中考数学复习策略（全国通用）14 相似三角形中的“一线三等角”模型

第14讲相似三角形中的、、一线三等角〃模型

【应对方法与策略】

(1)“三垂直”模型

如图1,NB=NO=NACE=90。，R∣JΔABC^ΛCDE.

(2)“一线三等角”模型

如图2,ZB=ZACE=ZD,K∣J∆ABC^ACDE.

特别地，连接AE,若C为8。的中点，则ZkACEsA1ABCs△COE.

【多题一解】

一、解答题

1.（2022秋・四川内江•九年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）（1）问题

如图1,在四边形ABC。中，点尸为AB上一点，当/OPC=NA=N8=90。时，求证:

AD-BC=AP-BP.

(2)探究

若将90。角改为锐角或钝角（如图2）,其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.

（3）应用

如图3,在一45C中，AB=2√2./8=45。，以点4为直角顶点作等腰心AWE.点。在BC上，点E在

ACl.,点尸在BC上，且NEpD=45。，若CE=yβ,求Cz）的长.

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）CD=5

【分析】（1）由/。尸C=/A=B=90。，可得∕AOP=∕8PC,即可证到△A。PS△^PC,然后运用相似三角

形的性质即可解决问题;

(2)由NoPC=∕A=NB=α,可得/ADP=/BPC,即可证到△ADP"△^PC,然后运用相似三角形的

性质即可解决问题；

(3)先证AABOsAOFE,求出Z)F=%MiiE∆EFC^ΔDEC,可求FC=1,进而解答即可.

【详解】(1)证明：如题图1,

,/NDPC=NA=NB=90°,

：.ZADP+ZAPD=90o,ZBPC+ZAPD=90°,

.∙./ADP=NBPC,

：.缸KDPSδBPC,

ADAP

----=-----,

BPBC

：.ADBC=APBPf

(2)结论仍然成立，理由如下，

ABPD=/DPC+NBPC,

又ZBPD=ΛA+ZADP,

.∙.ZDPC+ZBPC=NA+NADP,

NOPC=ZA,

设NoPC=ZA=α,

.∙.ZBPC=ZADP,

.∖ΛADP^ΛBPC,

.ADAP

,~BP~~BC'

/.ADBC=APBPf

(3)NEFD=45。,

.∙.ZB=ZADE=45°,

ZBΛD=ZEDF,

:.ABD^DFE

.ABAD

*DF^DE,

.VAr>E是等腰直角三角形，

.∙.DE=6AD，

AB=2亚，

/.DF=4,

ZEFD=45o,AADE=45o,

NEFC=NDEC=I35。,

EFCS工DEC,

.FCEC

,EC^C5,

EC->∣5,CD=DF+FC=4+FC,

.∙.£C2=FC∙CD=FC∙(4÷FC)=5,

:.FC=I9

/.CD=5.

【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45。角将问题转化为一线三角是解

题的关键.

2.(2022・四川成都•模拟预测)矩形AOBC中，。8=4,04=3.分别以。8、OA所在直线为X轴、y轴，

建立如图1所示的平面直角坐标系.Z7是BC边上一个动点(不与8、C重合).过点尸的反比例函数y=

k

-(⅛>0)的图象与边AC交于点E.

X

(1)当点尸运动到边BC的中点时，点E的坐标为.

(2)连接E凡求/FEC的正切值;

(3)如图2,将ACEF沿E尸折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度.

【答案】⑴(2,3)

星

【分析】(1)求出点尸的坐标，进而求出反比例函数的表达式，即可求解;

(2)由CF=BC-BF,CE^AC-AE,求出CF、CE,即可求解；

(3)证明AEHGSAG8F,即可求解.

【详解】(1)解：•：0B=4,OA=3,

二点A、B、C的坐标分别为：(0,3)、(4,0)、(4,3),

3

点F运动到边BC的中点时，点F(4,

2

将点F的坐标代入y=-并解得：k=6,

X

故反比例函数的表达式为：y=~,

X

当)=3时，x=^=2,故风2,3),

故答案为：(2,3)；

(2)解：・・・尸点的横坐标为4,点尸在反比例函数上,

*∙F(4,一),

4

：,CF=BC-BF=3--=,

44

・・・E的纵坐标为3,

：.E(ʌ,3),

3

k↑2-k

：.CE=AC-AE=4--=-----

33

CE4

在RΛ∆CE/中，tanZEFC=—二一；

CF3

(3)解：如图，由(2)知，Cb=三「，CE=ɪʌ,

43

CE4

~CF~3t

：.NEGH+NHEG=90。,

由折叠知，EG=CE,FG=CF,NEGF=NC=90。,

・・・NEG"+NBGF=90°,

/./HEG=NBGF,

∙.∙NEHG=NGBF=90。,

：・AEHGS>GBF,

.EHEGCE

^~BG~~FG^~CF

・

・・3=_4一,

BG3

9

：.BG=一.

