2023-2024学年辽宁省沈阳市高二年级下册期中考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年辽宁省沈阳市高二下学期期中考试数学

模拟试题

一、单选题

1.等差数列｛q｝的前〃项和为若%=1,%=3,S4=()

A.12B.10C.8D.6

【正确答案】C

【分析】利用等差数列定义，先求出d=%-4=2,再求出4，’,最后得到S’.

［详解】设等差数列的公差为d,则d=%-4=2,

.∙.q=%—d=—La4=t⅞+d=5..="∣+&+/+/=8,

故选：C.

2.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是g,且是相互独立的，则灯亮的概率为

13

BD.

-17416

【正确答案】D

【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开,

这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的,

所以灯泡不亮的概率为g3

X-X-X-÷-×-X-X-+-×-×-X—

2222222222216

313

所以灯泡亮的概率为I-Ir雨’故选D∙

3.现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程.已知第i

(Z=1,2,...,16)匹马的日行路程是第i+1匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315

里，则这17匹马的日行路程之和约为(取1.05"=2.292)()

A.7750里B.7752里

C.7754里D.7756里

【正确答案】B

【分析】由等比数列的前〃项和公式计算.

【详解】t⅛=30°,依题意可得，第17匹马、第16匹马......第1匹马的日行路程里数依次成

等比数列，且首项为300,公比为1.05,

故这17匹马的日行路程之和为

300×(l-l.05l7)

=60∞×(1.05'7-1)=6000×(2.292-1)=7752(里)•

1-1.05

故选：B.

4.口袋中有相同的黑色小球"个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球.。表示当〃=3

时取出黑球的数目，〃表示当〃=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是()

A.E(。)<£(〃)，D(。)<£>⑺B.E(。)>£(〃)，D(j)<D(〃)

C.E(E)<E(〃)，D(力>D(〃)D.E(<)>£(〃)，D(<f)>D(〃)

【正确答案】A

【分析】当〃=3时，g的可能取值为1,2,3,分别求出相应的概率，由此能求出E(⅞)=2,D(⅞)=∣;

当“=4时，〃可取1,2,3,4,分别求出相应的概率，由此能求出E(〃)=与，D(T7)=即可

得解.

【详解】当〃=3时，<的可能取值为1,2,3,

P(O=I)=警=，%=2)=竽=∣,p("3)=警4

CZ6,V6ɔyD

131112

ʌE(ξ)=→2×→3×-=2,D(ξ)=→~=-

当〃=4时，〃可取1,2,3,4,

P(E)=等4，W=2)=等4

PS=4)=∙^^∙总，

P(E=等卷,

L/,4C18C124116

£(77)=----∏2×----∏3×----∏4×—=——

v7353535357

24

49

C.E{ξ)<E{η),D®<D⑺.

故选:A.

本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.

*)的图象在点(，刖处的切线的斜率为%,则数列]

5.已知函数/(X)=依+l∏x(k∈N，的

a,fln.∖,

前〃项和S”为()

1C3/?2+Sn,C3n2+5〃

A，U?B-2(〃+1)(〃+2)c∙4(〃+1)D-8(〃+1)(〃+2)

【正确答案】C

【分析】先根据导数的几何意义求出凡，再利用裂项相消法即可得解.

【详解】r(x)="+g,则/=IG)=2”,

所以α√l"+∣2〃(2〃+2)w+l)'

所以S“=£+—+n

4(n+l)-

故选：C.

6.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋

手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获

胜.己知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为!，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为9，若

业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为()

A.24B.25C.26D.27

【正确答案】A

【分析】由二项分布及其期望计算即可.

【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X,选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人

数为匕

设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为〃，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-〃.

X所有可能的取值为0,1,2,…，〃，则f(X)=p

y所有可能的取值为0,1,2,…，32-〃，则E(y)=%∕,

所以获胜的业余棋手总人数的期望E(X+y)=E(X)+E(y)=g+%皆=*^≥10,解得“≥24.

故选：A.

