2023年湖南师大附中博才实验中学中考数学模拟试卷（附答案详解）

2023年湖南师大附中博才实验中学中考数学模拟试卷

1.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，全面普及科学防控知识，下面是科学防

控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）

A④勺

2.“你是那夜空中最美的星星，照亮我一路前行.”这首朗朗上口的湖南本土励志原创歌曲

《早安隆回》成为了全球华人圈的超级神曲，该歌曲抖音单日最高播放量超过了4.5亿，数据

450000000用科学记数法表示为（）

A.0.45x109B.4.5x108C.4.5x109D.4.5x107

3.下面四个立体图形中主视图是三角形的是（）

4.下列计算正确的是（）

A.x2+x4=x6B.（x+l）（x-1）=x2+1

C.（X3）2=X6D.%64-X3=X2

5.某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15名学生，他们的决赛成绩如下表

所示：则这15名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（）

决赛成绩/分100959085

人数/名2823

A.95,97B,95,95C.95,86D.90,95

6.不等式组0的解集为（）

A.x<1B.x<2C.1<x<2D.无解

7.如图，P是正AABC内的一点，若将绕点8旋转到

则Z_PBP'的度数是（）

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

8.下列函数图象中，表示直线y=2x+l的是（）

9.如图，四边形4BCD内接于。。，已知点C为命的中点，若乙4=

50°,则NC8D的度数为（）

A.50°

B.40°

C.30°

D.25°

10.如图，在矩形ABC。中，连接8D,分别以8、。为圆心,

大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线P。，

分别与AD,BC交于点M.N,连接BM、DN.若AD=4,AB=2.

则四边形MBND的周长为（）

A-1

B.5

C.10

D.20

11.式子，在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

12.分解因式：27n2_18_

13.己知O0的直径48=8cm,C为。0上的一点，/.BAC=30°,

则BC_cm.

14.分式方程2=之的解是____.

xx+3

15.某校九年级准备开展春季研学活动,

对全年级学生各自最想去的活动地点进

行了调查，把调查结果制成了如图扇形统

计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角

为度，

16.如图，矩形OABC与反比例函数yi=?(自是非零常数,

工>0)的图象交于点M,N,与反比例函数丫2=当(卜2是非

零常数，x>0)的图象交于点B,连接OM,ON.若四边形

0M8N的面积为3,则右一心=.

17.计算：(一1)2°23-tan60°+(C-l)°+|l-q|.

18.先化简，再求值：(a+2b)2+(a+2h)(a-2b)-2a-a,其中a=-1,b=

19.如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪.已知测温仪

A距地面2.74m,为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到尸处时,

测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24。；当他走到E处时，测温仪

停止显示额头温度，此时在额头8处测得4的仰角为45。.若CF=1.75m,求有效测温区间EF

的长度.(参考数据：sin24°«0.41,cos24°»0.91,tan24°«0.45)

20.《民法典》颁布实施已经一年多，胜利社区为了解社区居民对《民法典》内容的知晓情

况，对社区居民进行了抽样调查，按知晓情况可分如下四类：A类-完全知晓；B类-知晓；C

类-部分知晓；。类-不知晓.并根据调查结果制作了如下不完整的统计图.

知晓等级频数(人)频率

Am0.1

B200.4

Can

D100.2

请根据图表中的数据回答下列问题：

(1)表中m,a=,n=

(2)补全条形统计图；

(3)为了加大《民法典》的宣传力度，社区管理部门准备在完全知晓的居民中征集2名志愿宣

传者，已知完全知晓的居民中有2名女性，其他为男性，求恰好抽到一男和一女的概率是多

少.

胜利社区居民対《民法典》知晓情况的条形统计图

21.如图：已知点C是线段A8的中点，AE丄4B于A,BF丄4B于8,过点C的直线与AE,

分别交于E,F.

⑴求证：△AEC丝ABFC；

(2)若NE=45。，AE=1,求AABF的面积.

22.近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版)，将劳动从原来的综合

实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购

一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的工咅，用300元在

市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.

(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.