4

【点睛】本题考查的反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等，综合

性强，难度适中.

3.(2022春•全国•九年级专题练习)如图，在矩形ABCo中，E为A。的中点，EFLEC交AB于F,延长

尸E与直线CD相交于点G,连接FC(AB>AE∖

(1)求证：RAEFSXDCE;

(2)A4EF与AEC/是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

AR

(3)设黑=人,是否存在这样的&值，使得AAE尸与尸C相似？若存在，证明你的结论并求出&的值；若

BC

不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)相似，证明见解析

(3)存在,k=乌

【分析】(1)由题意可得/AEF+/CEC=90。，又由∕AEF+/AFE=90。，可得/OEC=NAFE,据此证得

结论；

(2)根据题意可证得放AAEF丝Rr△DEG(ASA),可得EF=EG,NAFE=NEGC,可得CE垂直平分尸G,

∆CG尸是等腰三角形，据此即可证得△AEF与4ECF相似；

(3)假设AAEF与△BFC相似，存在两种情况：①当/AFE=/BCR可得/EFC=90。，根据题意可知此种

情况不成立；②当NAFE=/8FC,使得AAEF与△8FC相似，设BC=",则A2=faa,可得AF=gk4,

2

BF=-Zai,再由AAEFs∕∖ocE,即可求得左值.

【详解】(1)证明：∙.∙EFLEC,

二/尸EC=90°,

.∙.ZAEF+ZDEC=90o,

,∙,ZAEF+ZAFE=90o,

：.NDEC=NAFE,

又♦:ZEDC=90o,

：.XAEFsXDCE:

(2)ft?：&AEFsXECF.

理由：为AQ的中点，

.∖AE=DE,

•：NAEF=NDEG,NA=NEDG,

，"EmZWEG(ASA),

：.EF=EG,ZAFE=ZEGC.

y.'：EFLCE,

,CE垂直平分FG,

.∙.aCGF是等腰三角形.

NAFE=ZEGC=NEFC.

又：/A=ZTEC=90°,

.∙.AAEFSAECF；

(3)解：存在火=号使得AAEF与△BFC相似.

理由：

假设aAE尸与ABFC相似，存在两种情况：

①当NAFE=NBCF,则有/AfE与/8FC互余，于是/EfC=90。，因此此种情况不成立；

②当NAFE=NBFC,使得△AEF与4BFC相似,

设8C=4,则AB=Zα,

•：AAEFsABCF,

.AF_AE_1

••-------——,

BFBC2

12

：.AF=—ka,BF=—ka,

33

YXAEFsXDCE,

11,

,,—a-ka

.∙."λe=竺aγ，即%=卜，

DCDEkaIC

2

解得，k=辱.

.∙.存在&=坐使得AAEFVABFCM.

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的

判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键.

4.（2022・山东济南•模拟预测）如图，已知四边形ABCD,ZB=ZC=90o,P是BC边上的一点，ZAPD

=90°.

(1)求证：AABPAPCD；

(2)若BC=I0,CD=3,PD=3√5,求AB的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）8.

【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得NB4P=NCPO,再根据相似三角形的判定

即可得证:

（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得.

【详解】(1)ZB=NC=90。,ZAPD=90。,

.∙.ZBAP+ZAPB=ZCPD+ZAPB=90°,

=NCPD,

NBAP=NCPD

在,.AfiP和-PC。中,

NB=NC

:.^ABP~_PCD；

(2),在RfVPcD中，CD=3,PD=3√5,

.∙.PC=∖∣PD1-CD2=6,

BC=W,

:.PB=BC-PC=4,

由(1)己证：AABPAPCD,

ABPB,AB4

—=—,即rπ一=-,

PCCD63

解得A3=8.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是

解题关键.

