新人教版数学八年级下册分式复习要点

第十五章分式知识要点分式的判断方法：分式的分母必含有字母。例如：以下各式中，x+y,,,—4xy,,是分式有，，。分析：x+y，—4xy,都不是分式，因为它们的分母都不含字母。分式有意义的条件是分母不为零，分式无意义的条件是分母为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。例如：要使这个分式有意义，那么分母x+20,解得x-2时有意义；要使这个分式无意义，那么分母x+2=0，解得x=-2时无意义；要使这个分式的值为零，那么分子x-1=，解得x=1,；分母x+20,解得x-2；所以当x=1时分式的值为零。三、分式的根本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。〔〕例如：1、如果把中的x和y都扩大5倍，那么分式的值〔B〕A扩大5倍B不变C缩小5倍D扩大4倍分析：因为分子和分母都乘以5。2、以下各式正确的选项是〔〕A.B.C.，〔〕D.约分——约去分子分母的最大公因式

确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

注意：分子分母假设为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。例如：约分=分析：12和9的最大公约数是3；分子、分母相同的字母因式的最低次幂是x，所以分子分母的最大公因式是3x。分子分母同时除以3x即为约分的结果。即通分．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。例如：通分分析：各分母系数2和5的的最小公倍数是10；各分母所有字母的最高次幂是x和，所以最简公分母为。即；。六、分式的四那么运算与分式的乘方分式的乘除法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：例如：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为:例如：分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子例如：分式的加减法那么：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为例如：异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为例如：注：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要标准，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式〔或整式〕。七、科学记数法假设一个数x是0<x<1的数，那么可以表示为〔，即a的整数局部只有一位，n为整数〕的形式，n确实定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。例如0.000000125=2、用科学记数法表示0.000501=．3、一种细菌半径是1.21×10-5米,用小数表示为米。八、分式方程1、分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2、解分式方程的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。〔产生增根的过程〕

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，那么原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，那么是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。例如：当x=1时，〔x+1)(x-1)=0，所以原分式方程无解。第十四章整式的乘除与因式分解一、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：；；二、同底数幂的乘法法那么：〔都是正整数〕同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：在应用法那么运算时,要注意以下几点:①法那么使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法那么可推广为〔其中m、n、p均为正数〕；⑤公式还可以逆用：〔m、n均为正整数〕三、幂的乘方法那么：〔都是正整数〕幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：幂的乘方法那么可以逆用：即如：要注意区别〔ab〕n与〔a+b〕n意义是不同的，不要误以为〔a+b〕n=an+bn〔a、b均不为零〕。四、积的乘方法那么：〔是正整数〕积的乘方，等于各因数乘方的积。如：〔=五、同底数幂的除法法那么：〔都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：零指数和负指数，即任何不等于零的数的零次方等于1。例如:,-2.50=-1,那么00无意义.〔是正整数〕，即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如：单项式的乘法法那么：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式。注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法那么。③只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法那么对于三个以上的单项式相乘同样适用。⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：八、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]如：〔1〕九、多项式与多项式相乘的法那么；多项式与多项式相乘，先转化为单项式乘以多项式，用前一个多项式的每一项乘以后一个多项式，再按单项式乘以多项式的法那么进行计算。如：平方差公式：文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即例如：〔3a－2b〕〔2b+3a〕=___________〔4a－1〕〔4a+1〕=___________注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。完全平方公式：文字语言表达：两个数的和〔或差〕的平方等于这两个数的平方和加上〔或减去〕这两个数的积的2倍，即例如：；完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。结构特征：①公式左边是二项式的完全平方；②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。¤3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及防止出现这样的错误。添括号法那么：添正不变号，添负各项变号，去括号法那么同样十二、单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数〔即系数相除〕，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式如：十三、多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：十四、因式分解因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．掌握其定义应注意以下几点：分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；〔2〕因式分解必须是恒等变形；〔3〕因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系：因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．十五、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法〔1〕掌握提公因式法的概念；〔2〕提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；〔3〕提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．〔4〕注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．例：〔1〕〔2〕

2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝〔a＋b〕〔a－b〕②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝〔a＋b〕2a2－2ab＋b2＝〔a－b〕2例如：用平方差公式分解因式：==用完全平方公式分解因式：==轴对称知识点总结1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的局部能够完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。4、轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等。对称轴与连结“对应点的线段”垂直。对应点到对称轴的距离相等。〔4〕对应点的连线互相平行。5、线段的垂直平分线：〔1〕定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。如图2，∵CA=CB，直线m⊥AB于C，∴直线m是线段AB的垂直平分线。图2图2〔2〕性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。如图3，∵CA=CB，直线m⊥AB于C，点P是直线m上的点。∴PA=PB。〔3〕判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。图3如图3，图3∵PA=PB，直线m是线段AB的垂直平分线，∴点P在直线m上。6、等腰三角形：〔1〕定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角。腰与底的夹角叫做底角。说明：图4图4可见，底角只能是锐角。〔2〕性质：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。如图5，在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C。图5三线合一：顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。图5〔3〕判定方法：定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。如图5，在△ABC中，∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形。判定〔“等角对等边”〕：有两个角相等的三角形是等腰三角形。如图5，在△ABC中∵∠B=∠C∴△ABC是等腰三角形。7、等边三角形：〔1〕定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。〔2〕性质：等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。等边三角形的三个内角都等于60°。图6如图6，在△ABC中图6∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60°。判定方法：定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。如图6，在△ABC中∵AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形。判定1：三个内角都相等的三角形是等边三角形。如图6，在△ABC中∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形。判定2：有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。如图6，在△ABC中∵AB=AC〔或AB=BC,AC=BC〕∠A=60°〔∠B=60°，∠C=60°〕图7∴△ABC是等边三角形。图7〔4〕重要结论1：在Rt△中，30°角所对直角边等于斜边的一半。如图7，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴BC=AB或AB=2BC重要结论2：在Rt△中，所对如果一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角是。8、平面直角坐标系中的轴对称：〔1〕〔2〕说明：要作出一个图形关于坐标轴〔或直线〕成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。对称点的作法见12〔1〕。9、经典作图题〔1〕在直角坐标系中,△ABC的三个顶点的位置如下图.〔2〕请画出△ABC关于y轴对称的△A´B´C´(其中A´,B´,C´分别是A,B,C的对应点,不写画法).〔3〕直接写出A´,B´,C´三点的坐标:A´(),B´(),C´().18、如图：是屋架设计图的一局部,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,那么DE等于；第十二章全等三角形知识点1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质

〔1〕性质：全等三角形中，对应边相等，对应角相等。〔对边、对角的区别〕

〔2〕全等三角形的对应线段〔对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线〕相等。

〔3〕全等三角形的周长相等，面积相等3、全等三角形的判定

〔1〕“边边边”〔SSS〕：三边对应相等的两个三角形全等。

〔2〕“边角边”〔SAS〕：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

〔3〕“角边角”〔ASA〕：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

〔4〕“角角边”〔AAS〕：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

〔5〕“斜边，直角边”〔HL〕：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。符号语言：∵OP平分∠MON〔∠1＝∠2〕，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．5、角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。符号语言：∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2〔OP平分∠MON〕三角形知识点一、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.二、三角形的边1、给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边

2、三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围

方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b

三角形的主要线段的定义：〔1〕三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线.2.BD=DC=BC.注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．〔2〕三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.2.∠1=∠2=∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线〔3〕三角形的高从三角形的