2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)-解三角形问题(含详解)

专题10解三角形问题

【高考真题】

AQ

1.（2022•全国甲理）已知△ABC中，点。在边8c上，ZADB=l20°,AD=2,CD=2BD.当号取得最小

值时，BD=

【知识总结】

1.正弦定理及其变形

帚=磊=焉=2R（2R为△ABC外接圆的直径）.

变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；sinsinB=4,sinC=点;a■b■c=sinA：sin

BsinC.

2.余弦定理及其推论、变形

〃2=62+c2-2bccosA,一二1+廿―24ccosB,一二片+1-2a\cosC.

g・人从+/—/a2+c2-b2〃+从一,2

推论：cosA—,cosB—,cosC=五石.

变形：i>2+c2—a2=2bccosA,c^+c^—b2—2accosB,cr+b2—^—2abcosC.

3.面积公式

SzMBc=；bcsin4=/ac$in8=；〃6sinC.

【同类问题】

题型一三角形中基本量的计算

1.（2021•全国乙）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为小，B=60。，a2+c2=3ac,

则b=.

2.（2017■全国HI）Z\ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知。=60。"=#，c=3,则A=.

3.（2017•全国I）Z\A8C的内角A,B,C的对边分别为a,h,c.已知sinB+sinA（sinC-cosC）=0,a=2,

c=取,则C=（）

兀r兀一兀c兀

A•五B-6C-4D-3

/+/72—/

4.（2018•全国m）4A3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为--------,则C=（）

兀C兀一兀C兀

A.2B.jC.4D.不

2

5.（2020•全国HI）在△ABC中，cosC=yAC=4,8C=3,则cosB等于（）

ill?

A.§B.3C.2D.,6.（2020•全国I）如图，在三棱

锥P-ABC的平面展开图中，AC=1,AB=AD=yf3,ABA,AC,ABLAD,

ZCAE=30°,则cos/FT8=.

cD（P）

'）M45

FS）7.（2016•全国H245C的内角A,B,C的对边分别为mh,c,若cosA=g,cosC=舌，a

=1,则b=.

8.（2016・全国I）A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=小，c=2,cosA=],则b=（）

A.也B.小C.2D.3

9.在平面四边形ABC。中，BCA.CD,NB=普，40=2痂，若AC=3小，则CD为.

10.（多选）在A48C中，角A,B,C的对边分别为小b,c,2bsinA=^“cosB,AB=2,AC=2#,D为BC

的中点，E为AC上的点，且BE为NABC的平分线，下列结论正确的是（）

A.COSZBAC=--YB.SAABC=3巾C.BE=2D.小

题型二三角形的面积

11.（2014•福建）在△ABC中，A=60°,AC=4,BC=2小,则△ABC的面积等于.

TT

12.（2019•全国H）ZMBC的内角内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b=6,a=2c,B=],则△BDC

的面积是.

13.（2018•全国I）在△ABC中，内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,

〃+/—/=8,则△ABC的面积为.

14.（2017•浙江）已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点。为AB延长线上一点，BD=2,连接CD,则△BDC

的面积是,cosZBDC=.

15.（2013・全国II）Z\ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知Z>=2,B=1,C=?则△ABC的

面积为（）

A.2-73+2B.小+1C.2^3-2D.小一1

2

16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,h,c.已知cosA=1,sinB=，^cosC,并且a=也，则

△ABC的面积为.

17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且（20一a）cosC=ccos4,c=3,sinA+sinB=2加

sinAsinB,贝iJzXABC的面积为（）

A.B.2C.乎D.尊^18.在△ABC中，内

o，4

角A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知〃=1,2b—y[3c=2acosC,sinC=2»则

△ABC的面积为（）

A.坐B.坐C.坐或坐D.小或坐

19.AA8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin（B+A）+sin（8—A）=2sin2A,且c=加，C=1,

则AABC的面积是（）

A.小B.3小C.小或1D.小或3小

20.托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：

圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一

个圆的圆周上，AC,3。是其两条对角线，AB=AD,N8AO=120。，AC=6,则四边形ABC。的面积

为.

题型三三角形中的最值（范围）问题

21.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且则角A的取值范围是（）

717T7t兀71

A.3兀B.C.D.0,

A,2,3'2,2,

22.在AABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是（）

7t7t

010,

A.6B.IC.6'2.D.82.

23.在A48C中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c.A4sinC+sin（B—A）=也in2A,则角A的取

值范围为（）

（八九］（八兀「兀兀］「兀兀一

A.（0,B,（0,句1C.反,义D.后,南

24.（2014•江苏）若△ABC的内角满足siM+45sinB=2sinC,则cosC的最小值是.