5.(2022秋•河南开封•九年级统考期末)某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的

有关知识后，在等腰AABC中，其中AB=AC,如图1,进行了如下操作：

第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E,F,如图2；

第二步，分别以点E,P为圆心，大于^∙EF的长为半径画弧，两弧相交于点。，作射线AO；

第三步，以力为圆心，D4的长为半径画弧，交射线AE于点G；

(1)填空；写出/CA。与NGAQ的大小关系为一；

(2)①请判断AC与BC的位置关系，并说明理由.

ΛΓ)

②当A8=AC=6.BC=2时，连接力G,请直接写出倏=一；

(3)如图3,根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线40上的一个动点，连接尸M,PC,当

ZCPM=ZBtft,求4何的长.

【答案】(I)Ne4D=∕G4D;

(2)®AD//BC-,②3

(3)9

【分析】(1)根据题目的尺规作图发现4。平分NCAG即可得到NC4>∕G4O;

(2)①由A。平分NCAG再结合等腰三角形A8C的外角可得AD平行8C；

ΔΓ)AR

②易证.ASCDAG,可得罢=g=3

AGBC

(3)以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线AA于点M由(2)可得NCPM=/B=NN,

即可用一线三等角模型构造相似解题.

(1)

由尺规作图步骤发现AD平分NeAG

：./CAD=/GAD；

(2)

®9：AB=AC

：.ZABC=ZACB

VZCAD=ZGAD,ACAG=NGAD+ZCAD=ZABC÷ZACB

：.Z.GAD=ZCAD=ZABC=ZACB

：.AD//BC

②YDA=DG

：.ZGAD=ZAGD

♦：ZGAD=ZCAD=ZABC=ZACB

：.ZGAD=ZCAD=ZABC=ZACB=ZAGD

:∙ABCDAG

.ADAB

**AG-BC

・.,AB=AC=6,BC=2

.ADAB

••--=-----=ɔ

AGBC

⑶

以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点M如图

N

AΛ∕AB

由(1)(2)可得ZNAM=/CAM=/B=ZACB=ZN,——=—=3

ANBC

设ATV=X贝IjAM=肱V=3x

••点尸为AB的中点

∙.PA=PB=-AB=3

2

・•ZCPM=ZB

・・ZCPM=ZB=ZN

ZBCP=ZMPN=ZNPC-ZB

*.BPC_NMP

.BPBC

MNNP

.32

----ς∙,解得X=3

3xx+3

∖AM=3x=9.

【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图

的步骤判断是作角平分线.

6.（2021秋•新疆乌鲁木齐•九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线产-

9o

交X轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1,连接8C交y轴于点D

图】图2图3

⑴如图1,求点。的坐标;

(2)如图2,点P在第二象限内抛物线上,过点尸作PG_LX轴于G,点E在线段PG上，连接AE,过点E

作EFj_AE交线段QB于尸，若EF=AE,设点尸的横坐标为f,线段PE的长为d,求d与/的函数关系

式;

(3)如图3,在(2)的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH,若/CEF=NAEH,EH-CE=叵AH,

3

求点尸的坐标.

【答案】(D(0,2)

/22,52

(2)d=一一t一一t+-

333

991

(3)(一“五)

【分析】(1)先根据抛物线解析式求出点B、点A的坐标，再利用待定系数法求出直线8C解析式，即可

求得。点坐标；

(2)过E作X轴平行线/,过A、尸作/的垂线段，垂足分别为N、M,证明出NE丝Z∖EMF,得

AN=EM,NE=MF,用人"表示出厂点坐标，将该坐标代入直线BC解析式即可得"与/的函数关系式;

(3)过C作C。，PG于Q,由NCEF=NAEH,知ACEQs&EHG,得：丝=笑=坐，即

HGEHEG

2+1

z+_CE_-l-r

3,求出"G的表达式，可得用1表示的A"的长度，再利用

HG~~EH~2_t_

3

CE二TT

EH-CEJ2[(]可得EH-CE与CE的关系，代入E"-CE=*4"即可得CE关于，的表达

式，由勾股定理得到关于，的方程，解方程即可.

9QɔR

【详解】(1)解：令抛物线y=-jχ2-2χ+］中的y=0,BP0=-jx2-2x+∣,

解得：X=-4或X=1,

当Λ=-1时，产4,即C(-1,4),

即A(-4,0),B(1,0),

设直线BC的解析式为y^kx+b,

k+b=O

则

-k+b=4

⅛=-2

解得:

b=2

即直线BC解析式为y=-2x+2,

当Λ=0时，y=-2,

则点。的坐标为(0,2).

