专题06 图形与数字规律探究问题（解析版）-2021七上期末提优训练

-2021学年七年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题06图形与数字规律探究问题【典型例题】1.（2020·辽宁大连·七年级期中）用边长为0.5米的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路．（1）铺第5个图形用白色正方形瓷砖______块，黑色正方形瓷砖______块；（2）按照此方式铺下去，铺第个图形用白色正方形瓷砖______块，用黑色正方形瓷砖______块（用含的代数式表示）；（3）若黑色正方形瓷砖每块价格25元，白色正方形瓷砖每块价格30元，若按照此方式恰好铺满12.5米长的小路，求铺满该段小路所需瓷砖的总费用．【答案】（1）第1个图形用白色正方形瓷砖的块数为，第2个图形用白色正方形瓷砖的块数为，第3个图形用白色正方形瓷砖的块数为，归纳类推得：第n个图形用白色正方形瓷砖的块数为，其中n为正整数；第1个图形用黑色正方形瓷砖的块数为，第2个图形用黑色正方形瓷砖的块数为，第3个图形用黑色正方形瓷砖的块数为，归纳类推得：第n个图形用黑色正方形瓷砖的块数为，其中n为正整数；则铺第5个图形用白色正方形瓷砖的块数为，黑色正方形瓷砖的块数为，故答案为：12，21；（2）由（1）已知：铺第n个图形用白色正方形瓷砖块，用黑色正方形瓷砖块，故答案为：，；（3）由题意得：，解得n=12，铺满该段小路所需瓷砖的总费用为，则当n=12时，（元），答：铺满该段小路所需瓷砖的总费用为2005元．【点睛】本题考查了列代数式表示图形的规律型问题、整式的化简求值、一元一次方程的应用等知识点，观察图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键．【专题训练】选择题1．（2020·江苏南通田家炳中学七年级期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（）A．63 B．98 C．140 D．168【答案】D2．（2019·福建厦门·七年级期中）如图1为2018年5月份的日历表，某同学任意框出了其中的四个数字，如图2，若用m表示框图中相应位置的数字，则“？”位置的数字可表示为（）A．m+1 B．m+5 C．m+6 D．m+7【答案】C3．1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则的值分别为（）A． B．C． D．【答案】B4．（2020·河南七年级期中）小明计划和爸爸一起自驾游，图A是这月份的日历，用图B框住5个日期，他们的和是50，图B中x是出行日期，爸爸的车牌尾号是“9”，则出行日期是几号，这天能出行吗？（）（注：郑州市限行政策：周一到周五限行，周末和节假日不限行，每周一限行尾号为1和6，每周二限行尾号为2和7，以此类推）A．11，不能 B．11，能 C．10，能 D．10，不能【答案】A5．（2020·安徽七年级期末）将正整数至按一定规律排列如表，平移表中带阴影的方框，则方框中的三个数的和可以是（）A． B． C． D．【答案】D填空题6．如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是．－4

a

b

c

6

b

－2

…

【答案】－27．（2020·安徽七年级期中）图中显示的填数“魔方”只填了一部分，若要使得所有行、列及对角线上各数相加的和相等，则的值是_____________．【答案】168．（2020·云梦县实验外国语学校七年级期中）观察下列算式：12﹣02＝1＋0＝1；22﹣12＝2＋1＝3；32﹣22＝3＋2＝5；42﹣32＝4＋3＝7；52﹣42＝5＋4＝9；……若字母表示正整数，请把第n个等式用含n的式子表示出来：________．【答案】（n+1）2-n2=2n+1．9．下图是某月份的日历,用一个方框圈出任意3×3个数,设最中间一个数是x,则用含x的代数式表示这9个数的和是____.

【答案】9x10．（2017·四川）如下图是小明用火柴棒搭的1条、2条、3条“金鱼”…，则搭n条“金鱼”需要火柴___根．【答案】11．（2020·西城·北京四中七年级期中）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为，第16个数为2，第78个数为，则的值为______，第2021个数为______．7【答案】12．（2020·保定市第十九中学七年级期末）把我国夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等．则图1的三阶幻方中，字母所表示的数是______，根据图2的三阶幻方中的数字规律计算代数式的值为______．【答案】8﹣213．（2020·辽宁七年级月考）我们知道，在三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，在如图的三阶幻方中已经填入了三个数1，2和-4，则图中x应该是____________．2-4x1【答案】7解答题14．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式：①1＝12；②1＋3＝22；③1＋3＋5＝32；④_____________；⑤_____________；….(2)通过猜想写出与第n个点阵图相对应的等式．【答案】(1)由图①知黑点个数为1个，由图②知在图①的基础上增加3个，由图③知在图②基础上增加5个，则可推知图④应为在图③基础上增加7个即有1＋3＋5＋7＝42，图⑤应为1＋3＋5＋7＋9＝52，故答案为④1＋3＋5＋7＝42；⑤1＋3＋5＋7＋9＝52；(2)由(1)中推理可知第n个图形黑点个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，解答此类问题的关键是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．15．将正整数1，2，3，4，5，……排列成如图所示的数阵：（1）十字框中五个数的和与框正中心的数11有什么关系？（2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；（3）十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由；（4）十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．【答案】解：（1）十字框中五个数的和是正中心数的5倍.∵十字框中五个数的和，∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍.（2）五个数的和与框正中心的数还有这种规律.设中心的数为，则其余4个数分别为，，，.，∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍.（3）十字框中五个数的和不能等于180.∵当时，解得，，36在数阵中位于第6排的第1个数，其前面无数字，∴十字框中五个数的和不能等于180.（4）十字框中五个数的和能等于2020.∵当时，解得，，404在数阵中位于第58排的第5个数，∴十字框中五个数的和能等于2020，这五个数是404，403，405，397，411.【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是设中心的数为，求出十字框中五个数的和为5a.16．（2020·安徽阜阳·七年级期中）下图的数阵是由全体奇数排列成的：图中平行四边形框内的九个数之和与最中间的数有什么关系?在数阵图中任意作一类似中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗?请结合整式的知识说明理由．这九个数之和能等于吗?和呢?若能，请写出这九个数中最小的数；若不能，请说出理由．【答案】图中平行四边形框内的九个数的和为：23+25+27+39+41+43+55+57+59=369，