(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买4,B两种菜苗共100

捆，且A种菜苗的捆数不超过8种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对A,B两种菜

苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱.

23.如图所示，在矩形ABCZ)中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF

交线段BC于点G,连接DE=BF=3,EC=2BF.

(1)求证：四边形8FEO是平行四边形；

(2)若tan4力BD=求。8的长.

DEC

24.已知4、b是两个不相等的实数且Q<b,我们规定：满足不等式aWxWb的实数X的所

有取值的全体叫做闭区间，表示为回切,对于一个函数，如果它的自变量x与函数值)，满足：

当aWxWb时，有taWy4班(t为正数)，我们就称此函数是闭区间阿句上的“r倍函数”.

例如：正比例函数y=2%,当1W%43时，2<y<6,则y=2%是1<x<3上的“2倍函数”.

(1)已知反比例函数y=:是闭区间［?n,n］上的“2倍函数”，且m+n=<2023)求+足的

值；

(2)①已知正比例函数y=%是闭区间［1,2023］上的“f倍函数”，求厶

②一次函数y=kx+b(kM0)是闭区间［m,n］上的''2倍函数”,求此函数的解析式.

(3)若二次函数了=合一6%-9是闭区间口0上的“7倍函数”，求实数a、6的值.

25.如图，在O。中，AD,BC为直径，点NCOA=60。，点P是0。上的一个动点.

(1)如图1,点尸是弧A8上的一个动点，连接PC、PD分别交直径于点尸、E.

①如果。P1BC,贝此ECP=°,PCPD(填“>”或或"=")；

②求证：ACFOSRCEP.

(2)如图2,点尸是弧AC上的一个动点，连接尸。交直径BC于点E作射线CP交D4的延长

线于点尸.图中有和CF相等的线段吗？如果有请写出并证明，如果没有请说明理由；

(3)如图1,点P是弧AB上的一个动点，连接PC、PO分别交直径于点尺E.设。。的半径为

r,PC=m,PD=n,求出CF的长(用含〃?，〃，厂的代数式表示).

图1图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：选项4C、。的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁

的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

所以是轴对称图形；

故选：B.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：450000000=4.5x108.

故选：B.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10%其中is冋<10,"为整数.

本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中1<\a\<10,〃为整数.确

定〃的值时，要看把原来的数，变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数

相同.当原数绝对值210时，”是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数，确定a与〃的值是解

题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：A、圆锥的主视图为三角形，符合题意；

B、正方体的主视图为正方形，不符合题意；

C、球的主视图为圆，不符合题意；

。、圆柱的主视图为长方形，不符合题意；

故选：A.

找到从正面看所得到的图形为三角形即可.

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

4.【答案】C

【解析】解：・••/和/不是同类项，

・••/+/不能进行合并计算，

••・选项4不符合题意；

V（X+1）（%—1）=X2—1.

.•・选项8不符合题意；

.•・选项C符合题意；

选项。不符合题意；

故选：C.

运用合并同类项、平方差公式、幕的乘方、同底数基相除的计算方法进行逐一计算辨别.

此题考查了整式加减、平方差公式、幕的乘方、同底数基相除的计算能力，关键是能准确理解以

上运算法则.

5.【答案】B

【解析】解：共2+8+2+3=15人，

所以中位数为第8人的成绩，为95分；

数据95出现了8次，最多，

所以这组数据的众数为95分.

故选：B.

根据众数、中位数的定义求解.

本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一

个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：解不等式X—2W0,得：x<2,

解不等式—x+l>0,得：%<1,

则不等式组的解集为x<1.

故选：A.

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无

解了确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：/.PBP'=^.P'BA+/.PBA,

=Z.PBC+Z.PBA,

=NABC,

60°.

故选B.

根据旋转的性质可得：aPBC丝△P'BA,故NPBC=/P'B4即可求解.

本题考查旋转的性质.旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变.

8.【答案】B

【解析1解：•••k=2>0,b=l>。时，

•••直线经过一、二、三象限.

故选：B.

根据一次函数的性质判断即可.

本题考查了一次函数的性质，当k>0,b>0时，函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限.