(2)解：过E作X轴平行线/,过A、F作/的垂线段，垂足分别为N、M,如图所示,

由ZAEN+ZFEM=90°,ZAEN+ZE4N=90°知1ZFEM=ZEAN,

"：AE=EF,

：.△ANE会AEMF,

：.AN=EM,NE=MF,

尸点横坐标为f,PE=d,

2Q

：.P(z,yP),NE=t+4=MF,EG=yP-d=AN=EM,其中％=一§/-2/+§,

...F点横坐标为：t+EM=t+yP-d,

尸点纵坐标为：EG-MF=yP-d—(f+4),

将F点坐标代入y--2x+2得：

yP—d—(r+4)=—2(t+yP—d)+2,

化简得：3d=3yp+f-6,

HJ225

即rld=——2

333

(3)解：过C作CQ，尸G于Q,如图所示,

VZCEF=ZAEH9NAEF=90。,

■・・NEFH=9。。,

则NCEQ+NECQ=NCEQ+NHEG=9。。,

：.NECQ=NHEG,

：,〉CEQSAEHG,

・QECE_CQ

φφWG^EH^EG,

由(2)知，EG=yP-d=-→2,

：.QE=A-EG=→2,CQ=-∖-t,

•i+2-ce~1~z

♦•而=而=1+2,

3

.〃「『-36CE3(r+l)

^9(Z+1)>

CE_-IT_3(f+l)*_3

IOr2+45r

二EH-CE(tyz*∖-2r-9,A"=AG+G4=f+4+;^—

[2-了(T1T)9(f+90+1)

即肃CE=EH-CE,

∖'EH-CE=-AH,

3

-2r-9√2IOr2+45/

,,3(^i)=TX9(r+l),

即：CE=-φ

VC(-1,4),E(t,2--t),

3

.∙.由勾股定理得：(f+l)2+(2-→-4)2=「士亚√)2,

39

解得：，=一9(舍)或f=-9J，

24

991

P(—，—).

424

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、全等三角形判定及性质、相似三角形的

判定与性质、勾股定理及一元二次方程的解法等知识点.作出辅助线构造出全等三角形及相似三角形是解

题关键.

7.(2021•山东滨州•统考中考真题)如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原

点O重合，在其绕原点。旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y=gf相交于点斗、8(点A在

点8的左侧).

4

(1)如图1,若点A、8的横坐标分别为-3、p求线段AB中点P的坐标；

(2)如图2,若点8的横坐标为4,求线段AB中点P的坐标：

(3)如图3,若线段AB中点P的坐标为(x,y),求y关于X的函数解析式；

(4)若线段AB中点P的纵坐标为6,求线段AB的长.

50717

-)；(2)(-)7)；⑶尸2+2；(4)4√i0

4

【分析】(1)根据点A、B的横坐标分别为-3、p可以先求的点A和B的坐标，平行线分线段成比例定

理可以得到EC=ED,然后即可得到点尸的坐标;

（2）根据点8的横坐标为4,可以求得点8的坐标，然后根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A的

坐标，再根据（1）求中点坐标的方法可以求得点尸的坐标；

（3）根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A和点B的坐标与点尸坐标的关系，从而可以得到y与X

的关系：

（4）将y=6代入（3）中的函数关系式，可以求得点尸的横坐标的平方，然后根据勾股定理可以得到OP

的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到线段AB的长.

14

【详解】解：（I）点A、B在抛物线y=]/上，点A、B的横坐标分别为—3、3，

,当X=-3时，y=g/（-3）2=TX9=g,

ʌɪ,41/4、21168

当x=§时,y=2×⅛）=I×7=9'

即点A的坐标为（-3,，，点B的坐标为《，!）,

作ACJ_x轴于点C,作轴于点。，作PE_Lx轴于点E,如图1所示，

.点尸为线段AB的中点,

.-.PA=PB,

由平行线分线段成比例，可得EC=Er),

设点P的坐标为(χ,y),

4

则x-(-3)=g-x,

1+-3)5,

26

98

—k—

同理可得，29二97,

236

5Q7

点P的坐标为(-1,—);

