2021届高三数学（文理通用）一轮复习题型训练：利用导数研究函数的极值（四）

《利用导数研究函数的极值》(四)

考查内容：主要涉及函数(导函数)图像与极值的关系

选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知函数y=/(x),其导函数y=/'(x)的图象如图所示，则y=/(x)()

A.在(一8,0)上为减函数B.在1=0处取极小值

C.在(1,2)上为减函数D.在1=2处取极大值

2.若x=-1为函数“X)/的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数“力的是

3.如图为定义在R上的函数/(%)=加+加+cx+d(aw0)的图象，则关于它的

导函数y=/'(九)的说法错误的是()

A./'(x)存在对称轴B./'("的单调递减区间为卜％；］

C./'(%)在(1,+8)上单调递增D.7'("存在极大值

4.函数/(光)的定义域为(。力)，其导函数/'(%)在(。力)的图象如图所示，则函数

〃九)在(。力)内的极小值点个数为()

A.4B.3C.2D.1

5.已知函数/（X）=加+反2+夕，其导函数y=/'（%）的图象经过点（1,0）、

（2,0）,如图所示，则下列命题正确的是（）

3

A.当x=5时函数取得极小值B./（另有两个极大值点

C./（1）<0D.abc<Q

6.已知函数/'（X）的导函数/（X）的图象如图所示，则关于/'（X）的结论正确的是

（）

A.在区间（-2,2）上为减函数B.在X=-2处取得极小值

C.在区间（-8,-2）,（2,+8）上为增函数D.在x=0处取得极大值

7.已知函数八力的定义域为R,其导函数为/''（X）,/'（%）的部分图象如图所示,

则（）

A./（%）在（3,+8）上单调递增B.7（x）的最大值为/（1）

C.外力的一个极大值为了（T）D.〃尤）的一个减区间为（1,3）

8.如图是函数y=/（x）的导函数丁=尸（尤）的图象，则下列说法正确的是（）

A.%=。是函数丁=/（兀）的极小值点

B.当％=-。或x=b时，函数“X）的值为0

C.函数y=/(x)关于点(O,c)对称

D.函数y=/(%)在(4+8)上是增函数

9.设三次函数7。)的导函数为了'(%),函数y=x-7'(x)的图象的一部分如图所示,

则正确的是()

A./(X)的极大值为了(百)，极小值为/(-百)

B./(>)的极大值为/(-6),极小值为了(百)

C.Ax)的极大值为/(3),极小值为了(—3)

D./(X)的极大值为/(—3),极小值为/(3)

10.函数f(x)的定义域为R,导函数F(x)的图象如图所示，则函数f(x)().

A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点

C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点

11.如果函数y=/(x)的导函数的图像如图所示，下列判断正确的是()

A.函数y=/(x)在区间(3,5)内单调递增

B.函数y=/(x)在区间(-2,2)内单调递增

C.当天=时，函数y=/(x)有极大值

D.当k2时，函数y=/(力有极小值

12.如图，可导函数y=/(x)在点。(%,/(九0))处的切线为/:y=g(x),设

/2(x)=/(%)-g(x),则下列说法正确的是

A.、(而)=0,%=%是人(%)的极大值点

B.=0,x=%是妆x)的极小值点

C.〃'(%)。0,%=X0不是/i(x)的极值点

D.〃(1)/0,%=不是M尤)的极值点

填空题

13.已知函数/(尤)=办3+旅2+“，其导函数y=f，(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图

所示，则下列说法中不正确的序号是.

\I

\/

~o~•

3

①当x=万时函数取得极小值；颔尤)有两个极值点；

③当尤=2时函数取得极小值；④当x=l时函数取得极大值.

14.如图是函数y=/(x)的导函数y=/'(x)的图像，给出下列命题：

①-2是函数y=/(x)的极值点；

②函数y=/(x)在x=1处取最小值；

③函数y=/(%)在尤=0处切线的斜率小于零；

④函数y=/(x)在区间(-2,2)上单调递增.

则正确命题的序号是.

15.如图是y=/(x)的导函数的图象，现有四种说法.

（1）/（可在（—2,1）上是增函数，⑵尤=—1是的极小值点

（3）“可在（—1,2）上是增函数，⑷x=2是“X）的极小值点

以上说法正确的序号是

16.己知函数y=/（%）的导函数有且仅有两个零点，其图像如图所示,则函数y=f（x）

在％=处取得极值.

三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知函数/（X）=加+加+cx在点/处取得极大值5,其导函数y=/'（x）的

图象经过点（1,0）,（2,0）,如图.

（1）求/的值；（2）求a,c的值.

