高考数学一轮复习 高考达标检测 正、余弦定理的3个基础点-边角、形状和面积 文试题

高考达标检测（十九）正、余弦定理的3个基础点一边角、形状

和面积

一、选择题

1.在以中，角4B,。的对边分别为a,b,c,已知a=l,b=04=30°,若

8为锐角，则力：8：C=｛）

A.1：1：3B.1：2：3

C.1：3：2D.1：4：1

解析：选B因为a=l,b=yfi94=30°,夕为锐角，

所以由正弦定理可得sin8=3山=坐，则6=60°,

a2

所以090°,则力：8：C=1：2：3.

2.如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是（）

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.根据增加的长度确定三角形的形状

解析：选A设原来直角三角形的三边长是a,b,c且.=^+乙在原来的三角形三

条边长的基础上都加上相同的长度，设为d,原来的斜边仍然是最长的边，故cos4=

a+d；=2bd+2cd+d—2ad

叶”4一—>o所以新三角形中最大的角是一

2。+dc+d2。+dc+d

个锐角，故选A.

3.（2018•太原模拟）在△/优中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若〃+1—才

=/儿，且6=/a,则下列关系一定不成立的是（）

A.a=cB.b=c

C.2a=cD.a+l/=c

解析：选B由余弦定理，得cos』+「=卑£=半,则4=30°.

2tbeLbc2

又b=y[ia,由正弦定理得sin8=，5sin4=^sin30°

所以460°或120°.

当6=60°时，△/1%为直角三角形，且2a=c,可知C、D成立;

当6=120°时，0=30°,所以4=C,即4=°,可知A成立，故选B.

4.在直角梯形力腼中，AB//CD,ZABC=90a,AB=2BC=2CD,则cos/。4c=()

V10

A.

10

C亚

L-5。警

解析：选B如图所示，设.CD=a,则易知力。=m&AD=\[ia,在4

力"中，C^=AI^+AC1-2ADXACXcosZDAC,二，=（*/?+（南3/一

3^10

2X@又乖aXcos/DAC,：.cosZDAC=

10,

5.在△?!回中，内角4B,。的对边分别为&b,c,若△力比的面积为S,且2s=Q

+ti）2—c,则tan。等于（）

34

A-4B-3

43

r-D.

34

解析：选C因为2s=（a+6）“一/=才+斤一1+2瑟,

则由面积公式与余弦定理，得劭sinC=2abcosC+2ab,

即sin0—2cosC=2,所以(sinC—2cosC)'=4,

sin’61-4sinCeosC+4cos'C

BP'=4

sir?C+cos2c

,.tan2f—4tanC+4

所rr以有7+1—=4,

4

解得tanC=一可或tanC=0（舍去）.

6.在△4%中，角A,氏C所对的边分别为a,b,c,且满足lj-Vc-a=bc,~AB•~BC>0,

a=晋，则8+c的取值范围是（）

A.(l,|B.惇胃

1§工3-

D.

c.2922f2

解析：选B在△力比中，lf+c-a=bcf

6+cbe1

由余弦定理可得cos

"=-2bc-=痂=5,

♦・•力是△力叱的内角,・・"=60°.

，.一也

,a—2

ab

.,•由正弦定理得•=1,

sinAsinBsinCsin120°—B

3

/.b+c=sin5+sin(120°-5)=]sina+^~cosB

=/sin(6+30°).

AB•BC=\AB-BC-cos(n-^)>0,

..COS8<0,6为钝角,

.*.90°〈以120°,120°<5+30°<150°,

故sin(夕+30°)

.•"+c=4sin(6+30。)e

二、填空题

7.在△力比'中，角4B,。的对边分别为a,b,a且2ccos5=2a+6,若△/回的面

积S=、/c,则"的最小值为

解析：将2ccos8=2a+力中的边化为角可得

2sin6bos5=2sinZ+sin5=2sinCeos4+2sin&osC+sinB.

则2sin氏osf+sinB=0,

因为sin肝0,所以cos，=—；，则C=120°,

所以S=5加in120°=c,贝U

由余弦定理可得$力）=3+//—2aAosC^Bab,则日心⑵

当且仅当a=b=24时取等号，所以ab的最小值为12.

答案：12

8.(2017•浙江高考)己知AB=AC=4,及M2.点〃为4?延长线上一点，BD=2,

连接徼则△胸的面积是,cosNBDC=.

解析：在比中，AB=AC^4,BC=2,

由余弦定理得cos/械/

42+22-421

―2X4X2=7

贝I]sin/4a'=sinN®=毛一，

所以&眦=；/，〃•陷inNO»=；X2X2x¥=芈.