9.【答案】D

【解析】解：•.•四边形ABCD内接于。0,乙4=50。，

•••乙BCD=180°一乙4=180°-50°=130°,

:点C为防的中点，

:.CD=CB,

1

・•・乙CDB=乙CBD=1x(180°-130°)=25°,

故选：D.

根据圆内接四边形的性质得到厶BCD=180。-乙4=180。一50°=130°,根据等腰三角形的性质

即可得到结论.

本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、

弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：由作图过程可得：PQ为的垂直平分线，

BM=MD,BN=ND.

设尸。与BO交于点O,如图，

则B。=DO.

••,四边形ABC。是矩形，

AD//BC,

•••乙MDO=ANBO,乙DMO=ABNO,

在厶“0。和厶NB。中，

ZDMO=Z.BNO

乙MDO=4NBO,

OD=OB

MDO^LNBO(AAS'),

：.DM=BN,

四边形2NZ)M为平行四边形，

•••BM=MD,DM=BN,

•••BM=BN,

四边形MBM)为菱形，

•••四边形MBND的周长=48M.

设MB=x,则MO=BM=x,

:.AM=AD-DM=4—x,

在/?[△ABM中，

vAB2+AM2=BM2,

:.22+(4—x)2=x2,

解得：x=I，

四边形MBND的周长=4BM=10.

故选：C.

利用作图过程可得PQ为BD的垂直平分线,利用垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质证

明四边形MBNZ)为菱形，利用勾股定理求得则结论可得.

本题主要考查了基本作图，作线段的垂直平分线，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的

判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，判定四边形为菱形是解题的关键.

11.【答案】%>3

【解析】

【分析】

此题主要考查了二次根式有意义的条件.直接利用二次根式的有意义的条件得出x的取值范围，

进而得出答案.

【解答】

解：由题意可得：x-3>0,

解得：%>3.

故答案为：x>3.

12.【答案】2(m+3)(m-3)

【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

原式提取2,再利用平方差公式分解即可.

解：原式=2(漢2一刃

=2(m+3)(m—3).

故答案为：2(7n+3)(7n-3).

13.【答案】4

【解析】解：「AB是。。的直径，

•••ZC=90°；

在RtZkACB中，Z.A=30°,AB=8cm；

因此BC=駅8=4cm.

根据圆周角定理，可得出NC=90。：在RtA/lBC中，已知了特殊角乙4的度数和A8的长，易求得

BC的长.

本题主要考查圆周角定理以及特殊直角三角形的性质.

14.【答案】x=2

【解析】

【分析】

观察可得最简公分母是x(x+3),方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解即

可.

【解答】

解：方程的两边同乘x(x+3),

得2(x+3)=5x,

解得x=2.

检验：当％=2时，x(x+3)=10H0.

故原方程的解为：x=2.

故答案为：x=2.

【点评】

本题考查了分式方程的求解方法.注意：①解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程

转化为整式方程求解；②解分式方程一定注意要验根.

15.【答案】90

【解析】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°x(1-10%-30%-20%-15%)=90。，

故答案为90.

根据圆心角=360°x百分比计算即可；

本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分

占总体的百分比大小.

16.【答案】一3

【解析】解：•.•力、丫2的图象均在第一象限，

•••k1>0,七>0，

•・•点M、N均在反比例函数月=冷(比是非零常数，x>0)的图象上，

AS&OAM=S^OCN二#1，

•.・矩形OA8C的顶点B在反比例函数丫2=勺(矽是非零常数，%>0)的图象上，

"$矩形OABC=卜2,

"$四边形OMBN~S矩形OABC-S^OAM—5AOCN=3,

/^2—k]~3,

**•k]—k，2=-3,

故答案为：-3.

根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论.

本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=5图象中任取一点，过

这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

17.【答案】解：原式=—1—+1+—1

=-1.

【解析】由零指数裏、绝对值的意义、特殊角的三角函数进行化简，即可得到答案.

本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.