25.在钝角AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B为钝角，若acosA=6sinA,贝UsinA+sinC

的最大值为（）

97

A.A/r2B.QC.1D.Q

oo

26.在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为“，b,c,且“cosB一次:osA=］c,当tan（A—8）取最大值时，

角B的值为.

27.在△48C中，内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,asinA+〃sin8=csinC—啦asinB,则sinZAtan^B

的最大值是.

28.在△48C中，若sinC=2cosAcosB,则cos2A+cos2B的最大值为.

29.设aABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知/+2从=02,则慰=___；tanB的最大

lall/I

值为.

30.在锐角aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2加inC,则taM+tanB+tanC的最

小值是（）

A.4B.3小C.8D.6小

专题10解三角形问题

【高考真题】

（2022•全国甲理）已知△A8C中，点。在边8c上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当弁取得最小

值时，BD=

1.答案73-1解析设。。=280=2,”>0,则在△A8。中，AB1=BD1+Ab1-2BDADcosAADB=

AC*24/77^-I-4—4"?

加2+4+2加，在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CDADcosZADC=4fn2+4-4m,所以而=-/〃2+4+2〃；

4。〃2+4+2〃?)-12(1+nz)12

=4--—--------^--4->4-一-=4-25/3,当且仅当m+l=

优2+4+27%3I3

0?z+1)4,"+12轲+】)；+|

言，即1时，等号成立，所以当器取最小值时，,〃=小一1.故答案为小一1.

【知识总结】

1.正弦定理及其变形

卷=磊=嬴=27?(2/?为XABC外接圆的直径).

变形：〃=2Rsin4,b=2RsinB,c=2/?sinC.

a.-b.「c

sinA4.—2R,sin13—?R,sinC—2R.

a：b：c=sinA：sin8：sinC.

2.余弦定理及其推论、变形

42=〃+/—2%cosA,〃=42+'­2〃ccosB,C.

/?2+c2-a2a2+c2—ft2^2+/?2-c2

推比：cosA="2a、8SB="2ac—,coslab-

变形：b2+c1—a1=2hccosA,a2+c2—b2=2accosB,a2+b2—c2=2abcosC.

3.面积公式

SzkABC=T〃csinA=34csinB=^ahsinC.

【同类问题】题型一三角形中基本量的计算

1.（2021•全国乙）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,面积为小，B=60。，cr+c^^ac,

则b=.

1.答案2世解析由题意得S"sc=%csin3=乎4c=/，则ac=4,所以/+c2=3ac=3x4=12,

所以庐=a2+c2_2“ccosB=12-2x4x；=8,贝1匕=26（负值舍去）.

2.（2017・全国III）Z\ABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c.已知C=60°,h=y[6,c=3,则A=.

,..rV6x96

2.答案⑴75。解析由正弦定理，得血8=竺箕=^—=竽，结合Xc得8=45。，则4=180。

-B-C=75°.

3.（2017・全国I）Z\ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin5+sinA（sinC-cos0=O,a=2,

c=p,则C=（）

兀r兀c兀c兀

A•五B-6C-4D-3

3.答案B解析由题意得sin（A+0+sinA（sinC-cosC）=0,/.sirLAcosC+cosAsinC+sinAsinC—

sinAcosC=0,则sinC（sinA+cosA）=，5sinCsin（A+$=（）,因为C^（0,K）,所以sinC#0,所以sin（A+：）

=0,又因为Ae（0,兀），所以所以A=手.由正弦定理总=品，得~三=亳,则sinC

siny'

=；,又Ce（o,jr）,得C=*

Q2+/-2

4.（2018•全国HDZUBC的内角A,B,C的对边分别为。，4a若△ABC的面积为--------，则。=（）

冗c兀—%-兀

A.2B.QC.]D.不

4.答案C解析因为〃+从一c2=2abcosC,且S&ABC=°+：~「，所以SAABC=""号"。=%bsinC,

jr

所以tanC=l.又CW（0,it）,故C=[.

2

5.（2020・全国III）在△ABC中，cosC=w，AC=4,BC=3,则cosB等于（）

A.B.1C.5D.q

2

5.答案A解析由余弦定理得AB2=AC2+Bd—2AC8CcosC=42+32—2X4X3X§=9,所以45=

AB2+BC2—AC29+9—161

3,所以cosB—-2AB.BC――「一用下6.（2020.全国I）如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图

中，4c=1,AB=AD="AB1AC,ABLAD,

NCAE=30°,则cos/PCB=.