OJO

(2)点B在抛物线y=上，点8的横坐标为％

，点B的纵坐标为：γ=→42=8,

厂・点8的坐标为(4,8),

/.OD=4,DB=Sf

作AC_LX轴于点C,作3。上X轴于点。，如图2所示,

图2

QZAQ5=90。，ZACO=90。，NQry3=90。，

：.ZAOC+ABOD=9001/BOD+/OBD=90。，ZACO=NODB,

ZAOC=ZOBD,

.∖ΛAOC^ΛOBD,

.ACCO

•∙,

ODDB

设点A的坐标为

1ʌ

.∙.CO=-a,AC=-a^,

2

I2

.一4

•-2_=W,

4~8

解得4=O(舍去)，a2=-∖f

点A的坐标为（-1,；）,

-∣-ι-4aQ.1

・••中点P的横坐标为：-F=；，纵坐标为5」7,

22-y-7

，线段A3中点尸的坐标为（；1，；17）；

（3）作AC,X轴于点C,作BDLx轴于点。，如图3所示,

图3

由(2)知，ΔAOC^AOBD,

,ACCO

"^OD~~DB'

设点A的坐标为(。,；〃)，点B的坐标为(瓦；/)，

-a2.

.∙・一+，

-aLh2

2

解得，ab=-4,

・点P(X»)是线段AB的中点,

：.X=^-^-,_2a+，"a2+h2_(a+b)2-2ab,

2k-2-≡-4-=~

.∖a+b=2x,

∙∙∙y8-2x(〜+2,

4

即y关于X的函数解析式是y=d+2;

(4)当y=6时，6=X2+2,

.∙.x2=4.

222

OP=y∣x+y=√4+6=2√10,ΔAQB是直角三角形，点P时斜边A8的中点，

AB=2OP=4√i(j,

即线段AB的长是4碗.

【点睛】本题是一道二次函数综合题目.主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、

直角三角形的性质、中点坐标公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结

合的思想解答.

8.(202卜江苏南通•南通田家炳中学校考二模)在矩形ABC。中，点E是CO边上一点，将VAf)E沿AE折

叠，使点。恰好落在BC边上的点F处.

图2

3

(1)如图1,若tanNEFC==,求人比BC的值；

4

(2)如图2,在线段上取一点G,使AG平分NHAF,延长AG,EF交于点、H,若FG=BG+CF,

求AB:6C的值.

43

【答案】(1)~;(2)-.

3

【分析】(1)根据tan/EFC=；,可设CE=33则CF=43DE=EF=5k,再证明~∕CE,由相

4

似三角形性质即可用Z表示出8F,从而求得比值；

(2)过点G作GNLA尸于点〃，由FG=BG+CF可得/G=；BC=g4/，再证JWGBFA,从而

GMFMFG1

察=22=爷=：，设BG=工，由角平分线性质可得：BG=MG=x,AB=AM=2χ9设AW=y，则

ABBFAF2

4ARAR

BF=2y,由钻、3尸=A尸列方程即可求出y=Jχ,再根据=即可求出比值.

3BCAF

【详解】解：(1)：四边形ABCO是矩形,

.∙.NB=NC=N£>=90"

由折叠的性质得：NAFE=N0=90°，EF=ED,AF=AD,

CF3

.∙.tan/EFC=J=j

CF4

设CE=33则C∕=4%,

:.DE=EF=5k,

X√ZAFβ÷ZBAF=90o,ZAFB+/EFC=90。,

..NBAF=NEFC,

二一ABF-FCE,

-A-B=-B-F-,

CFCE

.8kBF

•∙=f

4k3k

.∙.BF=6k,

：.BC=BF+CF=6k+4k=∖0k,

AB8k4

/.——=——=一；

BC∖0k5

(2)如解图2,过点G作GNLA尸于点M,

FG=BG+CF,FG+BG+CF=BC,

/.FG=-AD=-BC

22

AD=AF9

:.FG=-AF

2

ZMFG=ZBFA1∕FMG=NFBA=900,

.∖MFGBFA,

.GMFMFG∖

设BG=x,

AG平分NBAF,GBɪAB,GM±AFf

.∙.BG=MG=X，AB=AM=2x,

7

设/M=y,则Bb=2y9

AB2+BF2=AF2

4

.∙.(2x)2+(2y)2=(2x+y)2,解得y=

而AF=AW+叱，

「410

・・2xd—X=—X,

33

ABAB2x_3

.*∙BC-AF-%一5.

T

【点睛】本题考查了四边形的综合问题，也考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理、三角函数和角平

分线的性质.解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状

和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.难点是构造垂直利用角平分线性质得线段相等并利用相似

进行求解.

