天津一中2023年1月高二年级数学期末考试

天津一中2023年1月高二年级数学期末考试

本试卷分为第I卷(选择题)、第II卷(非选择题)两部分，共100分，考试用

时90分钟.第I卷为第1页，第n卷为第2页.考生务必将答案涂写规定的位置上,

答在试卷上的无效.

祝各位考生考试顺利！

第I卷

一、选择题：(每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知直线-丁=*-2,&y=依，若"〃2,则实数()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解析】

【分析】两直线平行，则斜率相等求解.

【详解】已知直线4：y=x-2,l2：y-kx,

因为“〃2，

所以％=1

故选：D

【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.

2.若圆光2+/—2x+4y+m=0截直线x+y—3=0所得弦长为2，则实数加的值为()

A.-1B.-2C.-4D.-31

【答案】C

【解析】

【分析】先将圆的方程转化为标准方程形式，可得圆心为(1,-2),半径为r=石二荷(〃2<5),

再求出圆心到直线距离，根据弦长为2庐一涓=2,即可求得加•

【详解】由题，由圆的一般方程尤2+、2-2%+分+m=0可得圆的标准方程为

(x-1)2+(y+2)2=5-m厕圆心为(1,-2)泮径为r=<5),

所以圆心到直线距离为d='菱H=20,

则弦长为2,7一/=2,即5-/〃-8=1,所以/〃=T,

故选:C

【点睛】本题考查利用弦长求参数，考查点到直线距离公式的应用，考查圆的一般方程与标准

方程的转化.

3.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文

化中的太极衍生原理，数列中的每--项都代表太极衍生过程.已知大衍数列｛4｝满足q=0,

4,+〃+1,“为奇数

为偶数,则

A.12B.20C.28D.30

【答案】B

【解析】

【分析】根据递推关系求得%,%，%，生，进而可得答案.

【详解】由已知得

%=4+1+1=2,

。3=。2+2=4,

%=%+3+1=8,

a5=/+4=12,

故选：B.

4.与椭圆9/+4产=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为O

222222

Axy1

A.---1------=1D.-------FXC.—+），=1D,土+J

436685

【答案】B

【解析】

【分析】求出所求椭圆的焦点坐标，可得出，的值，由已知条件可得出力的值，由此可得出

。的值，进而可得出所求椭圆的标准方程.

【详解】椭圆9/+”2=36可化为标准方程三+±=1，

49

可知椭圆?+=1的焦点在y轴上，焦点坐标为何士6），

22

故可设所求椭圆方程三+六=1（。>6>0）,则,=行.

2

又28=2,即6=1,所以"="2+02=6,故所求椭圆的标准方程为匕+/=i.

6

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆方程的求解，要注意分析椭圆焦点的位置，考查计算能力，属于基础

题.

22

5.已知耳、居分别为双曲线E:5—与=1的左、右焦点，点M在E上，

ab

旧闻：怩M：怩M=2:3:4,则双曲线E的渐近线方程为（）

A.y=±2xB.丁=±]C.y=±VIxD.y=土与

【答案】C

【解析】

【分析】

由田闻:|斗0]:山闸=2:3:4,可得=2C,怩A1|=3C,|隼0|=4以根据双

曲线的定义求得c=2a,进而得到8=Ga，即可求得双曲线的渐近线方程.

【详解】由题意，大、尸2分别为双曲线E：二-3=1的左、右焦点，点M在七上,

a2b2

且满足|耳玛骂”|：|耳M|=2:3:4,可得归勾=2c,|月"|=3c,闺M=4C,

由双曲线的定义可知2=|取0|一|耳M|=4c—3c=c,即c=2a,

又由〃=Jc2一如2=岛,所以双曲线的渐近线方程为y=±瓜•

故选：C.

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率（或范围）,

常见有两种方法：①求出a，c,代入公式6=一；②只需要根据一个条件得到关于。,仇。的

a

齐次式，转化为。的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得e的值（范围）.

