切线模型-2024年中考数学核心几何模型重点突破（解析版）

专题27切线模型

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【模型1】双切线模型

已知如图27-1,点P为。。外一点，PA,必是。。的切线，切点分别为/、B,根据

切线的性质，可证明A/%。也APB。，N4PB+NZO8=180°,尸。垂直平分45。

【模型2】割线定理

如图27-2,已知在。。中，弦ZC、BD相交于点P,点P在。。外nPC・H=尸£>•尸5。

P

图27-2

【证明】如图27-5,连接40、BC,

；/P=/P,ZA=ZB

•.APDAs^PCB

.PAPD

'PB~PC

POPA=PD»PB

【模型3】切割线定理

如图27-3,已知在。。中，弦ZC的延长线交。。的切线必于「二必2=「。・我。

【证明】如图27-4,连接48、BC,

•••NP5C为。。的弦切角,

ZPBC=NA

又/P=/P

^PCBsAPBA

PCPB

PBPA

PB°=PC・PA

【例1】如图，点尸为。。外一点，过点尸作。。的切线24、PB,记切点为4、B,点C

为。。上一点，连接ZC、BC.若N4C5=62。，则叨等于（）

A.68°B.64°C.58°D.56°

【答案】D

【分析】根据切线性质求出/刃。=/可。=90。，圆周角定理求得乙4。瓦再根据四边形

内角和定理即可求得.

【解析】解：,・・久、尸5是。。的切线，

；・OALPA,OB工PB,

：.ZPAO=ZPBO=90°,

：.N/OB+N尸=180。，

/ACB=62。,

：.ZAOB=2ZACB=2^62°=n4°,

：.ZAPB=1S00-124。=56。,

故选：D.

【例2】已知：如图，PAB、PC。是。。的割线，PA=4cm,AB=6cm,8=3。加.则

PD=cm.

【答案】8

【分析】由于PAB和PCD是。。的割线，可直接根据割线定理求出PD的长.

【解析】根据割线定理得：PA・PB=PC・PD；

*.*PA=4cm,AB=6cm，CD=3cm；

PA-PB

・・PD=----------=8cm.

PC

故答案为8.

【例3】如图，N8是。。的直径，射线5c交。。于点。，E是劣弧AD上一点，且8E平

分NFBA,过点E作跖13C于点尸，延长相和氏4的延长线交于点G.

(1)证明：G尸是。。的切线；

(2)若/G=2,GE=6,求。。的半径.

【答案】(1)见解析；(2)8

【分析】(1)连接。£,证明。£118区得到。/G,即可得证.

(2)连接OE,AE,证明△GNESGEB,求得GB、的长，半径即可得解.

【解析】(1)如图，连接。£,

因为BE平分/F3N,

所以NOBE=/FBE；

因为OE=OB,

所以NOBE=/OEB；

所以NFBE=NOEB,

所以OEWBF,

因为EFJ.BC,

所以OELFG,

所以G尸是0。的切线.

(2)如图，连接OE,AE,

因为N3是直径，G尸是圆的切线,

所以/OEG=ZAEB=90°，

所以NGE/=NO班；

因为OE=OB,

所以/02E=N0E2；

所以/GE4=/G8E,

因为NG=NG,

所以△GNEsGEB,

,AGGE

所SPr以历二而’

因为ZG=2,GE=6,

所以t=£

解得G2=18,

所以AB=GB-AG=1S-2=16,

所以圆的半径为8.

一、单选题

I.如图，是。。的直径，点M在胡的延长线上，MA=AO,与。。相切于点，

交血Q的延长线于点C,若。。的半径为2,则3C的长是（）

A.4B.273C.2A/2D.3

【答案】B

【分析】连接0D,求出BC是。。的切线，根据切线长定理得出CD=BC,根据切线的性

质求出NODM=90。，根据勾股定理求出再根据勾股定理求出2c即可.

【解析】解：连接OD,

:切。。于。，

：.ZODM=90°,

的半径为2,MA=AO,N8是（DO的直径，

.'.MO=2+2=4,MB=4+2=6,OD=2,

由勾股定理得：MD=yJoM2-OD2=V42-22=273,

:BCLAB,

切。。于5,

C切。。于。，

：.CD=BC,

设CD=CB=x,

在RtZiMBC中，由勾股定理得：MC2=MB2+BC2,

即（273+x）占62+N,

解得：x=2g,

即BC=2

故选：B.