-1解析在AABD中，：48,4。,48=40=小，；.80=,，，/8=80=加.在

6.答案

△ACE

中，；AE=AO=小，AC=1,ZCA£=30°,EC=\p+12-2又小乂1xcos30。=1,；.CF=CE=1.又

_______c产+BC2_F82

'：BC=\）AC2+AB2=^/12+<32=2,工在AFCB中，由余弦定理得cosNFCB=―”CYx8c-

l2+22—\/621

2xix2=一不

4

-

7.（2016•全国II）A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,5

245312

7.答案官解析因为A,C为△ABC的内角，且COSA=5，cosC=y^,所以sin4=q,sinC=y1,所以

4263

+iX----又4

sin8=sin（兀—A—C）=sin（A+C）=sirL4cosC+cosAsinC=5365所以由正弦定理得

asinB63521

ffc=^M=65X3=l3-

2

8.（2016・全国I）ZiABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c.已知a=小，c=2,cosA=p则％=（）

A.A/2B.小C.2D.3

8.答案D解析由余弦定理，得5=〃+22—2XbX2x|,解得6=3（b=-g舍去）

9.在平面四边形ABC。中，BCLCD,ZB=y,AB=3@,AD=2y[lb,若AC=3小，则CD为.

9.答案1或5解析因为在AABC中，N8=空，AB=36,AC=3小，由正弦定理可得券

.”心,所以sinNACB=AB：^BJf2=坐,又8cLs,所以/4C5与/AC。互余，因此

sin/ACBAC3\55

cos/ACO=sin/AC8=乎，在AACO中，AD=2回,AC=3小，由余弦定理可得cosNACD=^=

A02+「炉―A》s

''ACCD—=；1ay所以C。-6CO+5=0,解得CO=1或CO=5.

10.（多选）在zMSC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,2teinA=y[5acosB,AB=2,AC=2加，D

为BC的中点，E为AC上的点，且BE为/ABC的平分线，下列结论正确的是（）

A.cosNB4C=-乎B.SZMSC=3小C.BE=2D.AD=y[5

10.答案AD解析由正弦定理可知2sinBsinA="\/^sinAcosB,,；sinA/）,；.2sin8=q^cos8.又si/B

、后2

+COS2B=1,.'.sinB=^,cosB=y在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,得3c=6.A项，

,AB2+AC2~BC24+24-36%《11小广《

cosZBAC=-----2ABAC-----=2x2x2y[6=~;B项，S“6c=]4B8CsinB=p<2x6x-^-=2A/5；C项，

由角平分线性质可知痣=熬=）,，4七=幸.3序=45?+A序一2A8AEcosA=4T1—2x2x^x（—迪）

EC£>CJZZZ\o7

=-y,；.8£=卑；D项，在“8。中，AD1=AB2+BD2~2ABBDCOSB=4+9-2X2X3X|=5,：.AD

=y[5.

题型二三角形的面积

11.（2014・福建）在aABC中，A=60。，AC=4,BC=2小,则△ABC的面积等于.

11.答案2小解析在AABC中，由正弦定理得3磊=高嘉，解得sin8=l,所以8=90。，所以

=；xA8x2小=%\/4?-2巾2乂25=2小.

7T

12.（2019•全国H）zMBC的内角内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b=6,a=2c,B=],则△BDC

的面积是.

12.答案解析由余弦定理得加M^+H—^CCOSB,所以（2c）2+c2—2x2cxcx；=6,即©2=12,

解得c=26,c=—2A/5（舍去），所以a=2c=4\/5,5^8（?=acsinB=-^x4^3x2^3x.

13.（2018•全国I）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知加inC+csinB=4asinfisinC,

乂+，一/=8,则△ABC的面积为.

13.答案斗^解析已知加inC+csin8=4“sin8sinC=2sin8sinC=4sin4sin8sinC,所以sin4=；,由〃

+/一2=8＞。知人为锐角，所以cosA等,所以坐所以尻=全里,所以S“8c

_L,“」8书12s

—2^csirLA_2^X1一.

14.（2017•浙江）已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点。为48延长线上一点，80=2,连接CD,则△BDC

的面积是,cosZBDC=.

14.答案卑乎解析在AA8C中，A8=AC=4,8c=2,由余弦定理得cos/ABC="'黑展

4~4~2~—4~1A/151\1\5

=.x4x2=不贝UsinNABC=sinNCBQ=T，所以％8℃=23。3金由/。5。=号.因为80=

”1…lcosZABC+1-Jlo

BC=2,所以N8DC=]N48C,则cos/8OC=y--------b-----=号.

