河南省2023届高三下学期阶段性测试（四）数学（理）试卷(含答案)

河南省2023届高三下学期阶段性测试（四）数学（理）试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、已知集合A={x∣y=4},B={x∣y=In∣x-l∣}»则AB=()

A.{x∣x≥0}B.{x∣x>l}C.{x∣04x<l或x>l}D.{x∣0≤x<l}

2、若I(l+2i)=ll+2i,则z=()

A.3+4iB.3-4iC.4+3iD.4-3i

3、已知函数/（x）在R上的导函数为了'（X）,则“/'（%）=O”是是/（x）的极值

点”的（）

A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

4、在平行四边形ABCO中，点E,尸分别在边C。，BCh,DE=EC,CF=2BF,

设AE=τn,AF^n,则AC=()

A.-mH—nB.—mH—nɑ.-inH—n

42245555

5、h+二］(x+2y)6的展开式中∕y4的系数为()

Iy)

A.192B.240C.432D.256

NI-Cos26CoSe-Sine...Γπ.

6、右Zit-------=----------,W1Jtan—+=()

sin2θCOSe(4)

A.3B.2C.√3D.1

7、已知A为抛物线Uy2=4X上在第一象限内的一个动点，M（-1,0）,。为坐标原

点，F为C的焦点，若tanNAM。=半，则直线AF斜率的绝对值为（）

A.述B.2√2e.ɪD.-

233

8、若棱长均相等的正三棱柱的体积为160，且该三棱柱的各个顶点均在球。的表面

上，则球。的表面积为（）

ʌ28ŋ112CUr112

A.——πB.πC.oπD.-----π

393

9、下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量M单位：百只）的数

据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型y=e-M(αeR)对y与，的关系进行拟

合，则根据该回归模型，预测从第()个月开始该物种的繁殖数量超过5000只(参考数

据：e3≈20.09,e4≈54.60).

第t个月123

繁殖数量ye1-4e2,2e2,4

A.4B.5C.6D.7—

10、在AABC中，角A,B,C的对边分别为q,b,c,若4=25,则—的取值范

b

围为()

(712∏(13、

A.(3,4JB.C.3,—D.(2,5]

∖ɔ3」14J

11、已知双曲线W=l(α>0,Z?>0)的左顶点为A,点B[O,2],直线AB与双曲

a2b2∖2)

线的两条渐近线分别交于P,Q两点，若线段PQ的垂直平分线经过双曲线的右顶点,

则双曲线的离心率为()

A.√2B.√3C.-D.-

23

12、已知函数/(x)=Xe*-αlnx+x-x"∣,若/(x)>0在定义域上恒成立，则实数”的

取值范围是()

A.(-∞,e)B.[O,e)C.(-∞,l)D.[0,l)

二、填空题

13、已知随机变量X~N(l,b2),且p(x≤T)=2p[x>∙∣),则

M≤χ<j----------------------

x-γ+l≤0,

14、已知实数X,y满足约束条件<x+120,则z=3x+y的最大值为.

x-2y+4≥0,

15、已知圆锥内有一个内接圆柱，圆柱的底面在圆锥的底面内，当圆柱与圆锥体积之

比最大时，圆柱与圆锥的底面半径之比为.

16、已知函数/(x)=2cos?3x-sin23x(0</<4),若当x∈(∙^,∙∣)时，总

有/(ɪ)>0,则①的最大值为.

三、解答题

17、已知数列｛%｝的前〃项和5.=日产.

(I)求｛%｝的通项公式；

⑵设2=I：；'"≤1°,求数列也｝的前30项和.

[2%o，〃〉lO,

18、某超市为改善某产品的销售状况并制订销售策略，统计了过去100天该产品的日

销售收入(单位：万元)并分成六组制成如图所示的频率分布直方图.

频率阉距

2.0

1.5

8

0.2

0.0

0.30.40.50.60.70.80.9月销售收入行元

(1)求α的值并估计过去100天该产品的日销售收入的平均值X；(同一区间数据以中点

值作代表)

⑵该超市过去100天中有30天将该商品降价销售，在该商品降价的30天中有18天该

产品的日销售收入不低于0.6万元，判断能否有97.5%的把握认为该商品的日销售收入

不低于0.6万元与该日是否降价有关.

2

附：K=---------〃(ad-bc)-------,其中〃=α+∕7+c+Q

(a+b)(c+d)(a+C)(b+d)

2

P(K≥k0)0.0500.0250.010

K3.8415.0246.635

19、如图所示，四棱台ABCD-ABC。的上、下底面均为正方形，且。底面

ABCD.

