中职高三数学函数知识点

中职高三数学函数知识点1.引言1.1函数在数学中的重要性在数学的众多分支中，函数论占据了核心地位。函数作为一种基本的数学模型，不仅在理论研究中具有举足轻重的地位，而且在解决实际问题中也发挥着关键作用。它将变量之间的依赖关系以简洁明了的方式表达出来，为我们理解世界、解决实际问题提供了有力工具。1.2中职高三数学函数学习的要点与目标中职高三数学中的函数学习，旨在帮助学生建立扎实的函数基础，掌握基本的函数概念和性质，学会分析和解决实际问题。重点包括以下几个方面：理解并掌握函数的定义和表示方法；熟悉函数的域、值域以及基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等；学会分析常见函数的图像特点；掌握函数的运算和复合函数的相关知识；理解并应用函数的单调性、极值和最值解决实际问题。1.3函数在实际生活中的应用函数在生活中的应用广泛而深入，从简单的物理运动规律到复杂的经济学模型，无不渗透着函数的影子。例如：在物理学中，速度、加速度与时间的关系可以通过函数描述；在经济学中，成本、收益与生产量的关系也可以用函数来表示；在地理学中，地球表面的温度分布、降水量等都与地理位置有关，这些关系同样可以用函数来建模。通过学习函数，我们可以更好地理解这些现象背后的规律，为实际问题的解决提供数学支持。2.函数的基本概念与性质2.1函数的定义与表示方法函数是数学中描述两个变量之间依赖关系的一种数学关系，通常表示为f(x)。其中，x是自变量，f(x)是因变量。当x在某个范围内取值时，根据一定的法则，f(x)会有唯一的值与之对应。这种关系可以是一一对应的，也可以是多对一的。函数的表示方法有解析法、列表法和图象法。解析法是通过公式来表示两个变量之间的关系，如f(x)=ax+b。列表法是通过表格来列出自变量与因变量对应的值。图象法则是通过平面直角坐标系来表示函数的形状。2.2函数的域与值域函数的域是指自变量x可以取的所有可能值的集合，记作D。值域是指函数在域D内所有可能的输出值的集合，记作R。确定函数的域与值域有助于我们更好地了解函数的性质和特征。2.3函数的基本性质单调性：函数在某个区间内单调递增或单调递减的性质。单调递增意味着当自变量增大时，函数值也增大；单调递减则相反。奇偶性：当函数满足f(-x)=f(x)时，称为偶函数；满足f(-x)=-f(x)时，称为奇函数。周期性：如果存在正数T，使得对于所有x，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)被称为周期函数，T称为它的周期。这些性质有助于我们了解函数的走势和特点，对于解决实际问题有着重要的指导意义。在中职高三的数学学习中，掌握这些基本概念和性质是理解更复杂函数问题的基础。3.常见函数及其图像3.1一次函数一次函数是最简单的函数类型，通常表示为(y=ax+b)（(a)），其中(a)是斜率，表示函数图像的倾斜程度，(b)是(y)轴截距，表示当(x=0)时函数图像与(y)轴的交点。一次函数的图像是一条直线，其特点包括：-直线的斜率决定其倾斜方向和程度；-当(a>0)时，直线向右上方倾斜；当(a<0)时，直线向右下方倾斜；-直线总是穿过(y)轴于点((0,b))。3.2二次函数二次函数的一般形式为(y=ax^2+bx+c)（(a)），其中(a)决定了抛物线的开口方向和宽度，(b)影响抛物线在(x)轴的位置，(c)是(y)轴截距。二次函数的图像是一条抛物线，具有以下性质：-当(a>0)时，抛物线开口向上；当(a<0)时，抛物线开口向下；-抛物线的对称轴是(x=-)；-抛物线的顶点坐标是((-,))；-抛物线与(x)轴的交点由解方程(ax^2+bx+c=0)得到。3.3指数函数与对数函数指数函数和对数函数是相互反函数的两种重要函数类型。3.3.1指数函数指数函数的一般形式为(y=a^x)（(a>0)，(a)），其中(a)称为底数。指数函数的图像特点包括：-当(a>1)时，函数图像随着(x)的增加而迅速增加；-当(0<a<1)时，函数图像随着(x)的增加而迅速减少；-指数函数总是通过点((0,1))；-指数函数的值域为((0,+))。