TTTT

15.（2013・全国H）ZV1BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6=2,8=4,C=7则△ABC的

面积为（）

A.2-73+2B.巾+1C.2^3-2D.小一1

15.答案B解析因为B弋，C寸所以A=居.由正弦定理得一\=一、，解得c=2啦.所以三

sin不sin

角形的面积为夕?csinA=；x2x2啦sin居.因为siny^=sin^+^=^x^+"^x22）,所以J

%51必=26乂当^坐+3）=小+1,故选B.

2

16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c.已知cosA=1,sinB=，^cosC,并且。=也，则

△48C的面积为.

16.答案*•解析因为0VA<n,cosA=G，所以sinA=W—cos2>=乎.又由小cosC=sinB=sin(A

+C)=sinAcosC+cos4sinC=芈cosC+,sinC知,cosGO,并结合si/C+cos2c=1,得sinC=亲,cosC

=于是sinBu-s/^cosCu^^.由及正弦定理$亩4=得c=，§.故△ABC的面积5=5

acsmB一甘.

17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且（20一a）cosC=ccos4,c=3,sinA+sin8=2#

sinAsinB,则△ABC的面积为（）

A妪B2c近D送

17.答案D解析因为（2。一〃）cosC=ccosA,由正弦定理得，（2sin3—sirb4）cosC=sinCcos4,化简

得2sinBcosC=sinB,又sinB/O,因为（7£（0,兀）,所以cosC=^,所以又由sinA+sin8=24sinAsin8,

可得（sinA+sinB>sinC=36sinAsin8,由正弦定理可得（a+0）c=36"，所以因为c2=

a2+b2—2abcosC,所以2（"）?—3油一9=0,所以帅=3（负值舍去），所以S"/，c=；"sinC=¥^.

18.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为小b,c,己知a=l,一小c=2〃cosC,sinC=^-,则

△ABC的面积为（）

A.坐B.坐C.坐或坐D.小或坐

18.答案C解析因为2b—/c=2acosC,所以由正弦定理可得2sin3—小sinC=2sirb4cosC,所

以2sin（A+。一小sinC=2sinAcosC.所以2cosAsinC=*\/5sinC,又sin*。，所以cosA=竽，因为AW

（0°,180°）,所以A=30。，因为sinC=坐，所以C=60。或120°.当C=60。时，A=30。，所以8=90。，

又a=l,所以AABC的面积为$1*2*坐=坐；当C=120。时，A=30。，所以8=30。，又a=l,所以

△ABC的面积为苫<以1普=坐，故选C.

19.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(B+A)+sin(B-A)=2sin2A,且c=加，C=1,

则AABC的面积是()

A.小B.3小C.小或1D.小或3小

19.答案A解析VAABC中，。=奇，.•・3=卒一4,3一4=号一2A,'.•sin(3+A)+sin(3—A)=2sin24,

sinC+sin（亨一2A）=2sin2A,即sinC+坐cos2A+^sin2A=2sin2A,整理得小sin（2A~~］）=sinC

=2»sin（^2A—=1•又AG（0,引，；.2A—耒=/喏，解得二=1或当A=春时,tanC

=5=*=小，解得a=也，.-“死二聂尔!!”小；当A=W时，8=袭，tanC=5=¥=小，解得〃

=巾，：.S4ABC=：bc=S.综上，A48C的面积是小.

20.托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：

圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形ABC。的四个顶点在同一

个圆的圆周上，AC,BO是其两条对角线，AB=AD,/BAO=120。，AC-6,则四边形4BC£>的面积

为.

20.答案9^3解析在母48。中，设AB=a,由余弦定理得-2AB.AZ）.cosNBAO=3a2,

所以80=小a,由托勒密定理可得a（BC+CQ）=AC•5a,即BC+C£）=，i4C,又NABQ=NACQ=

30°,所以四边形ABCD的面积S^BCACsin30°+|cDACsin30。=：（8（7+（7。）4。=坐4c2=外6

题型三三角形中的最值（范围）问题

21.在△A8C中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且/<〃+/,则角A的取值范围是（）

21.答案C解析因为所以cosA=----荻--->0,所以4为锐角.又因为a>b>c,

所以A为最大角，所以角A的取值范围是住，

22.在AABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是（）

（c兀兀、，兀兀、（

A.（0,1B,A（0c,2；C.舟2；D.（不it引TI

22.答案A解析因为c=A8=l,a=8C=2,b=AC.根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三

边可知\<b<3,根据余弦定理（^。壬尢㈠+廿一/）=尢（4+从-1）=/3+/）=芯+（=

+坐3^.所以0<c/.故选A.