6.已知等差数列｛%｝,S“是其前〃项和，若S1o=4o=lO,则（）

A.%=2B,a5--2C.$5=18D.S5--20

【答案】D

【解析】

【分析】设数列｛4｝的公差为"，由等差数列的通项公式和前"项和公式列关于q和d的

方程，解方程求出生和d,再计算生和S5即可得正确选项.

【详解】设数列｛4｝的公差为d,

10x9

lOflj+d=10q=-8

由题意可得《2，解得《

d=2

q+9d=10

所以为=q+44=—8+4x2=0,

5x4

S5—5q+d=5x(—8)+10x2=-20,

2

故选项D正确,

故选：D.

，59

7.设S“是等比数列｛凡｝的前“项和，若§3=4,4+%+4=6，则w=()

319519

A.-B.—C.一D.—

21036

【答案】B

【解析】

【分析】设等比数列｛%｝的公比为4,求得/的值，再利用等比数列的求和公式可求得结

果.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,若g=l，则%+%+4=34=S3,矛盾.

所以，q片1,故7+%+4=）=-夕0-q）二43邑,则。3=:，

\-q\-q2

S_19S2_19

因此,93

配=丁.五=6

故选：B.

8.已知等差数列｛对｝的前〃项和为S“，513<0,SI4>0,则当S取得最小值时，〃的值

为（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列前八项和公式可知%<0,%+%>0,即%>0,从而可确定

当S取最小值时n的值.

【详解】因为&3=13（"；-3）=13;2〃=13%<0,故%<0.

同理14=14（9；《4）=14（°；+%）=7（%+［）>0,故为+6>°，

所以网>0，%<0,即当〃=7时，S,取得最小值.

故选：C.

【点睛】本题考查等差数列性质和等差数列前〃项和的应用，属于基础题.

9.已知抛物线C:d=8》的焦点为尸，O为原点，点P是抛物线C的准线上的一动点，点A

在抛物线。上，且|AR|=4,则1PAi+|PO|的最小值为（）

A.4&B.25/13C.3V13D.476

【答案】B

【解析】

【分析】求出A点坐标，作。关于准线的对称点M,利用连点之间相对最短得出IAM1为

1PAi+1尸01的最小值.

【详解】解：抛物线的准线方程为y=-2,

•；|4f1=4,.1A到准线的距离为4,故A点纵坐标为2,

把y=2代入抛物线方程可得尤=±4.

不妨设A在第一象限，则4(4,2),

点。关于准线y=-2的对称点为M(O,T),连接A"，

则|PO|=|PMI，于是|+|PO|=|Q4|+|PM|>|AM|

故1PAi+|PO|的最小值为|AM|="2+62=2713-

故选：B.

【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题.

22

10.已知产是双曲线C：*一点=1(。>0/>0)的右焦点，过点尸的直线/与双曲线C

的一条渐近线垂直，垂足为4,且直线/与双曲线C的左支交于点B,若3|E4|=kM，则

双曲线C的离心率为()

、-5〃54

A.2B.-C.—D.一

343

【答案】B

【解析】

【分析】设C的左焦点为耳，连接月B,过耳作《。_LbB于。，根据已知及双曲线性质

有为线段阳的中垂线，结合双曲线定义及a,b,c关系得到关系，即可得离心率.

设。的左焦点为大，连接过耳作于。,

易知FQ//OA,所以。4为的中位线,

又图中双曲线的渐近线方程为云-金=0

.•.|阴=3|刚=3九忸口=2,

则。为线段为？的中点，所以△电尸为等腰三角形，即忸制=出耳=2c

又||=48,||=48-2a=2c,

即c+a=2Z?,

.'.c+a=2\lc2-a2,

故选：B.

第n卷

二、填空题：(每小题6分，共24分).

11.圆C的圆心为(2,T),且圆C与直线3x-4y-5=0相切，则圆C的方程为

【答案】(x—2)2+(y+l)2=l

【解析】

【分析】先求圆心到直线/：3x-4y-5=0的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得

圆的方程.

【详解】圆C的圆心为(2,-1),与直线，：3x-4y-5=0相切,

|3x2-4x(-l)-5|

即r=d==1

圆心到直线的距离等于半径,收+(对

・•.圆C的方程为(X—2)2+(y+1)?=1.