9.(2022春•辽宁沈阳•九年级校考阶段练习)如图1,正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE

(1)［发现］：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2,线段DG与BE之间的数量关系是一：位置关系是

(2)［探究］：如图3,若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD=2AB,AG=2AE,猜想DG与

BE的数量关系与位置关系，并说明理由；

(3)［应用］：在(2)情况下，连结GE(点E在AB上方)，若GE//AB,且AB=AE=I,求线段

DG的长

【答案】(1)BE=DG,BE±DG;(2)DG=2BE,BE±DG,理由见详解；(3)4

【分析】(1)先判断出△ABE丝ADAG,进而得出BE=DG,/ABE=NADG,再利用等角的余角相等即

可得出结论；

(2)先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABESADAG,得出∕ABE=∕ADG,再利用等角的余角

相等即可得出结论；

(3)先求出BE,进而得出BE=AB,即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出NAEB=90。，求

出BE,借助(2)得出的相似，即可得出结论.

【详解】解：(1)①；四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

二AE=AG,AB=AD,/BAD=/EAG=90。，

ΛZBAE=ZDAG,

在^ABE>fΠΔADGΦ,

AB=AD,NBAE=NDAG,AE=AG,

ΛΔABE^ΔADG(SAS),

ΛBE=DG;

②如图，延长BE交AD于Q,交DG于H,

由①知，△ABE^∆ADG,

ΛZABE=ZADG,

VZAQB+ZABE=90o,

ΛZAQB+ZADG=90o,

VZAQB=ZDQH,

ΛZDQH+ZADG=90°,

/.ZDHB=90°,

ΛBElDG,

故答案为：BE=DG,BE±DG;

(2)如图，延长BE交AD于/,交DG于H,

,/四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，

.∙.∕BAD=NEAG,

ΛZBAE=ZDAG,

VAD=2AB,AG=2AE,

.AB_AE_1

∙*AD^AG^2,

，△ABEs△ADG,

DC1

∙*∙NABE=NADG,=—,

DG2

即：DG=2BE,

VZAIB+ZABE=90o,

ΛZAIB+ZADG=90o,

VZAIB=ZDIH,

ΛZDIH+ZADG=90o,

ΛZDHB=90o,

ΛBE±DG;

(3)如图3,(为了说明点B,E,F在同一条线上，特意画的图形)

EG与AD的交点记作M,

VEG/7AB,

・・・NDME=NDAB=90。,

在Rt△AEG中，AE=I,

.∙.AG=2AE=2,

根据勾股定理得，EG=√5,

VAB=√5,

ΛEG=AB,

VEG√AB,

.∙.四边形ABEG是平行四边形，

ΛAGZZBE,

VAG√EF,

二点B,E,F在同一条直线上如图4,

在RtZkABE中，根据勾股定理得，BE=VAB2-AE2=2,

由（2）知，ΔABESAADG,

.BE_AB_1

'*DG^AD-2,

._2_=1

*∙DG2,

ΛDG=4.

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似

三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE丝Z∖ADG或

∆ABESZXADG是解本题的关键.

10.（2021∙黑龙江哈尔滨.统考二模）在平面直角坐标系中，。为坐标原点直线AB与N轴交于点A,与X

轴交于点B,OA=2,AOB的面积为2.

(2)如图2,线段OA上有一点C,直线BC为》="一2%化<0)，ADLy轴，将BC绕点B顺时针旋转

90°,交AD于点D,求点。的坐标.(用含Jt的式子表示)

(3)如图3,在(2)的条件下，连接。。，交直线BC于点E,若3ZABC-NBDO=45。,求点E的坐

标.

【答案】⑴y=τ+2;⑵0(2-2k,2)；(3)倡，尚)

【分析】(1)利用ΔA8C的面积为2,求出。8的长度，得到B的坐标，用待定系数法求A8的解析式；

(2)利用NCB£>=90。，过£)作。，_Lx轴于H,证明ACOB=ΔBHD,得至IjB"=CO,DH=OB=2,由直

线CB解析式，求得C的坐标，从而得到长度，再证明四边形AOD，为矩形，得到。的坐标；

(3)利用NC40+NCBD=I80。，得到A,C,B,。四点共圆，则NCD8=NGWB=45。，

ZABC=ZADC,X3ZAβC-ZC>βD=45o,转化得到NAOD=2ZADC,在Ao上取一点M,使

ME)=MC,构造出NAMC=2WC,利用两个角的正切值相等，列出关于参数的方程，求出参数3再利

用直线CB和直线0。相交，列出二元一次方程组，求得交点E的坐标.

