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文档简介

课时4余弦定理新授课余弦定理及其变式的内容是什么？余弦定理可以解决哪些三角形问题？回顾1.能应用余弦定理及变形公式进行边角转化，判定三角形的形状.2.能应用余弦定理及变形公式进行边角转化，解决三角形相关的几何计算、证明问题.目标一：能应用余弦定理及变形公式进行边角转化，判定三角形的形状.任务：能应用余弦定理判定三角形的形状.问题1：在△ABC中，若

，则△ABC的形状为(

)A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定解析：根据余弦定理知

，因为a2>b2+c2，所以

，又因为

，所以A为钝角，故选A.A思考：如何用余弦定理公式判断三角形是直角三角形还是锐角或钝角三角形？归纳总结设a是最长的边，则(1)△ABC是钝角三角形

；(2)△ABC是直角三角形

；(3)△ABC是锐角三角形

；

问题2：在

中，已知

，判断该三角形的形状，说说解题思路.∴c2(a2-b2)=a4-b4=(a2+b2)(a2-b2)，∴a2=b2或c2=a2+b2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.法二：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,∴2A=2B，或2A+2B=180°∴A=B或A+B=90°∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.法一：由余弦定理得根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化角为边：利用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，(2)化边为角：利用正弦定理将已知等式转化为角的三角函数关系式．归纳总结在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形

D．等边三角形练一练C解析：∵2cosBsinA＝sinC，∴

，∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．目标二：能应用余弦定理及变形公式进行边角转化，解决三角形相关的几何计算、证明问题.任务1：能应用余弦定理解决几何计算的实际问题.问题：如图所示平面四边形ABCD中，已知

，求四边形ABCD的面积.在△ABC，△ADC中分别使用余弦定理可得解：如图，连接A，C，又因为B+D=180°，所以

，解得

，从而可知四边形的面积为：因此因此

与平面多边形有关的问题，可以转化为三角形中的边或角问题，借助余弦定理或正弦定理来解决.归纳总结任务2：能利用余弦定理证明三角形中的恒等式.在△ABC中，求证：a=bcosC+ccosB.证明：(法一)由余弦定理得bcosC＋ccosB=∴a＝bcosC＋ccosB.(法二)如图所示，因此又由图可知所以

即：同理可得：

思考：如图，

，从向量的角度，你发现

具有什么几何意义？是

在

上的投影的数量之和.归纳总结(1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径：①把角的关系通过正、余弦定理转化为边的

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