故答案为：(x—2>+(y+1)2=1.

【点睛】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切关系的应用，是基础题.

12.若抛物线产=如准线与直线x=l间的距离为3,则抛物线的方程为.

【答案】V=_i6x或/=8左

【解析】

【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.

【详解】抛物线丁=如的准线为％=-彳，

m

则一_7-1=3，解得加=-16或m=8,

4

故抛物线的方程为V=-16x或V=8x.

故答案为：y2=-16x^y2=8x.

13.等比数列｛4｝中，a5,%1是方程/+15+5=0的两根，则丝场的值为.

。13

【答案】

【解析】

【分析】由韦达定理可得a5a21=5,/+。21=-11，易知心,电1<0，再由等比数列的性质

有％，结合等比数列通项公式判断％3的符号，进而求目标式的值.

【详解】由题设知：=5,%+%1=-11，又｛《,｝为等比数列，

••%，。21<0，.且a7a19=1=5,而《3=a$q<0,

=-后,故19=.

a\3

故答案：_亚

22£7

14.已知椭圆C:J+#=l(a>人>0)的离心率为半，直线/与椭圆C交于A,B两点，

且线段AB的中点为M(-2,1),则直线/的斜率为；

【答案】|

【解析】

【分析】由椭圆离心率和。功了关系可得。*关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜

率公式可得所求值.

【详解】由题意可得6=二=、1-4=且，整理可得a=»,

a\a22

设4(%,%),8(电,％),

则驾号=1,岑+岑=1,

a2b2a2h2

两式相减可得(…”)+.一型凹+幻=0，

a2b2

AB的中点为M(-2,1),%+々=-4,%+必=2,

则直线斜率无=旦二^=―与•正互=_，x(―2)=，.

x｛-x2ay｛+y242

故答案为：y.

15.己知各项为正数的数列｛%｝的前〃项和为S“，且q=l,S“=(61+苑丁

(〃22,〃wN),则数列｛%｝的通项公式为.

【答案】an=2n-l

【解析】

【分析】先由题干求出｛点｝是以1为首项，公差为1的等差数列，并且求得S“=〃2,进而

写出数列｛%,｝的通项公式.

【详解】解：a„>0,:.S„>Q,

当〃之2时，由s〃=(£7+6『，可得

即Js,i=1.

・.・｛四｝是以1为首项，公差为1的等差数列.

y/~S^=1+(〃-1)x1=〃.

S〃=犷.

二当“22时，an=S“-S〃_]=/一(〃-1『=2〃-1.

当〃=1时，上式成立.

故数列｛见｝的通项公式为4=2〃-1.

故答案为：an=2n-\.

【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，考查转化思想，分析问题

能力，属于中档题.

16.已知等差数列｛%｝中，4=9，%=17,记数列的前〃项和为S“，若

S2.+I-S,4正对任意的〃GN*都成立，则实数ni的取值范围为.

【答案】7,+8

【解析】

【分析】先利用等差数列的通项公式列方程求出数列｛%｝的通项公式，令2=S2,+1-S.，

通过计算的正负确定也｝的单调性，进而求出也｝的最大项，则可求出实数加的

取值范围.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

q=q+2d=9伉=1

则｛47解得IJ

%=。[+4"=17[d=4

则等差数列｛4｝的通项公式为4=4〃-3,

f111

则数列〈一卜的通项公式为一=-----,

44〃一3

令b“=S筋+[-S”,

则4+1一仇=(S2n+i-5„+|)-(S2„+1-)=」一+-------

。2〃+3a2n+2an+\

即％即也｝为递减数列，

r、，。0111114

｛2｝的最大项为4=S3-S|+—=-+-=—,

(a3a29545

故答案为：—,+°°J

三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.若数列｛。“｝的前〃项和为5“，且2'=34一1（〃6Z），等差数列也｝满足4=3’,

么=%+4.

⑴求数列｛%｝,｛2｝的通项公式;

（2）设5=今，求数列｛5｝的前“项和刀,.