7.已知函数f(x)与g(x)定义域都为R,满足/(x)=(x+l)j(x),且有g'(x)+xg'(x)-xg(x)<O,

g⑴=2e,则不等式f(x)<4的解集为()

A.(1,4)B,(0,2)C.(r°,2)D.(l,+∞)

【正确答案】D

【分析】利用导数结合题意可知If(X)<0,/(x)在(Y«,y)上单调递减，又/(x)<4=/⑴,结合

单调性定义可得不等式的解集.

【详解】由〃x)=(x+；)，(x)可得

g(x)e*+(x+l)g"∙)e'-(x+l)g(x)e~r_xg'(x)+g'(x)τg(x)

一-

而g'(x)+xg'(x)-xg(x)<O,/'(x)<0,/(x)在(fo,+∞)上单调递减，

又g(l)=2e,则/(ι)=≥^l=竺=4,

ee

所以f(χ)<4=y>⑴,则x>ι,

故不等式/(x)<4的解集为(1,e).

故选：D.

8.若函数"》)=1毁,(狈73)(。>0且。*1)在区间(0,1)内单调递增，则α的取值范围是()

A.[3,-κo)B.(1,3]C.(0,；)D.ɪ,ŋ

【正确答案】A

【分析】令〃=g(x)=0x-d,利用导数求出函数g(x)的单调区间，再分α>l和O<α<l两种情况讨

论，结合复合函数的单调性即可得解.

【详解】令"=g(x)=0r-x3,则g，(X)=a-3∙√,

当x>∕或x<-需时，g<x)<O,当H<x<占时，√(x)>θ,

所以g(x)在(「,+8和-8,-4]上递减，在上递增，

当。>1时，y=log,〃为增函数，且函数f(χ)在区间(0,1)内单调递增,

a>1

所以≤O,解得cι≥3f

此时g（X）在（0,1）上递增，则g（x）>g⑼=O恒成立,

当O<“<ι时，y=log“〃为减函数，且函数/（χ）在区间（0,1）内单调递增,

但<0

所以V3一，无解，

0<67<1

综上所述，。的取值范围是［3,小）.

故选：A.

二、多选题

9.以下说法正确的是（）

A.89,90,91,92,93,94,95,96,97的第75百分位数为95

B.具有相关关系的两个变量X,>的一组观测数据（XryJ,（巧，坊），，（/，%），由此得到的

线性回归方程为g%+4,回归直线y=⅛r+<5至少经过点（多，珀，（孙几），，（％%）中的

—■个点

C.相关系数r的绝对值越接近于1,两个随机变量的线性相关性越强

D.已知随机事件A,B满足P（A）>0,P（B）>0,且P（BlA）=尸（3）,则事件A与8不互斥

【正确答案】ACD

【分析】对于A选项：结合百分位数的定义即可求解；

对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；

对于C选项：根据相关系数的性质即可判断；

对于D选项：根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解.

【详解】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，则i=9x75%=6.75不是整数，则第75百分位

数为从小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95,所以A选项正确；

对于B选项：线性回归方程Rgχ+G不一定经过点（知乂），（巧，/），，（七，然）中的任何一个

点，但一定经过样本的中心点即（元月，所以B选项错误；

对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1,

所以C选项正确；

对于D选项：因为P(3∣A)=P(B),则P(AB)=P(BlA)P(A)=P(B)P(A),

则事件A与B相互独立，所以事件A与8不互斥，所以D选项正确；

故选：ACD.

10.设等比数列｛4｝的公比为q,其前〃项和为S,,,前〃项积为T.，并满足条件q>l,¾l9∙¾20>l,

女吟<0,下列结论正确的是()

〃2020-]

A.52019<S2020

B.。2019,。2021-1<°

C.TiOM是数列｛(｝中的最大值

D.若骞>1,则〃最大为4038.

【正确答案】ABD

【分析】先根据题意可确定0<4<l,根据¾)2°>0可判断A；根据等比数列的性质结合见回<1可判

断B；根据数列｛%｝是递减数列，且。刈9>1,<1判断C；再根据7；的公式，结合〃刈9>1,a2020<1

判断D即可.