369÷41=9，

所以图中平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍；（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和还有这种规律．理由如下：

设数阵图中中间的数为x，则其余的8个数为x-18，x-16，x-14，x-2，x+2，x+14，x+16，x+18，

这九个数的和为：x-18+x-16+x-14+x-2+x+x+2+x+14+x+16+x+18=9x，

所以图中平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍；由知满足题意的九个数之和必为的倍数，是偶数，不在数阵中，故不能等于．，不能整除，故不能等于；，则中间数为最小的数是．【点睛】本题考查了整式加减的应用，发现数阵中9个数之间的关系是解题的关键．17．（2020·辽宁七年级期中）观察下列三行数：，4，，16，，64，…；①，5，，17，，65，…；②，2，，8，，32…；③（1）第三行的第个数为______；（2）如图1，在上面的数据中，用一个矩形方框框住同一列的三个数，设，则______（用含的式子表示）；（3）如图2，在上面的数据中，用一个矩形方框框住两列共六个数，数，，为第列的三个数，若方框中的六个数之和为，求的值．图1图2【答案】解：（1）由题意可知，第三行的第n个数为．

故答案为：；

（2）依题意有a＋b＋c＝x＋x＋1＋＝x＋1．

故答案为：x＋1；

（3）∵设a＝x，则b=x+1，c=x，d=-2x，e=-2x+1，f=×（−2）x

∴x＋x＋1＋x+（−2x）+（−2x）＋1＋＋×（−2）x＝−158，

∴−x＝−160，

解得x＝64，

∴（−2）n＝64，

解得n＝6．

故n的值为6．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，规律型：图形的变化类，列代数式；能够横纵联系观察表格中的数，找到数之间的关系是解题的关键．18．（2020·江西七年级期中）把2007个正整数1，2，3，4，...，2007按如图方式排列成一个表．（1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为，则另三个数用含的式子表示出来，从小到大依次是________，__________，__________；（2）当（1）中被框住的4个数之和等于848时，的值为多少？（3）（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于244？若能，则求出的值；若不能，则说明理由；（4）从左到右，第1至第7列各列数之和分别记为，则这7个数中，最大数与最小数之差等于________（直接填出结果，不写计算过程）．【答案】（1）据表可知，这些数字排列有一定的规律，上下相差7的倍数，左右相差1，利用此规律可得另外三个数依次为；x+7+1，即x+8；x+2×7＋1＋1，即x+16；x+3×7＋1＋1+1，即x+24；（2）根据题意可知：x+（x+8）+（x+16）+（x+24）=848解得：x=200（3）根据题意可知：x+（x+8）+（x+16）+（x+24）=244解得：x=49∵左上角的x不能为7的倍数，∴框住这样的4个数，它们的和不能等于244；（4）∵2007＝286×7＋5第1、2、3、4、5列有287个数，第6列有286个数∴最大的数为a5，最小的数为a6，∵相邻两个数相差1，286行应该相差286，∴最大数与最小数之差为：2007－286＝1721故答案为1721【点睛】本题考查数字的变化规律及对一元一次方程的应用，解题的关键是找出表中数字排列的规律，据此列出方程求解．19．（2020·湖北七年级期中）如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出个数，设“凹“字型框中的五个数分别若，则，若，则(用含的式子表示)；在移动“凹”字型框过程中，小胖说被框住的个数字之和可能为，大胖说被框住的个数字之和可能为，你同意他们的说法吗?请说明理由；若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则符合条件的的值为【答案】解：（1）由题意得：a2＝1+7=8，a＝1+8=9，a4＝x+1－7=x－6，故答案为：8；9；x－6；（2）小胖：（a﹣8）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a﹣6）＝106，解得：a＝24；大胖：（a﹣8）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a﹣6）＝90，解得：a＝20.8（不符合题意，舍去）．∴小胖的说法对，大胖的说法不对；（3）a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，∴2a+1的值可以为：19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61．∵b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b＝2a+1，∴b的值可以为：21，23，29．故答案为：21，23或29．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键．20．（2020·四川成都七中七年级期中）如图所示，在的九个格子中填入9个数．当每行、每列及对角线上的3个数之和都相等时，我们把这张图称为九宫归位图．（1）图1中，每行的数之和为______；若，，0，1，2，3，4，5，6这九个数也能构成九宫归位图，则此时每行、每列及对角线上的3个数之和均为______．（2）如图2所示，在这张九宫归位图中，只填了3个数，请将剩下的6个数直接填在表中：（用含的代数式直接表示这六个数）．（3）如图3所示，在这张九宫归位图中，只填了2个数，请你求出右上角“？”所表示的数值．【答案】（1）图1中每一行之和均相等，第1行数之和为，故每一行数之和为15．，∴此时每行、每列及每条对角线的3个数字之和都为6．（2）设右下角的数为，则左上角的数为，∴中间的数为：，∴∴，∴，∴．（3）如图所示，设右上角“？”所表示的数值为，设空格中相应位置的数为、、、，由题意可得，可得，即，解得．【点睛】本题考查列代数式，数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键．21．（2020·四川七年级期中）小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：（1）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其他五个数的和能等于2016吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．【答案】解：（1）十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26＝80＝16×5，∴十字框中的五个数的和为中间的数16的5倍．设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣1