；时，，，基础解系为，，全部解为，为任意实数．25．设矩阵，（1）判定是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵，使．解：（1），特征值，．对于，解齐次线性方程组：，，基础解系为，；对于，解齐次线性方程组：，，基础解系为．3阶矩阵有3个线性无关的特征向量，所以相似于对角阵；（2）令，，则是可逆矩阵，使得．26．设3元二次型，求正交变换，将二次型化为标准形．解：二次型的矩阵为．，特征值，，．对于，解齐次线性方程组：，，，单位化为；对于，解齐次线性方程组：，，，单位化为；对于，解齐次线性方程组：，，，单位化为