【详解】对A,∙.∙q>l,¾l9⅛20>I,M三<0,且数列｛4｝为等比数列，

“20201

••。2019>19。2020<1，∙∙()<4<1,

因为。2020〉。，,•$2019<$2020，故A正确；

对B,.「201942021=。2020~<1，，∙。2019。2021一1<°，故B正确；

对C,因为等比数列｛αj的公比。<夕<1,6>1,所以数列｛q｝是递减数列，

因为。2019>1'a2β20<ɪ>所以4019是数列｛北｝中的最大项，故C错误；

〃(“一1)(nTV,

l2,,ln22a<

对D,Tfl=al∙alq∙alq..,alq~=ai∙q=axq>1,因为4o∣9>l,2(noɪ»故4<7刈">1,

209

01^'<l,故等<2019,即“<4039,故〃最大为4038,故D正确.

故选：ABD.

ɪɪ.已知函数/(x)=Y-2x+l,则下列结论错误的是().

A.〃x)有两个极值点B./(x)有一个零点

C.点(0,1)是曲线y=∕(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y="x)的切线

【正确答案】BD

【分析】对于A选项，对/(x)求导后判断函数单调性，即可判断极值点个数：对于B选项，结合A

选项求解的函数单调性和极值点的值，根据零点存在定理可判断零点个数：对于C选项利用函数平

移，构造g(x)=x3-2x,判断g(x)的奇偶性，进一步得到对称中心；对于D选项，根据条件直接

求出切点坐标即可判断结果；

【详解】对于A选项，由/(X)=X3-2X+1,定义域为R,可得/'(X)=3X2-2,

令f'(x)=0,可得χ=±*,

因为r(x)=3d-2>0,得χ>|或…乎,/(X)=3X2-2<0,得一旦<χ<也,

所以，/.(X)在(当净单调递减，/(x)在(一8,-半)，(当,+∞)单调递增，

所以，X=-半是F(X)有极大值点，X=半是/(X)有极小值点，故A选项正确；

对于B选项，由A可知/(x)极大值为=生结2>。，

(ΓT∖QA[7

/(X)极小值/+/(-2)=-8+4+l<0,/(2)=8-4+l>0

所以，根据/(x)的单调性和零点存在定理可知，“X)在(-8,-半)，(-夸,坐)，(*,+8)各存

在1个零点，即函数/(x)=x3-Zv+l有3个零点，故B错误；

对于C选项，

可设g(x)=d-2x,得g(-x)=r3+2x=-g(x),则g(x)为奇函数，所以g(x)图象关于(0,0)对称,

将g(x)向上平移1个单位可得〃x),故函数关于(0,1)对称，故C选项正确；

对于D选项，由A知r(x)=3d-2,令r(x)=3d-2=2,解得》=±冥1,贝IJd='芋，

3∖`)

J2√3›∣4√3+9

fF=F-，

7

义工由19-46](2√34^+9V^.#CJɔ

由于切点-∑-,—-—,——,---均不满足y=2χ,

(3y7kɔy√

故D选项错误；

故选：BD

12.如图,有一列曲线Ω,,Ω2,........Ω,,...........且Ωι是边长为1的等边三角形，Cr是对C,(i=12)

进行如下操作而得到：将曲线。,的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三

角形，再将中间部分的线段去掉得到记曲线α,("=12)的边数为周长为C.，围成的面

积为S“，则下列说法正确的是()

△OGG…

Ω∣Ω2Ω3Ω4

A.数列｛4｝是首项为3,公比为4的等比数列

4

B.数列｛C｝是首项为3,公比为I的等比数列

C.数列｛S,,｝是首项为手，公比为I■的等比数列

D.当〃无限增大时，S,,趋近于定值与

【正确答案】ABD

［分析】结合图形规律得LN=L,,+3Ln=4L„,即可判断A,根据第"个图形的边长为

G=U即可判断B,根据S,,=S,τ+Lχ*(f-,利用累加法及等比数列的前“项和公式求

出S”.