【详解】解：⑴04=2,

40,2),

.∙.-OAOB=2,

2

:.OB=rI,

：.β(2,0),

设直线AB的解析式为：y=kx+2,

代入点8(2,0),得2Z+2=(),

.∖k=-l,

•・・直线AB的解析式为：y=-x+2∙

DAJL)，轴，

.∙.ZDAO=ZAOB=ZDHO=90o,

.•・四边形DAOH为矩形,

..DH=AO=OB=I,

由题可得，NCeZ)=90。，

.∙.NCBO+/BDH=90。,

又NoCB+NCBO=90°,

:.NCBO=NBDH,

在ACBO与MD”中，

ZCOB=BHD=90°

OB=HD,

ZCBO=ZBDH

:.ACBO三MDH(ASA),

..CO=BH,

令X=0,

则y=kx-2k=-2k,

.∙.C(O-Ik),

.∖BH=CO=^2kf

.∙.OH=OB+BH=2-2k,

0(2-2k2)；

(3)如图2,连接C。，取CO中点N,连接AN,BN,

则在MΔAC。中，AN=CN=DN,

同理，BN=CN=DN,

：.AN=CN=DN=BN,

「.A,C,B,。四点共圆，

/.ZABC=ZADC,NCDB=∕OAB,

OA=OBfZAQ3=90。，

.∙.ZOAB=ZOBA=45°,

3ZABC-ZBDO=45°9

.∙.3ZADC-(ZBDC-NCoO)=45°,

.∙.3ZADC-45o+NCDo=45°,

.∙.3ZAZ)C÷ZCZ>O=90o,

.∙.2ZADC+ZA∞=90o,

又ZAOo+ZADO=90。，

.∙.ZAOD=IZADC,

在AO上取一点M,使MQ=MC,

则NMDC=ZΛDC,

.∙.ZAMC=2ZADC=ZAOD,

tanZAMC=tanZAOD,

ACAD

AMAO

AM=x,则MC=Λ∕Z)=2-2"x,AC=OA-OC=2+2k,

MC2=AM2+AC2,

.,.(2—2k—x)~=X2+(2+2Q~,

2+2⅛2-2⅛

4k-2，

I≡ι

解得，k*,

12

・•・直线BC解析式为：y=--Λ:+-,

3

则直线0。解析式为：y=Jχ,

f3

F

联立,C,

解得

【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及到待定系数法，一线三等角模型构造全等，四点共圆，三

角函数，交点坐标的求法，其中转化角的关系是解决本题的关键.

11.（2022秋.河北秦皇岛.九年级秦皇岛市第七中学校考期中）（1）正方形ABa）中，对角线AC与80相

交于点。，如图1,请直接猜想并写出A。与CO之间的数量关系：—；

（2）如图2,将（1）中的,.80C绕点B逆时针旋转得到aBQG,连接AOrOG,请猜想线段AOl与

OG的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3,矩形ABC。和RtZ∖BEF有公共顶点，且NBEF=90。，ZEBFZABD=30°,则=二=—.

Sl图2图3

【答案】(I)AO=-CD;(2)AOt=-DC.,证明见解析；(3)且.

2'212

【分析】(1)根据正方形的性质得AO=OC=OD,ZODC=ZOCD=45o,ZDOC=90°,再由勾股定理

即得到A。与之间的数量关系；

(2)如图2根据正方形的性质得AB=3C,AC=BD,OB=OC,ZOBC=ZABO=45°,NBoC=90。，得

到.ΛBC和AOBC都是等腰直角三角形，求出AC=&A8,BC=√∑B0,得到80=048，因为BOC

绕点8逆时针方向旋转得到aBO∣G,所以NQBG=NO5C=45。，OB=OiB,BG=BC,βCl=√2βO1,由

Zl+Z3=45o,Z2+Z3=45o,得到∕1=N2,于是得到，BOC∣s,84。，求出结论；

ΛβEB

(3)如图3,在RtAABO中，CoSNA80=—,在Rt∕∖EBF中,CoSNEBF=——.因为

BDFB

NEBF=ZABD=30°,W≡∣J-,再由NESF+NRSA=ZABD+NKB4,得到NEB4=∕EBL>,

FBBD2

从而证明..AEBs/如，最后由相似的性质得到解.