3.3.2对数函数对数函数的一般形式为(y=_a(x))（(a>0)，(a)），其中(a)同样称为底数。对数函数的图像特点包括：-对数函数的图像是指数函数图像的反转；-当(a>1)时，对数函数随(x)的增加而缓慢增加；-当(0<a<1)时，对数函数随(x)的增加而缓慢减少；-对数函数的定义域为((0,+))；-对数函数通过点((1,0))。这些常见函数及其图像的学习，是中职高三数学函数知识点的核心部分，对于理解更复杂的函数概念和问题解决至关重要。4.函数的运算与复合函数4.1函数的运算（和、差、积、商）在中职高三数学中，我们学习了函数的基本运算，包括函数的和、差、积和商。这些运算基于已知的函数生成新的函数。和与差：两个函数f(x)和g(x)的和记作(f+g)(x)=f(x)+g(x)，差记作(f-g)(x)=f(x)-g(x)。例如，一次函数f(x)=2x+1和g(x)=3x-2的和是(2x+1)+(3x-2)=5x-1。积：两个函数的积记作(f*g)(x)=f(x)*g(x)。例如，f(x)=x和g(x)=x的积是x*x=x^2。商：当g(x)≠0时，两个函数的商记作(f/g)(x)=f(x)/g(x)。例如，f(x)=x和g(x)=x+1的商是x/(x+1)。4.2复合函数的定义与性质复合函数是由两个或更多函数构成的，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。复合函数通常表示为(f∘g)(x)=f(g(x))。定义：如果函数f的定义域包含函数g的值域，那么复合函数(f∘g)(x)是有意义的。性质：-复合函数的域是原函数g的域。-复合函数的值域取决于f和g的值域。-复合函数的奇偶性与f和g的奇偶性有关。-复合函数的单调性取决于f和g的单调性。4.3复合函数的求导与积分对于复合函数，我们经常需要求导数和积分。求导：求复合函数的导数可以使用链式法则，即若y=f(u)和u=g(x)，则y关于x的导数dy/dx=df/du*du/dx。积分：对于复合函数的不定积分，我们通常使用换元积分法，选择适当的代换u=g(x)，然后转换为对u的积分。了解和掌握这些运算和性质对于解决更复杂的数学问题至关重要，它们是中职高三学生必须掌握的函数知识点。通过对这些概念的学习，学生能够更深入地理解函数的本质，以及它们在数学和实际问题中的应用。函数的单调性与极值5.1函数的单调性及其判定方法函数的单调性是指函数在其定义域上的某种变化趋势。在中职数学中，我们主要研究函数的单调递增和单调递减两种情况。单调递增如果一个函数f(x)在其定义域D上满足：当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上单调递增。单调递减如果一个函数f(x)在其定义域D上满足：当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在D上单调递减。判定方法导数法：如果函数f(x)在区间（a,b）内可导，且f’(x)>0（或f’(x)<0），则f(x)在（a,b）内单调递增（或单调递减）。图像法：通过观察函数的图像，判断函数的单调性。定义法：根据函数单调性的定义，直接判断函数在某个区间上的单调性。5.2函数的极值及其求法函数的极值是指函数在其定义域上的局部最大值或最小值。极值的判定方法导数法：如果函数f(x)在点x0处可导，且f’(x0)=0，则x0可能是f(x)的极值点。进一步判断，如果f’(x)在x0左侧为正，右侧为负，则f(x)在x0处取得局部极大值；如果f’(x)在x0左侧为负，右侧为正，则f(x)在x0处取得局部极小值。二阶导数法：如果函数f(x)在点x0处二阶可导，且f’(x0)=0，f’‘(x0)≠0，则x0是f(x)的极值点。当f’‘(x0)>0时，f(x)在x0处取得局部极小值；当f’’(x0)<0时，f(x)在x0处取得局部极大值。极值的求法导数法求极值：首先求出函数的导数，然后找出导数为0的点，判断这些点是否为极值点。顶点公式法：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其极值（顶点）为(-b/2a,f(-b/2a))。