【详解】L向是在L“的基础上，每条边新增加3条新的边，故Lm=O+3。=4。，又。=3,所以数

列｛4｝是首项为3,公比为4的等比数列,且L.=3x4"τ故A正确，

第"个图形的边长为，故数列｛CJ是首项

4

为3,公比为!■的等比数列，故B正确,

因为Q2是在QI的每条边上再生出一个小正三角形，于是

S,=S]+3x

同理，对Q,,是在QT的每条边上再生出一个小正三角形，

于是Q,的面积等于。,-的面积加上L,-个新增小三角形的面积,

即S“=S,τ+4”架「，

s,f+年小

于是可以利用累加的方法得到

34

S=S+---S

27,149,1

将上面式子累加得

I-≡1<l}=<∣-≡

当"→例时，S.→中**故C错误，D正确,

故选：ABD

三、填空题

13.记S,为数列｛q｝的前项和，若S“=2。”+1,则儿.

【正确答案】-1023

【分析】对”=1和w≥2分类讨论，结合q=S,,-S,T，(“≥2),计算得出数列｛S.1｝是等比数歹J,

并写出通项公式，得到S,,=J2",即可得出品).

【详解】当W=I时，5∣=2q+l,%=-l

当“≥2时-SQ+1

所以数列｛s,,-1｝是首项为-2,公比为2的等比数列

则S,,-l=-2"

∖S„=1-2n

即SK)=I-2'°=-1023

故几=-1023

形如4H=m,,+4S?1)，常用构造等比数列：

对α,+∣=%“+d变形得4“i+x=b(a“+x)(其中X=Sɪ),贝∣J{%+x}是公比为匕的等比数列，利用它

可求出.

14.随机变量4的分布列如下表所示，则方差Z)(G的取值范围是.

7Q

【正确答案】后ν

【分析】结合概率之和为1求出。与人之间的关系，进而用人表示出期望公式和方差公式，最后结合

二次函数性质即可求解.

1222

【详解】由题意可知，a+b^∖--^-,则0≤”≤;,0≤⅛≤4,

3333

12

故随机变量4的数学期望EC)=；xO+a+26=a+26=；+6,

从而。⑷=£34一城/评=—。5)2+131,

I6ɪ2

2

因为OC,

2Q

所以由二次函数性质可知，-≤D(⅞)≤^,

故方差O⑶的取值范围是后,就

15.法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y=f(x)满

足如下条件：(1)在闭区间［4句上是连续不断的；(2)在区间(。力)上都有导数.则在区间(。,6)上至

少存在一个数焉使得/(⅛)-∕(a)=f∖ξ×b-d),其中4称为拉格朗日中值.则g(x)=InX在区间［l,e］

上的拉格朗日中值".

【正确答案】e-ɪ

【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得g'(g)=-7,进而求得4的值即可.

【详解】g'(x)=L则g'(4=:由拉格朗日中值的定义可知，函数g(x)=InX在区间［l,e］上的拉格

朗日中值自满足，g(e)-g(l)=g")(eT)

所以g'(3=刍4普==，

所以g'(g)=J='7，则J=e-1

ξe-1

故e-1

16.在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全

不中，则不合格.新兵4参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为

pφ<p<∖),若当P=%时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则Po=.

【正确答案】I-姮/一姮+1

55

【分析】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得/(P)=(I-P)3(2。-/),利

用导数研究函数在(0,1)上的最值，根据最值成立的条件即得%.

【详解】至少射击4次合格通过的概率为/(p)=(I-P)3p+(1-P)&P=(I-p)3(2p-p2),

所以/'(P)=(I-P)2(5/-IOp+2),令f(p)=0,解得P=I一半，

故/(P)在(U-半)上单调递增，在I-半,1上单调递减，

当P=I-巫时/(P)得最大值，故为=I-巫.

故I-姮

5

关键点点睛：用P表示至少射击4次合格通过的概率/(p),并利用导数研究在(0,1)上的最值即可.

四、解答题

17.己知数列｛4｝是首项为2,公差为4的等差数列，等比数列他』满足α=4,2⅛t=%+%.