18.【答案】解：(a+2b)2+(a+2b)(a—2b)-2a-a

=a24-4ab+4b24-a2-4b2-2a2

=4ab,

当a=-1,b=；时，原式=4x(-1)x1=-2.

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把mb的值代入化简后的式子进行计算，即可解答.

本题考查了整式的混合运算■化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

19.【答案】解：如图，延长CB交4。于点G,则GO=CF.

A

••・AG=AD-CF=2.74-1.75=0.99(m).

在RtUGC中，CG黑=2.2(m),

tan240.4517

在RtAAGB中，BG=-^^=学=0.99(m),

tan451'丿

・・・BC=CG-BG=2.2-0.99=1.21(m),

EF=BC=1.21(7n).

答:有效测温区间E尸的长度约为1.21m.

【解析】延长C8交4。于点G,则GD=CF,根据锐角三角函数即可求解.

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角的概念、熟记锐角

三角函数的定义.

20.【答案】5150.3

【解析】解:(1)总调查人数为20+0.4=50(人),

m=50x0.1=5,

a=50-5-20-10=15,

几=15+50=0.3,

故答案为：5,15,0.3；

(2)补全条形统计图如图:

胜利社区居民对《民法典》知晓情况的条形统计图

频数/人

20

15

10

5

0____—I■——>

ABCD知晓等级

(3)由题意知，五名完全知晓的居民中有2名女性，3名男性，画树状图如图:

开始

男男女女男男女女男男女女男男男女男男男女

共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，

•••恰好抽到一男和一女的概率为蜉=|

(1)先求出总人数，根据总人数乘以0.1得到〃“总人数减去A、B、。的人数可得ma除以总人数

50可得n；

(2)根据人数补图即可；

(3)列树状图解答.

此题考查了统计表与条形统计图，利用部分的数量及频率求总体人数，画条形统计图，列树状图

求概率，正确理解统计图表是解题的关键.

21.【答案】(1)证明：•.•点C是线段A8的中点，

:.AC=BC,

在△力EC和aBFC中，

Z-ACE=乙BCF

AC=BC,

Z-EAC=乙FBC

.^AEC^^BFC^ASA)；

(2)解：•込AEC义ABFC,

：・AE=BF=1,

vzF=45°,AELAB.

:.Z.E=Z.ACE=45°,

:.AE=AC=1,

・•・AB=2,

△4BF的面积=AB-BF=1.

【解析】⑴由aASAn可证aAEC丝△BFC；

(2)由全等三角形的性质可求AE=BF=1,由三角形的面积公式可求解.

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握全等三角形的判定方法是解题的

关键.

22.【答案】解：(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，

根据题意得：—=1~+3>

4X

解得x=20,

经检验，x=20是原方程的解，

答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；

(2)设购买A种菜苗皿捆，则购买8种菜苗(100-巾)捆，

•••4种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，

m<100—m,

解得m<50,

设本次购买花费卬元，

:.w=20x0.9m+30x0.9(100—m')=—9m+2700.

-9<0,

.1.w随m的增大而减小，

m=50时，卬取最小值，最小值为-9x50+2700=2250(元)，

答：本次购买最少花费2250元.

【解析】(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在

菜苗基地购买的少3捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；

(2)设购买4种菜苗加捆，则购买8种菜苗(100-m)捆，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的

捆数，得mW50,设本次购买花费w元，有w=20x0.9m+30x0.9(100-m)=-9m+2700,

由一次函数性质可得本次购买最少花费2250元.

本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式.

23.【答案】⑴证明：•.•四边形ABCO是矩形,

•••DC//AB,

又「DE=BF,

.••四边形。EF8是平行四边形；

(2)解：•••四边形OEFB是平行四边形，

DB//EF,

AB

:.乙ABD=",

2

:.tanZ.ABD=tanF=

BG2

—=-«

BF3

又•・・BF=3,

・•.BG=2,

・・•EC//BFf

/.CG：BG=EC：BFEC：BF=2,

:.CG=4,EC=6,

・・・BC=BG+CG=2+4=6,CD=DE+CE=2+6=8,

vzC=90°,

BD=VCD2+BC2=V82+62=10.