(1)证明：AC±BDl;

⑵若AD=DR=2AR=2,求二面角A-BB1-C的正弦值.

20、已知函数/(x)=InX∙cosx.

⑴设X。是/。)的最小零点，求曲线y=F(X)在点(％J(χ°))处的切线方程;

(2)证明：当x∈(0,π］时，/(x)<-.

e

21、已知椭圆Uj+∕=l(α>8>0)的离心率为|,且S,率为C上一点.

(1)求C的标准方程；

(2)点A,B分别为C的左、右顶点，M,N为C上异于A,8的两点，直线MN不与坐

标轴平行且不过坐标原点。，点M关于原点。的对称点为M'若直线41，与直线

BN相交于点P,直线OP与直线MN相交于点Q,证明：点。位于定直线上.

22、［选修4-4：坐标系与参数方程］

4t

X=五S',、,会物、|、J正广而占c%

在直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为<,。为参数)，以坐标原点。为

8-2r

y=k

极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为QCoSe+Qsin6=4.

(1)求曲线C的普通方程；

⑵若P为C上一动点，求P到/的距离的取值范围.

23、［选修4-5：不等式选讲］

已知函数f(x)=2x+g+2x-g

⑴求不等式/(x)<3的解集;

⑵设了⑴的最小值为若正实数。，满足急+急=〃,证明：

M'8α+,≥∣.

参考答案

1、答案：C

解析：由题意，A={Λ∣x>0},B={x∖x≠l},所以4B={x∣0≤x<l或x>l}.

故选：C.

2、答案：A

到*-ll+2i(ll+2i)(l-2i)15-2Oiɔ..Q小

解析：Z=-------=-----------------=---------=3-41,则rilllz=3+4ι.

l+2i(l+2i)(l-2i)5

3、答案:D

解析：由极值点的定义，若/为/(x)的极值点，则有/'(ΛO)=O,而由/'(Xo)=O不一

定推得/为/(%)的极值点，例如/(X)=Y,故"/，(％)=()，”是“%是f(x)的极值

点”的必要不充分条件.

4、答案：D

解析：由题意，AE^AD+DEAB+AD,AF^AB+-AD,设

23

xAE+yAF=5+yjAB+[x+]^AD=AD-^AB=AC9由对应系数相等

ɪʃ_[_4

XH=1,X=—,

3543

<.∙JΛAC=-W+—n.

X355

I”j1"1

5、答案：C

.∙.l+2](x+2y)6的展开式中尤2y4项为

解析：原式即(1+盯T)(X+2y)6,

Iyj

CH孙τ)∙x∙(2y)5+C"2g)4=432X2/,系数为432.

6、答案：A

1—(1-2Sin*)

解析：由题意」-------^=I-tan。，即tan6=L

2sinGcosB2

π八

/、tan+tanΘ1÷-

tan∣—+∣=---------------=——ɪ=3.

7、答案：B

解析：设tan/AMo=BW=乌m=半，解得χ=3或χ=2√L所

［4Jɪ+13

4

以拈⑹或A(2,2√Σ),又尸(1,0),所以*=*於=-2夜或

2^

L==2近,所以k"∣=2λ∕5.

22,—1°

8、答案：D

解析：设该正三棱柱棱长为X,底面三角形的外接圆半径为r,则

；Sin6(T∙χ2.χ=i66，.∙.x=4,则厂=差.设三棱柱的外接球。半径为凡则

内=，+值［=3+4=要,S表=4成、4”竺=髻兀.

∖2)33&33

9、答案：C

解析：由题意，y=e""两边取自然对数得Iny=I+〃，令"=Iny,则

_ɪ_I

w=l+ar.w=(lnyl+lny2+lny3)×-=2,Z=(r1+Z2+Z3)×-=2,回归直线必过样本

点的中心，

.∙.2=2α+l,得a=g，,"=1+(,则>=e叫.当t=4时，γ=e3≈20.09<50；当f=5

3534

时，γ=e-=√e∙e<50；当，=6时，y=e“≈≈54∙60>50,.∙.从第6个月开始，该物

种的繁殖数量超过5000只.