⑴求也｝的通项公式;

⑵记g=记,求数列｛g｝的前〃项和人

【正确答案】(1)2=2"

、〃

⑵cZT,=6£-2亍+-3

【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式可解;

(2)利用错位相减法求数列前〃项和.

【详解】(1)由题可知q=2+(〃—l)x4=4〃—2.

因为4=al,2b4=a4+a5,

所以〃=2,2%=/+%=32,得A=16.

设等比数歹U包,｝的公比为4,则⅛4=⅛I√=16,

所以4=2,

bn=2X2"T=2",即｛bn｝的通项公式为2=2".

(2)由(1)得C"=^^=^^∙=(2"-I)X击，

则［=lxl+3xg++(2〃一3)，击+(2〃一1"击，

"τx∕+3xj++(2"-3)x击+(2"-l)x?，

两式相减得？,=1+26+*++*)-(2"-l)x?

2

ɔ2〃+3

=3----------

T

痂2n+3

故4=6一3∑r∙

18.设x=-3是函数/(X)=加+加-3x+c'的一个极值点，曲线y=∕(x)在X=I处的切线斜率为8.

⑴求/(x)的单调区间；

(2)若/(x)在闭区间上的最大值为10,求C的值.

【正确答案】(1)单调递增区间是(-∞,-3)和［g,+8),单调递减区间是,3,；)

(2)4

∕,(-3)=°

【分析】(I)求导后，根据求出a,b,再利用导数可求出单调区间:

/'(1)=8

(2)根据(1)中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果.

J­)=。

2

【详解】(I)f∖x')=3ax+2bx-3,由已知得Ir⑴=8

27a-6Z?-3=0

解得Q=Lz?=4.

3Λ÷2⅛-3=8

于是/'(x)=3f+8x-3=(x+3)(3x-l),

由/«x)>0,得x<—3或X>；,由r(x)<0,得-3<x<g,

可知x=-3是函数〃x)的极大值点，“=1力=4符合题意，

所以〃x)的单调递增区间是-3)和(；，+8),单调递减区间是f-ɜ,ɪj.

(2)由(1)知/(x)=∕+4χ2-3x+c,

因为/(x)在区间-ι,g)上是单调递减函数，在(；』上是单调递增函数，

X∕(l)=2+c<∕(-l)=6+c,

所以/(x)的最大值为/(T)=6+c=10,解得c=4.

19.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了IOO

名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：

天数10,5](5,IOJ(10,15](15,20](20,25](25,30J

人数4153331116

(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布其中〃近似为样

本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且b=6.1,若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1

小时''活动超过21天的人数(精确到1)；

(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30］的学生中有30名男生，天数在［0,

15］的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时'’活动超过15天的学生授予“运动达人”

称号.请填写下面列联表：

性别活动天数合计

[0,15](15,30]

男生

女生

合计

并依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论

是有关联，请解释它们之间如何相互影响.

附：参考数据：P(μ-σ≤X<χ∕+σ)≈0.6827；P(μ-2σ<X≤χ∕+2σ)≈0.9545；

P(χ∕-3σ≤X≤χ∕+3σ)=0.9973./=---------，-----------------(n=a+b+c+d∖

',z(α+3)(c+d)(α+c)伍+d)',

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【正确答案】(1)476人

⑵答案见解析

【分析】(1)利用频数分布表，求得样本的平均数，从而写出X近似服从正态分布X-MI4.9,6.1),

利用参考数据求得参加“每天锻炼1小时'’活动超过21天的人数；

(2)根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与获得“运

动达人”称号是否有关联和它们之间如何相互影响.

【详解】(1)由频数分布表知

4×2.5+15×7.5÷33×12.5+31×17.5+11×22.5+6×27.5._.∣即5，八

μ=-----------------------------------------------------------------------------------=114.9,则mXv-Ml4.9,6.1),

I(X)

P(〃一bVX≤"+σ∙)=0.6827,

1_∩∕xC97

.∙.P(X>21)=ΛX>14.9+6.1)=^^-------=0.15865,

2

.∙.3(XX)×0.15865=475.95≈476,

・•・参加”每天锻炼1小时''活动超过21天的人数约为476人.