【解析】(1)由矩形的性质可得。C〃AB,可得结论；

(2)由平行四边形的性质可得。B〃EF,可证N4BD=NF,由锐角三角函数可求解.

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数等知识，掌握平行四边形的判

定方法是解题的关键.

24.【答案】解：(1)已知反比例函数y=：是闭区间［m,初上的“2倍函数”，

・•・当？n<x<九时，27n<y<2n,

当％=mB'j",y=­；当％=ri时，y=-,

又•・・fc=4>0,

・•・当%>0时，y随尤的增大而减小，当xv0时，y随x的增大而减小，

，—=2n,且士=2m,

mn

・•・2mn=4,

又•・•m+n=，2023,

:.(m+n)2=m2+2mn+n2=2023,

・•・m2+n2=2023—2mn=2023—4=2019.

(2)①已知正比例函数y=随x的增大而增大，且当》==1；当％=2023时,y=2023,

,当14x42023时，1MyW2023,

.・.、=》是闭区间［1,2023］上的“1倍函数”，即1=1.

②•・,一次函数y=依+力(攵。0)是闭区间上的“2倍函数”，

・•・当m<x<几时，27n<y<2n,

若k>0时，y随工的增大而增大，

・•・当％=m,则y=km+b=2m；当x=n,则y=kn+b=2n,

：・(m—n)k=2(m—n),

・•・k=2,将k=2代入/cm+b=2m,得27n+b=2m,

Ab=0.

・•.若k>0时，函数解析式为y=2x.

若k<0时，y随x的增大而减小，

二当％=m时，y=km+&=2n；当x=n时，y=kn-\-b=2m,

:・k=-2,b=2m+2n.

:,若k<0时，函数解析式为y=-2x+2(m+n),

综合以上分析，函数的解析式为y=2%或y=-2x+2(?n+n).

(3)由二次函数y=%2一6%-9解析式可知，抛物线开口向上，对称轴工=3,

工当工<3时，y随x的增大而减小；当x>3时，y随x的增大而增大，

・・,二次函数y=/-6%—9是闭区间口句上的“7倍函数”，

，当a<x<b时,7QWyW7b.(。00),

若b<3时，根据增减性，当％=a时，y=Q?—6a—9=7b；当％=b时，y=h2-6Z?—9=7a,

两式相减得：a2—b2—6a6b=7b—7a,

A(a+6)(a—b)=b-a,

**•b=-1—Q,

将b=-1-a代入a?—6a-9=7b得:

CL2+Q-2=0,

・•・a=-2或Q=1,

当a=-2时，b=1；当Q=1时，b=-2.(舍去，a<b).

若a23时，当x=a时，y=a2-6a-9=7a,解得a=生等(舍去)或a=必手匹，

当x=b时，y=b2-6b-9=7b.解得b=13-产或=13+产,均不符合a<b,舍去.

若a<3,b>3时，当％=3时，y=32—6x3—9=7a,

18

・•・a=

则％=a时，丫=。2一6。一9=鬻，若鬻=7b,匕=黑<3,(舍去)，

当X=b时，y=b2-6b-9=7b,则6=13一产(舍去)或b=丐药.符合题意.

综上分析，a=-2,匕=1或者。=-学b=—产.

【解析】(1)根据新定义和函数增减性对应代入得到2nm=4,利用完全平方公式求岀/的

值；

(2)①根据新定义和正比例函数y=%的增减性，发现当1VXW2023时，lWyW2023,得出，

值；

②根据新定义和一次函数y=kx+b的增减性，分情况讨论k>0和k<0的x与y的对应变化，综

合分析，得出函数的解析式；

(3)根据新定义和二次函数y=x2-6%-9的增减性，分三种情况进行探讨，在各个区间段满足a<

b,综合分析得出a、匕值.

本题综合考查了新定义下的一次函数性质，二次函数性质，反比例函数性质，综合性较强，分情

况探讨是本题一大亮点.

25.【答案】30。=

【解析】(1)①解：连接BP,如图:

ACOA=60°,OA=OC,

力。。是等边三角形，

•••ACAO