5.3函数的最值问题函数的最值是指函数在其定义域上的最大值和最小值。最值的求法导数法：在函数的闭区间[a,b]上，首先求出导数，然后找出导数为0的点以及区间端点a、b处的函数值，比较这些点处的函数值，最大（小）值即为函数在闭区间[a,b]上的最大（小）值。积分法：对于连续函数f(x)，可以在其定义域上求解定积分，利用积分中值定理求解最值。图像法：通过观察函数的图像，判断函数在某个区间上的最值。在实际问题中，函数的单调性、极值和最值问题具有重要的意义，如在物理、经济学等领域中的应用。掌握这些知识点，有助于更好地解决实际问题。6.函数图像的变换6.1图像的平移与伸缩函数图像的平移与伸缩是基本的图像变换方式。平移变换是指将函数图像沿着x轴或y轴的方向移动一定的单位，而伸缩变换则是改变图像的形状，使其变得更为“瘦长”或“扁平”。平移变换：-左加右减：对于函数fx，若将其图像向左平移a个单位，得到的新函数为fx+a；若向右平移a个单位，则新函数为fx−a。-上加下减：若将图像向上平移b伸缩变换：-水平伸缩：设k>1，将fx图像沿x轴方向伸长到原来的k倍，得到fxk；若0<k<1，则图像沿x轴方向缩短到原来的k倍。-垂直伸缩：设k6.2图像的翻折与旋转图像的翻折与旋转是另一种重要的图像变换，它们通过改变图像的方向来形成新的函数图像。翻折变换：-关于x轴翻折：若函数为fx，则关于x轴翻折后的函数为−fx。-关于y轴翻折：若函数为f旋转变换：-函数图像的旋转通常涉及到坐标系的变化，不是简单的代数表达式变换。旋转不改变函数的解析式，但会改变图像在坐标系中的位置。6.3函数图像变换的实际应用图像变换在实际生活中有广泛的应用，例如在信号处理、图形设计、物理运动分析等领域。在信号处理中，图像的水平或垂直伸缩可以模拟信号的延时或加速。在图形设计里，图像的平移、翻折和旋转可以帮助设计出复杂且美观的图案。在物理运动分析中，通过函数图像的变换分析物体在不同时间或条件下的运动状态。了解和掌握这些图像变换的方法，不仅有助于中职学生理解数学函数的抽象概念，而且为将来解决实际应用问题打下坚实的基础。7.函数在实际问题中的应用7.1函数在物理问题中的应用在物理学中，函数是描述物体运动状态和变化规律的重要工具。例如，位移、速度、加速度等物理量都可以用函数来表示。当物体做直线运动时，其位移与时间的关系通常是一次函数或二次函数。通过对这些函数的分析，可以了解物体的运动规律，预测物体的未来位置。例子假设一个物体从静止开始做匀加速直线运动，其加速度为a，时间t内的位移s可以表示为：s这是一个二次函数，通过该函数，我们可以计算出物体在任何时刻的位移。7.2函数在经济学问题中的应用在经济学中，函数常用于描述经济变量之间的关系。例如，市场需求量与价格之间的关系可以用需求函数表示。通过对这些函数的研究，可以分析市场变化，制定合理的经济政策。例子假设某商品的需求量Q与价格P之间的关系为：Q其中，a和b为常数。这是一个一次函数，表示需求量与价格呈负相关。通过分析该函数，可以找出价格对需求量的影响程度。7.3函数在其他领域中的应用除了物理和经济学，函数在其他领域也有着广泛的应用。例如：在生物学中，函数可以描述生物种群的数量变化规律；在地理学中，函数可以描述地形的高低变化；在计算机科学中，函数是编程语言的核心概念，用于实现各种算法。通过这些实例，我们可以看到函数在实际问题中的重要性和广泛应用。学会运用函数分析问题，有助于提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。8结论8.1函数学习的重要意义在中职高三数学的学习过程中，函数作为一个核心知识点，其重要性不言而喻。通过学习函数，我们不仅能够理解和掌握数学的基本概念和方法，还能够培养逻辑思维、抽象思维和创新能力。函数学习为我们提供了一个解决实际问题的有力工具，使我们能够更好地认识世界、分析问题和改进生活。8.2面对函数学习中的困难与挑战在学习函数的过程中，我们不可避免地会遇到各种困难和挑战。例如，函数的定义和性质较为抽象，初学者往往难以理解；函数图像的变换和复合函数的求解也容易让人感到困惑。然而，正是这些困难和挑战，锻炼了我们的意志力，提高了我们的解决问题的能力。面对这些困难，我们应该保持积极的态