因为BD=BC=2,所以/物=^/4比；

IcosZABC+iJTo

则cos/ca?=\-----厂—=+一.

,运迎

口界.24

9.已知a,b,c分别为三个内角4B,。的对边，a=2,且(2+6)(sin力一sin

面=(c一⑸sinC,则面积的最大值为一

解析：因为a=2,且(2+b)(sinJ-sinS)—(c—A)sinC,

所以(a+6)(sinJ—sinB)—(c—6)sinC.

由正弦定理得^+c2—6c=4,

又因为炉+122儿，所以AW4,当且仅当2>=c=2时取等号，此时三角形为等边三角

形，

所以5=-^Acsin60°gx4又坐=小，

故△/比"的面积的最大值为

答案：小

三、解答题

10.(2017•天津高考)在△/比1中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin/

=48sinB,ac—y^(a—l)­c).

(1)求cosA的值;

⑵求sin(26一4的值.

ab

解：⑴由asinQ46sinb,及仁=而下,得a=2b

由四=季(才一万一冷及余弦定理,

乖

5+1—4—5乖

得cosA—

2beac5,

^sinAyj5

⑵由⑴,可得sin代入asinJ=4Z?sinB,得sinB=

04b5-

,-----2\[5

由⑴知，力为钝角,所以cos1—sinB=~~.

43

于是sin2为=2sin及os79=r,cos26=1-2sin%=^,

55

故sin（26一4）=sin2&osA-cos28sinA

□\5/o□o

11.在中，角4B,。的对边分别为ab,c.已知asinB=#bcosA.

(D求角力的大小；

(2)若a=S，6=2,求△力比的面积.

解：(1)因为asin8=y/ibcosA,由正弦定理得sinJsinB=y[3sinSeosA.

又sin/0,从而tan4=木.

JI

由于0〈水n,所以[=下".

(2)法一：由余弦定理，=//+/—2‘ccos及己=巾，b=2,A=—f

o

得7=4+<?-2c,EPc-2c-3=0.

因为c>0,所以c=3.

故的面积S=/csin1=邛^.

法二：由正弦定理,得'=心从而sin片年

sin3

2、万

又由於b,知A>Bt所以cosB=~~.

JTJIn__3®

故sinC=sin{A+B)=sinlZ?+-l=sinBcos-+cos咫in=

3T14.

所以△力仇?的面积S=^a6sin

12.在中，内角4B,。所对的边分别为a,b,c,sinB,(acos6+AcosA)

=*\/3ccosB.

⑴求8；

(2)若b=2镉，的面积为24，求△力成的周长.

解：(1)由正弦定理得，

sin夙sinJcos例-sinBcos1)=，5sin6cosB,

sin咫in(4+0=/sinCeosB,

/.sin%inC=，5sinCeosB.

VsinCWO,...sinB=y[^cosB,即tanA木.

V（0,兀），:・B=三.

（2）•.•&M=/csin6=乎数=2镉，/.ac=8.

根据余弦定理得，l/=a~+c—2accosB,

12=a+c~—81即a+c=20,

a+c=y]~a+c_5=yja+2ac+c=6,

・・・△/!勿的周长为6+2馅.

惟力自选题I

1.在平面五边形力比加中，己知/心=120。，N8=90°,NC=120°,N"=90°,

48=3,A£=3,当五边形4砥应的面积Se[#,驾3）时，则宽的取值范围为

解析：因为力43,/£=3,且N/l=120°,

由余弦定理可得班'="初+而一246•熊•cos4=3#,S.NABE=NAEB=30°.

又ZB=90°,N«=90°,所以NDEB=NEBC=60°.

又/C=120°,所以四边形应场是等腰梯形.

易得三角形/跖的面积为呼

所以四边形BCDE的面积的取值范围是卜印,

在等腰梯形式场中，令BC=x,则QH3#—x,且梯形的高为华,

故梯形比如的面积就•(3m+3m—x)•率,

即15W(64—x)x〈24,

解得小Wx<2#或4#<xW5#.

答案：[小，2m)11(4/，5m]

2.如图，有一直径为8m的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有

辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光

源照射范围是/呼弋，点右/在直径"上，且N小弋.

(1)若但迎，求46的长；

(2)设/4四=。，求该空地种植果树的最大面积.

解：(1)由已知得为直角三角形，

,JI

因为"Q8,/做=飞,

所以N胡C=T",AC=4.

o

在△?(庞中，由余弦定理得，Ce^Ae+Ae-2AC'AEcosA,且底=标,

所以13=16+4?—44£,

解得AE=1或AE=3.

,jiJI

(2)因为Z