10、答案：C

解析：A=IB,.,与1124=5由23=251113853且8€(0,三)，

SinC=Sin(A+6)=Sin38=3Sin6—4sir√8,由正弦定理可得

3a-C_3sinA-sinC_6sinBcosB-3sinB+4sin3B

bsinBsinB

=6cosB+4(1-cos23)-3=-4CoS2B+6cosB+l,令COS8=,则

%二£=_4产+6f+l,由二次函数性质知-4〃+6f+ie13,史］,.∙.即二∈∣S,U.

b<4JbI4_

11、答案：B

hh

解析：不妨设点P在直线y=2χ上，由题可知A(-α,O),・・・旗8=2，

a2a

bb

2

:.lAB:y=—x+~,由，得卜=r.∙.P(α,b),同理QY,曲，.∙.PQ的中

2a2byp=b,<33√

y=一χ,一

a

点为化出，PQ的垂直平分线方程为>一丝=一当％一μ，将1y=°‘代入整理得

V33√3b\3J[X=a

—ɪ-=2,贝Ue=Ji+~γ=ʌ/ɜ.

12、答案：B

解析：由/(x)>0得xe*+x>alnx+x"",所以xe*+x+lnx>Mnx+lnx+x"M,构造函

数g(x)=x+e',则不等式转化为g(x+lnx)>g(αlnx+lnx),又易知g(x)在R上单调

递增，故不等式等价于x+lnx>αlnx+lnx,即x-αlnx>0.设∕z(x)=x-4lnx,若

α<0,则当x〉0且x→0时，h(x)→-∞,不符合题意；若a=0,则当x〉0时，

h(x)>O,符合题意;若a〉0,则/z'(X)=I-为尤)在(OM)上单调递减,在(α,+8)上

X

单调递增，所以〃(x)min="(。)，要使〃(X)>0恒成立，只需∕z(α)="(lTnα)>0,所以

O<α<e.综上可知a的取值范围是[0,e).

13、答案：,

6

X>∣)p(x≤∣)=p(x>∣)=ι,≡p(x>∣)=l,所以

解析：由题意可知P+3

ɪ

6-

14、答案：9

解析：根据不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，当目标函数表示的直线经过点

(2,3)时，z=3x+y取得最大值9.

解析：设圆锥的底面半径为R,圆锥的轴截面为等腰三角形，底边长为2R,设其底角

为a,则圆锥的高为Rtano,圆锥的体积为ENtana.设圆锥内接圆柱的底面半径为

3

r,高为〃，则二=Rtana即〃=(7?—r)tanα,则圆柱的体积为

RRtana

πr2∕z=πr2(/?-r)tan6κ=π(Rr2-r3)tan6κ,r∈(0,R),圆柱与圆锥体积之比为

[Δ.Δ

3(R2Ri,设f=C(O<f<l),f(t)=t2-t3,则尸(。=253/=/(2-3。.由

R

2?22

∕,(r)=0,得，=—,当0<r<—时，∕,(r)>0,当一<『<1时，f'(t)<O,所以当,=—

时，/⑺取得最大值，即圆柱与圆锥体积之比最大，此时看=g∙

16、答案:—

4

解析：解：/(x)=cos2ωx-sin2ωx+1=V∑cos(269%+—)÷1,

4

ππ

先考虑了(幻>0—<x<—,令2ωx-∖--=t

634

ππωππ2师π

当X∈时，z∈+,+

6,3T4~4

由/(χ)>0得及CoSr+l>0，E∣Jcost>一一—

3兀c,ωππ

—+2kπ≤——+—

34

(⅛∈Z),

2ωππ_3πc,

+—≤---F2kπ

~T44

得一3+6左≤<υ≤∖+3左(ZeZ),

又，0<ω<4,

.∙.此时8的最大值为"，

4

若切="，当x∈(空,空［时，f=-X+—∈fβπ--,6π+^^l,V2cos∕+l>0,符合

4(36J24142J

条件，

综上，。的最大值为

4

故答案为：—.

4

17、答案:(l)αn=n-3

⑵与。=175

解析：⑴q=H=∖^∙=-2,

当〃≥2时，有臬=日日，S,,7=5T)21("1),

2

两式相减得an=g[“2-5n-(rt-l)+ʒ(rt-l)ɔ=n-3(n≥2),

当"=1时，q=-2符合上式，

故a“=n-3.

(2)设数列也｝的前n项和为J；,

则To=(AI+4+，+4o)+(A]]+d++%)+(%+%+^*^⅛o),

由题意得A+%+÷Z⅞o=tz1+6i2÷∙+α10=S109

b

u+⅛++%=2(4+⅛++/)=2SK),

+

b2]÷⅛2+⅛)=2(%+42++%)=2x2S]0=4S∣o,

7

2

∙∙∙‰=7S,O=-(1O-5O)=175.