【详解】解：(I)Ao=显CD.理由如下：

2

：四边形ABC。为正方形，

ΛAO=OC=OD,ZODC=ZOCD=45°,ZDOC=90°,

：.AO=CO=-CD.

2

故答案为：AO=-CD;

2

(2)如图2,

AD

BC

图2

；四边形ABCZ)为正方形，

ΛAB=BC,AC=BD,OB=OC,ZOBC=ZABO=45°,ZBOC=90°,

二一ΛBC和AOBC都是等腰直角三角形，

,AC=-JlAB,BC=√2B0，

∙,∙BD=√2AB.

•：一BOC绕点B逆时针方向旋转得到ABO©，

・・・NQ乃G=NoBC=45。，OB=OBBCl=BC,

：∙BC1=y/2BO],

BDBClfτBDAB

1

・∙ABBOl'BC1Boj

VZl+Z3=45o,Z2+Z3=45o,

.•・NI=N2,

：,BDCls,BAoT，

•生=些=夜

,

•∙AO1BA

∙*∙Aol=DCl;

EB

(3)在RtAEb尸中，COSNEBF=—,

FB

AB

在RtZXABD中，cosZABD=——.

BD

∙/NEBF=NABD=30°,

.EBAB6∏∏EBFB

FBBD2ABBD

♦；ZEBF+NFBA=ZABD+ZFBA,即NEBA=NFSD,

：,AAEBSADFB,

.AEEBC

••----=----=—.

DFFB2

故答案为：Jl.

2

【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质,

解直角三角形等知识点.能正确找到相似三角形，并会证明是解题关键.

【一题多解I

1.（2021秋・吉林长春•九年级统考期末）【感知】如图①，在四边形ABS中，点P在边AB上（点P点

A、8重合），ZA=NB=NDPC=90°.易证AZMPS^PBC.（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形ABC。中，点P在边AB上（点尸不与点A、B重合），ZA=NB=NDPC.若

PD=4,PC=S,BC=6,求AP的长.

【拓展】如图③，在,ΛBC中，AC=BC=8,AB=12,点P在边A8上（点P不与点A、B重合），连结

CP,作NCPE=ZA,PE与边BC交于前E,当是等腰三角形时，直接写出AP的长.

【答案】【探究】3；【拓展】4或彳.

【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；

拓展：证明AACPs∕∖BPE,分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可.

【详解】探究：证明：∙.∙∕DP8是的外角，

，NDPB=ZA+NPDA,

即ZDPC+ZCPB=ZA+ZPDA,

'：ZA=ZOPC,

.∙.ZPDA=ZCPB,

XVZA=N8,

/.ADAPSAPBC,

.PDAP

.•----=-----，

PCBC

VPD=4,PC=8,BC=6,

.4AP

・・一=—,

86

解得：AP=3；

拓展：-JAC=BC,

：./A=NB,

YNCPB是AAPC的外角，

二ZCPB=ZA+ZPCA,ZCPE+ZEPB=ZA+ZPCA,

'：ZA=ZCPE,

：.NACP=/BPE,

"：ZA=ZB,

：.XACPSXBPE,

当CP=CEWi,NCPE=NCEP,

VZCEP>ZB,ZCPE=ZA=ZBi

・・・CP=CE不成立；

当PC=PE时，∆ΛCP^∆BPE,

则PB=AC=S,

：.AP=AB-PB=U-S=A;

当EC=EP时，ZCPE=ZECP,

VZB=ZCPE9

：./ECP=NB,

LPC=PB,

TIXACPsXBPE,

・APPC

ΛΛ~BP~~BE~~EP,

8∖2-PBPB

πKπlJ=一,

PBBES-BE

解得：PB=号，

/.AP=AB~PB=12——=—,

33

综上所述：ACPE是等腰三角形时，AP的长为4或手20.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情

况讨论思想是解题的关键.

Rrrn

2.（2021春・全国•九年级专题练习）如图，在MAABC中，ZACB=90o,—=—,CDLA3于点。，点

ACn

E是直线AC上一动点，连接OE,过点。作∕75J∙EZλ交直线8C于点足

（1）探究发现：

DF

如图1,若机=",点E在线段AC上，则芸=_____;

Dr

（2）数学思考：

①如图2,若点