【答案】（1）。“=3"'b“=2〃+l

（2）4=2-竽

【解析】

【分析】（1）利用%=Sn-S,T得到数列｛为｝是等比数列，利用等比数列的通项公式可得

数列｛q｝，再代入数列｛〃｝满足的等式可得｛2｝的通项公式；

（2）利用错位相减法可求和.

【小问1详解】

2s“=3a“-l（〃eN*）,

又2sl=3g_「1（〃之2）,

两式相减得2a“=3a,-3%T，

即与一=3,故数歹!!｛4｝是以3为公比的等比数歹ij,

an-\

又当〃=1时，2s1=〃=3q-1,得4=1,

/.an=3'T,

/.b、=3〃]=3,4=4+4=3+4=7,

.••等差数列圾｝的公差为今苧=^=2,

【小问2详解】

,一,口2〃+1

由（1）可得=——，

7_3572n-l2/7+1

F丁?+于+…+方丁+下=

上两式相减得21=3+三+之++2一当」+2x氢_p(_2H+l=4_2n+4

3332333"3'用3.13向33向

1-----

3

18.已知数列{6,},{bn},满足q=4=1，"+]=3(1+;1也,，且见+|-a“=4_(〃eN)

⑴求数列｛为｝,也｝的通项公式;

b._______

〃EN",求证：。+。

⑵记3(%-l)(4+2T)q+23++%<3.

【答案】（1）a=^—^,bH=n-y-'；

"2

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）分别利用累乘法和累加法求通项即可；

（2）利用裂项相消得到G+G+C3++c„=|^-―J—-,即可证明

3123-1y

1

C|+C2+C3++C”<3

【小问1详解】

根据2+1=3[1+-K„可得导=3-3，

In）b„n

hh

所以勿=@X也XX—x/?

如bn-2

=n-3"~'，

当〃=1时，仇=lx3°=l,成立，所以"=〃3'T,

%=3"'，

所以勺=（4,-4i）+（a,i-4,_2）++（%一4）+4

二，

2

3°+13叫1

当〃=1时，%=—-一=1,成立，所以a“

2

【小问2详解】

4-3,,~|_2（1

nn+,n

由（1）可得（3-i）（3-i）—3\3-l

▼2rli11

所以…+q+R+豆丁工

=2M__

-3（23n+,-lJ，

111211

ceru+c<X=

因为7-不诉—所以C1+C2+C3+n^7oQ-

ZJ—1Z3乙3

22

19.已知椭圆C：*+*=1（〃>〃>0）的左、右焦点分别为耳，F2）离心率为点A

在椭圆C上，|A周=2,ZF]AF2=60°,过鸟与坐标轴不垂直的直线/与椭圆c交于P,

Q两点，N为线段PQ的中点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点M,且MNLPQ,求直线/的方程.

x2v2

【答案】（1）二+2_=i

43

（2）3x—2y—3=0或x—2y-1=0

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的儿何性质和条件列方程求出“，b,c；

（2）设直线/的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出中点N的坐标，再利用MN_LPQ,

求出直线/的斜率.

【小问1详解】

\AF\+\AF^=2a,:.\AF^=2a-2]F,F^=2c,在△州心中,

怩工『=\AFf+\AF2f—2|A/；MA8|COSN[伍，

,C1

即4c2=22+（2〃一2y—2x2x（2〃-2）cos60,=—,

解得：a?—4。+4=0,a=2,c=1,/?=V3,

22

椭圆c的方程为：二+上_=1；

43

【小问2详解】

由题意设/的方程为：y=A（x-1）仅00）,P（X，x）,Q优,力），

92

厂+-12“2,2

联立方程〈43，得X2---X+---1=0,

33

3=

2k2

•••玉+£=e=春，缶+必=/+切口=逐，

-1-

43

13k

J4k2—3k）不+374F一止+24.+3

n_一32k2’

3+4公

1Bn4公+24后+31

MNA.PQ,:.kMN=:，即--------------=一一

k32k2k

3I

化简得：