18.已知函数其导函数y=/'（x）的图象如图所示，过点

“卜口。，0）

（1）求函数/（尤）的单调递减区间和极大值点;

(2)求实数a,6的值;

(3)若/(尤)恰有两个零点，请直接写出c的值.

19.函数/(x)=gx3+G?+Z?x+c(a,b,c^R)的导函数的图象如图所示:

(1)求。力的值并写出了(X)的单调区间；

(2)若函数y=/(x)有三个零点，求c的取值范围.

20.已知函数/(x)=x-2-alnx,aeR.

(1)求函数/(%)的极值；

(2)当a=—2时，若直线/：,=近-2与曲线y=/(x)没有公共点，求左的取值

范围.

《利用导数研究函数的极值》(四)解析

1.【解析】由导函数图象知，y=/(x)在(一8,0)和(2,4)上单增，在(0,2),(4,+s)

上单减，在在x=0处取极大值，在％=2处取极小值.故选：C.

2.【解析】由于r(x)+/(x))e、g(x)=/'(x)+/(x)，

则x=—1为函数的一个极值点等价条件为：g(—1)=0,

且g(x)在x=—1的左右两侧取值异号.

对于选项A,/'(—1)=0,/(-l)=o,g(-l)=0,

且g(x)在x=-1的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数/(%)的图象.

对于选项B,/(—1)=0,/(—1)=0,g(—l)=0,且g(x)在1=—1的左右两侧

取值可能异号，图象可能为函数/(尤)的图象.

对于选项C,y'(—1)>0,/(-1)<0,g(—1)=0,在x=—1的左右两侧可取异

号，故可能符合条件.

对于选项D,7'(—1)〉0,/(-1)>0,因此g(—1)/0,不满足条件.故选：D.

3.【解析】由题可知，y=/'(x)为二次函数，可知函数y=/(x)的极大值点为

-2,极小值点为1,可得。>0,且两根分别是-2和1.所以/'(%)存在极小值，对

称轴x=单调递减区间为，8,-；1,单调递增区间为，g,+8；A,B,C正

确.故选：D.

4.【解析】从/'(X)的图象可知〃尤)在(。力)内从左到右的单调性依次为增“减一增

“减，根据极值点的定义可知在(。力)内只有一个极小值点，极小值点为

故选：D.

5.【解析】由导函数的图象可得：xe(-oo,l)时，/(尤)是增函数；xe(l,2)时，

〃九)是减函数；1«2,转)时，“力是增函数；所以A,B均不正确；

由于/(1)>/(0)=。，所以C不正确;

因为/'(x)=3av2+2bx+c,结合图象可知。〉0,。>0,-]-〉0,所以。历<0；

故选：D.

6.【解析】由图象得：/(X)在(一8,—2)递减,在(-2,2)递增，在(2,+8)递减,

故了(尤)在1=—2取极小值，在尤=2取极大值，故选：B.

7.【解析】由/''(x)的部分图象并不能确定了(九)在(3,转)上单调递增，故A错误；

同理，〃力的最大值也不一定为了⑴，故8错误；

由图可知/(—1)为/(x)的一个极小值，故C错误；

当xe(l,3)时，/'(X)<0,所以/(%)在(1,3)上单调递减，故。正确.故选：D.

8.【解析】由函数应x)的导函数图象可知，

当xe(-oo,-a),(-a,b)时/(x)<0,原函数为减函数；

当xe(6,+s)时/(x)>0,原函数为增函数.

故％不是函数y=/(x)的极值点，故A错误；

当》=-“或x=b时，导函数/'(尤)的值为0,函数〃尤)的值未知，故B错误；

由图可知，导函数/'(%)关于点(0,c)对称，但函数y=/(x)在(fo,6)递减，在(b,+oo)

递增,显然不关于点(0,c)对称，故C错误；

函数y=/(%)在e,+°°)上是增函数，故。正确；故答案为：D.

9.【解析】由图象可知：

当％=—3和x=3时,x-fXx)=O,则八一3)=f(3)=0；

当％<—3时，x-f'(x)>0,则尸(x)<0；

当—3<%<0时,x-f'(x)<0,则/'(x)>。；

当0<x<3时，x-f'(x)>0,则小)>0；

当x>3时，x-f'(x)<0,则尸(x)<0.

所以“x)在(一8,-3)上单调递减；在(—3,0),(0,3)上单调递增；在(3,+8)上单调递

减.所以/W的极小值为/(-3),极大值为了⑶.故选C.

10.【解析】所给图象是导函数图象，只需要找出与x轴交点，才能找出原函数的单调

区间，从而找出极值点；由本题图中可见与了有四个交点，其中两个极大值，两极小

值.故选c.