(2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在［0,15］的人数为：4÷15÷33=52,

参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15］的学生中有20名男生，

参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［0，15］的学生中有女生人数：52-20=32

由频数分布表知，锻炼活动的天数在（15,30］的人数为31+11+6=48,

参加''每天锻炼1小时”活动的天数在（15,30］的学生中有30名男生，

参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15］的学生中有女生人数：48-30=18

列联表如下：

活动天数

性别合计

[0,15](15,30]

男生203050

女生321850

合计5248100

零假设为，。：学生性别与获得“运动达人”称号无关

100×(30×32-20×18)2

Z2≈5.769>3.841

50x50x52x48

依据C=0.05的独立性检验，我们推断，。不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有

关；

而且此推断犯错误的概率不大于0.05,根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天

Ο∩1Q

的频率分别为：为=0.6和芸=0.36,可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达

人''的称号频率的宴a1.67倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达

0.36

人''的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.

20.已知数列｛%｝和也｝满足〃“+仇=2〃-1,数列｛%｝,但｝的前"项和分别记作4，B”,且

A,-BΛI=".

⑴求A,,和B“；

(2)设C“=2"+J-,求数列｛&｝的前”项和S“.

‘十必田山▼,八〃(/7+1)n(n-∖｝

【正确答案】(1)4=二————L

22

(2)S,,=2n--ɪ-

n+1

【分析】(1)确定4+纥=〃2,再根据4-纥=〃解得答案.

(2)计算d="-l,得到g=2"T+1——根据等比数列求和公式和裂项相消法计算得到答案.

nτt÷l

【详解】(1)all+bll=2n-l,所以数列｛%+2｝是首项为1,公差为2的等差数列,

所以其前"项和A,+B,,=^(l+2∕j-l)×n=z?2,又因为A,,-B,=n,

LL…n(n+l]n(n-∖]

所以4=」—L纥=△―L

n21n2f

⑵当〃≥2时，…一3Q-("1)('L2)="T.

nnn—i22

当〃=1时，b]=B]=O也适合通项公式，

故a="1.

所以S"=(l+2+2∖+2,1)+(1.；+捐++ɪ-ɪ)

1—2In+∖)H+1

21.已知函数/(工)=山一^-X2+χ(q>0).

⑴若α=l,求函数f(x)在点(IJ⑴)处的切线方程；

⑵若函数〃X)=∖nx--^-^+x(a>0)在其定义域上有唯一零点，求实数。的值.

【正确答案】(l)2x-2y-l=0

【分析】(1)求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，

(2)将问题等价转化成X2-2a∖nx-2以=0在(0,+8)有唯一实数解.构造函数g(x)=V—2a↑nx-2ax,

和∕z(x)=2ht+x-1,利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.

【详解】(1)当a=l时，/(l)=-→l=p

且尸(X)=T-X+1"⑴=1，

・•・函数/(x)在点(IJ⑴)处的切线方程y-g=x-l,

即2x-2y-l=0.

(2)/'(X)=∖nx-^x1+x[a>0)在其定义域上有唯一零点，

方程Inx-----x2÷X=0,

2a

即Y-2αlnx-20x=0在(。,+8)有唯一实数解.

设屋力=工2—勿InX_2以，则/(X)=生二2ΞΞΞZΞ..

令g'(x)=°,BPX2-ax-a=0.6Z>0,%>0,

.∙.A：?-ax-α=o的两个根分别为

a—∖Jcι~+4∙cιzʌɪXα+J4~+4α

X=----------------<0(舍去)，x=-----------------•

'12722

当X∈(O,Λ⅛)时,g'(x)<O,g(x)在(0,9)上单调递减，

当X∈(Λ⅛,+∞)时，8”)>0,8(力在(0,£)上单调递增,

当X=X2时，g'(%)=O,g(x)取最小值g。)，

要使g(x)在(0,切)有唯一零点，则须上WU即卜:-24l>%-,X2=0,

[g(Λ2)=0,[xl-ax2-a=0,

.∖2alnx2+ax2-a=0,a>09