23.在AABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,A^_,sinC+sin(B-A)-=V2sin2A,则角A的取

值范围为()

A,8(ce兀1jB.，(八0,兀4-1J-C,「匕兀,兀4IJD.「岳兀兀3J

23.答案B解析法一：在△ABC中，C=7t—(A+B),所以sin(4+B)+sin(8—A)=45sin24,即2sin8cos4

=2-\/2sirL4cosA,因为A?冬所以cosA/),所以sin5=，^sirL4,由正弦定理得，b=pa,所以A为锐

角，又sin8=q^sirL4£(0,l],所以sirL4£(0,坐],所以AW(O,:.

法二：在AABC中，C=7i—(A+8),所以sin(A+B)+sin(B—A)=^2sin2A,即2sin8cosA=2*\/^sinAcos4,

_^»2___〃2

因为由邑所以cosA，0,所以sinB=q^sinA,由正弦定理，得b=@a,由余弦定理得cosA=-----荻---

*+/2yl2^2-£?2

=乎，当且仅当。=坐6时等号成立，所以AG（O,I

2bc~~2bc-

24.（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+也sin8=2sinC,则cosC的最小值是.

24.答案亚丁匹解析由sinA+啦sinB=2sinC,结合正弦定理得〃+啦/?=2（?.由余弦定理得cosC

pab

2#一6出木一中

4

<cosC<1,故cosC的最小值为乖4立.

25.在钝角"BC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,B为钝角，若acosA=6sinA,则sinA+sinC

的最大值为()

Q7

A.yl2B.QC.1D.d

oo

25.答案B解析VacosA=bsinAf由正弦定理可得，sinAcosA=sin^sinA,VsinA^O,/.cosA=sin

71c

B,又B为钝角，.•.3=A+1,sirbA+sinC=siihA+sin(A+B)=sinA+cos2A=s\nA+1—2sin2A=-

(1、99

2(sin4一sinA+sinC的最大值为

26.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB-bcosA=gc,当tan(A-B)取最大值时，

角B的值为.

26.答案看解析由acosB-/2cos4=：c及正弦定理，得sinAcosB—sinBcosA=TsinC==in(4+8)=]

(sirb4cos8+cos4sinB),整理得sinAcosB=3cosAsinB,即Iarb4=3lan8,易得tarb4>0,tanB>0.所以tan(A

—8)=RtanZA-赢tan标B="2温tanB而「丁」2；声2+\[3当,且„仅.当.言1=3tan\8[3,即,tanB=牛时,tan(A

:~o+3tanB丫

tann

—5）取得最大值，所以5=1.

27.在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,asinA+bs\nB=csinC—yflasinBf则sin2Atan?B

的最大值是.

27.答案3—2^2解析依题意得/+〃一/=一啦〃仇则2〃0cosC=一近〃。，所以cosC=一与，

所以C=等，A=?—B,所以sin2Atan2B=cos2Btan2B=~~?也,Bi+taiF8=f,其中，亡(1,2),

441十tan~8

则有0三？;怨吐8=(2_*7)=_(W303_26,当且仅当1=啦时取等号.故sin24tan2B的

1।tanD<\*z

最大值是3—2啦.

28.在A48C中，若sinC=2cosAcosB,则COS2A+COS2B的最大值为.

28.答案1解析解法1因为sinC=2cosAcos&所以，sin(A+B)=2cos4cos8,化简得tanA+tanB

>°_____cos%COS2JB_________1______1___________ta_A+ian2B+Z

C0S^-hCOS^=：sin2A+cos2A+sin2B+cos2B=tan2A+1+tan2B+1=(tanAtanfi)2+tanM+tan2B+1

______(tan4+tanB)2—2laMan8+2______________6-2lanAlan8_____

因为分母(tanAtanB)2—

(tanAtanB)2+(tanA+tanB)2—2tarb4tanB+1(tanAtanB)2—2tanAtanB+5

22------4--t------,44

2tatL4tanB+5>0,所以令6—2taiL4tanB=/(/>0),贝！］cosA+cosB—2_

t-8t+32z+32_8-2V32-8

咛」(当且仅当r=4、△时取等号).

22

解法2由解法1得lanA+tan8=2,令tanA=l+f,tanB=l—f,则cosA+cosB=t^.।+t，uq2g।