11.【解析】根据图像知：导函数在(3,5)上有正有负，故函数先减后增，A错误；

导函数在(-2,2)上恒为正，故函数单调递增，B正确；

导函数在(-1,0)上恒为正，函数单调递增，故》=不是极值点，C错误；

导函数在(0,2)上为正，函数单调递增；导函数在(2,4)为负，函数单调递减，故

%=2是极大值点，D错误.故选：B.

12•【解析】•.•可导函数y=f(x)在点P(xo,f(xo))处切线为1：y=g(x),

.*.F(x)=f(x)-g(x)在xo处先减后增,JF'(xo)=0,

x=xo是F(x)的极小值点.故选：B.

13•【解析】有图可知1为极大值点，2是极小值点，故②③④正确，①错

14.【解析】根据导函数y=/'(%)的图象可得，

当xe(v,-2)上，在上，/'(%)>0,

故函数在1«一»,-2)上函数〃尤)单调递减，

在xe(—2,1)。(1,+8),函数/(%)单调递增，

所以—2是函数y=/(x)的极小值点，所以①正确；

其中％=1两函数的单调性不变，则在x=l处不是函数y=/(x)的最小值，所以②不

正确；

由V=7'(%)图象可得/f(0)>0,所以函数y=/(%)在％=0处的切线的斜率大于

零，所以③不正确；

由V=/'(%)图象可得,当％«-2,2)时，f'(x)>0,所以函数y=/(x)在

%e(-2,2)上单调递增，所以④是正确的，综上可知，①④是正确的.

15.【解析】由函数的图象可知：/'(一2)<0,/'(—1)=。，

〃九)在(—2,1)上不是增函数，⑴不正确；

x=—1时/'(—1)=。，函数在(—3,—1)递减，

在(—1,2)递增，％=—1是〃龙)的极小值点；所以⑵正确;

〃力在(―1,2)上尸(x)>0,函数是增函数，所以(3)正确；

函数在(—1,2)递增，在(2,4)递减，*=2是"％)的极大值点，所以。不正确.

故答案为：(2)(3)

16.【解析】由图象，得当尤<—1时，/'(力<0,当％>—1且x/2时，

/，(%)>0,/,(2)=0,即函数/(%)在(f1)上单调递减，在(—1,+8)上单调

递增，即函数〃尤)在x=-1处取得极小值.

17.【解析】⑴由图象可知，在(―8,1)上/'(x)>0,在(1,2)上/'(x)<0,在

(2,内)上尸(x)>0,

故〃尤)在(73,1)，(2,+8)上单调递增,在(L2)上单调递减.

因此，/(%)在X=1处取得最大值，所以无0=1.

(2)•.•尸(力=3依2+2区+0,.•.由/'(1)=0,/'(2)=0,/⑴=5得

3。+2b+c=0a=2

12〃+46+c=0=><b=-9.

〃+Z?+c=5c=12

18.【解析】(1)由导函数y=/'(x)的图象可得：

x<g时，/,(%)>0,此时函数八%)单调递增；

J<X<1时，/。)<0,此时函数〃力单调递减;

%>1时，/'(£)>0,此时函数/(%)单调递增

二函数/(x)的单调递减区间为1，极大值点为

r3

1

本题正确结果:x--

143

(2)(x)=3ax2+2bx+1

=03am+2Z?•—+1=0/o=l

由题意知：〈,即(3)3,解得：<0

广⑴=0^-l2+2Z7-l+l=01~~

(3)由(2)可得：/(x)=x3-2x2+x+c

由(1)可得：x=—为极大值点，X=1为极小值点

3

/(力恰有两个零点，

19.【解析】(1)因为/(x)=:尤3+以2+法+。，所以了(X)=X2+2OV+6.

叫解得b=—2,

因为了(x)=。的两个根为一1，2,

1X2b.

由导函数的图象可知，当一l<x<2时，/(无)<0,函数单调递减，

当x<-l或尤>2时，/(x)>0,函数单调递增，

故函数兀0在(一(»,—1)和(2,+功上单调递增，在(一1,2)上单调递减.

(2)由(1)得式尤)=1x3—；尤2-2x+c,

函数兀v)在(-00,—1),(2,+(»)上是增函数，在(一1,2)上是减函数，

所以函数段)的极大值为八—l)=1+c,极小值为五2)=c—?

(1,

T+C>0.

而函数人劝恰有三个零点，故必有《解得一

in6a

所以使函数五X)恰有三个零点的实数C的取值范围是|g.宁)

20.【解析】⑴/(x)=x—2—alnx定义域为(0,+。)，/(%)=1--=^^

XJC

①当"V。时，f'(x)>0,〃尤)为(0,+。)上的增函数，所以函数“力无极值.

②当a>0时，令/'("=0,解得x=m

当xe(0,a),/f(A：)<0,/(x)在(0,a)上单调递减；

当％e(a,+oo),