18、答案：(l)a=3.0,x=0.537

(2)有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关

解析：(1)依题意有(L5+2.5+α+2.O+O.8+O.2)χO.l=l,得α=3.0.

%=0.35×0.15+0.45X0.25+0.55×0.30+0.65X0.20+0.75X0.08+0.85×0.02=0.537.

⑵依题意作2x2列联表：

降价非降价总计

不低于0.6万元181230

低于0.6万元125870

总计3070100

100>(18>58-12x12)2

30×70×70×30

因为18.367>5.()24,所以有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与

该日是否降价有关.

19、答案：(1)证明见解析

⑵半

解析：(1)∙.OA，平面ABCO,4Cu平面ABC£>,.∙.AC1DD,,

如图，连接BD,四边形ABCo为正方形，.∙.ACLBD,

又-.∙DDtBD=D,:.ACJ•平面DIDB,

8?U平面DQ8,.∙.AC±BD1.

(2)由题意知直线OA,DC,DDt,两两互相垂直，故以。为坐标原点，建立如图所示

的空间直角坐标系.

由已知可得A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),B1(1,1,2),

4B=(1,1,-2),BC=(-2,0,0),BA=((),-2,0).

设平面ABlB与平面BBlC的法向量分别为阳=(Xl,χ,z∣),n2=(Λ2,^2,Z2).

nl∙B1β1=X1÷V1-2z.1=0,.π.

则,I力令4=1,则,I1=(2,0,1),

nl∙BA=-2yi=0,

%∙=x+V-2z=0,.

{21922772令aZ2=l,则rl%=(0,2,1),

n2∙BC=—2X2=0,

/∖Wn11

・•・eos(n,,wɔ)=12=-F=--j==T，

EIl叫I√5×√55

故二面角A-BB1-C的正弦值为=半.

20、答案：(l)y=(x-l)cosl

(2)证明见解析

TT

解析：(1)令/(x)=0,得x=l,或x=%π+,,Z=O,1,2,

..Λθ-1.

ff(x)=c°s^r-sinx∙lnx,/.∕r(l)=cosl,

X

・,.曲线y=f(χ)在点(1,/(1))处的切线方程为y=(X-I)Cosl.

(2)InX在(0,1)上为负，在。,兀］上为正,cos%在呜上为正，在］,π上为负,

又/(I)=O，fO,

TT

当Ocxvl时，/(x)<O,当∕<x<π时，/(ɪ)<O,

故只需证］∈［1,/时，∕*)<L

e

v∙11

令TI(X)=一-Inx,则力'(X)=------，易知∕ι'(X)单调递增,

eeX

且力'(e)=O,故当0<x<e时,"(x)<O,.∙.∕z(x)在(O,e)上单调递减,

・∙・当可后时,h(x)>⅛(e)=0>即』>InX.

e

π

.∙.InX∙cosX<—cosx,要证/(x)1<X<一，HMiiExcosx<1l<x<

ee2

π

令g(x)=xcosx,贝∣J，(X)=COSX-XSinX,易矢口g<x)在L上单调递减,

.*.g'(x)<⅛,(1)=Cosl-Sinl<0,.∙.g(x)在0上单调递减,

.∙.g(χ)Vg⑴=COSIV1,故XCOSX<1在回上恒成立.

综上可得原命题成立.

Y2y2

21、答案：(1)∖+2=1

9ɔ

(2)点Q位于定直线X=-3上

解析：⑴设椭圆。的焦距为2c(c>0),

c_2

^a~3,

cr=9,

由题意得"=L解循

Z>2=5,

a2=b2+c2,

22

∙∙∙c的标准方程为土+匕=L

95

⑵由题可知A(-3,0),3(3,0),设M(AI,χ),N(x2,y2),

则Λf'(-x∣,-χ),设/“N：X=Zny+”.

X=my+n,

联立<χ22消去XW{Srnλ+9)丁+10Tnny+5(/—9)=0,

—+2-=l

[95

-IOznn5(√-9)

・•・M+%y%=

5m2+95zn2÷9

lBN∙y=-^(χ-y)，

1AM∙∙y=(x+3),

Λ,-3X-3

k%2

NBN

X2—3

x↑一3

-L--%=%,+3,

又点P为直线AM'和BN的交点，.•」ʃɪ

工,—3

-=------yp=xp-3,

%

故可得2Xp=j9+=1%

IyJz2)

〃、

myl+〃-3+Jny2+—3

<X%>

=2加+(〃—3)X+%yp

.