2.如图，PA、P3分别切。。于点A、8,点C为优弧48上一点，若ZACB=ZAPB,则

乙1CB的度数为（）

A.67.5°B.62°C.60°D.58°

【答案】C

【分析】要求/ACB的度数，只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接

OA,OB；再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解.

【解析】解：连接OA,0B,

VPA,PB分别切。。于点A、B,

；.OAJ_AP,OB±BP,

/.ZPAO=ZPBO=90o,

.,.ZAOB+ZAPB=180°,

,.,ZAOB=2ZACB,ZACB=ZAPB,

；.3/ACB=180°,

7

3.如图，。。的半径为彳，是。。的切线，。为切点，过圆上一点。作5。的垂线，垂

2

足为2,BC=3,)

A-I

【答案】C

【分析】根据题意构造△CD凡由圆的性质可证有相似的性质即可得CD

的值，从而求sin//；

【解析】作直径CF,连接CD和DF,

则/4=/凡

:BD切OO于D,

:・/CDB=NF,

YCBIDB,CF为直径,

：.ZCDF=ZB=90°,

:•丛CDFs^CBD,

.CFCD

•・五一左’

7

VCF=2x-=7,BC=3,

2

:.CD=H，

・..口_CDV21

••siii/isin/*----=------,

CF7

故选：C.

二、填空题

4.如图，PA、P3分别与。。相切于/、3两点，点C为。。上一点，连接ZC、BC,若

/尸=50。，则N/C3的度数为

【答案】65。或115°

【分析】分当点C在优弧N3上时与当点C在劣弧上时两种情况进行讨论，根据圆周角

定理计算NNCB的度数.

【解析】解：当点C在优弧4?上时，如图1所示，连接OB,

图1

；%、尸2分别与。。相切于48两点,

：.OA±R4,OB±PB,

：.ZOAP=ZOBP=90°,

/.ZAOB=180°-ZP=180°-50°=l30°,

ZACB=^/AOB=；X130°=65°.

当点。在劣弧上时，如图2所示，连接CM,OB,在优弧上取点£>,连接BD,

图2

；4P、3P是切线，

，ZOAP=ZOBP=90°,

：.//。2=360°-90°-90°-50°=130°,

/.ZADB=65°,

又：圆内接四边形的对角互补，

//C5=180°-180。-65。=115。.

故答案为：65。或115。.

5.如图，已知N2是。。的直径，点尸在A4的延长线上，PD与。。相切于点。，过点3

作PD的垂线交PD的延长线于点C.若。。的半径为3,BC=5,则我的长为.

【答案】;3

2

【分析】直接利用切线的性质得出/尸。0=90。，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答

案.

【解析】解：连接。O,

•••PD与。。相切于点

•./尸。。=90°,

.•"=90。，

•.DOIIBC,

•.APDOs"CB,

.DO_PO_3

•BC~PB~5f

设R4=x,贝1注=冷,

x+65

3

解得：X=；,

2

3

故P/=—.

2

,3

故答案为：—.

2

6.如图，PA,必是。。的切线，A,8为切点.若ZAPB=60°,则N/。尸的大小为

【答案】60°

【分析】先由切线的性质及切线长定理求出/以。=90。,//尸。=30。，再根据直角三角形两

锐角互余求解即可.

【解析】•••PA,总是。。的切线，A,B为切点

ZPAO=90°,ZAPO=-ZPAB

2

:.ZAPO+ZAOP=90°

•・•/APB=60°

:.ZAPO=30°

.•.乙40尸=60。

故答案为：60°.

7.如图，PA,尸5是。。的切线，A,B是切点.若N尸=45。，则N4OB=°.

A

【答案】135

【分析】由切线的性质得/以。=/网。=90。，然后根据四边形内角和可求解.

【解析】解：：为，尸3是。。的切线，

/.ZPAO=ZPBO=90°,

...由四边形内角和可得：ZAOB+ZP=\SO0,

NP=45。,

：.ZAOB=135°；

故答案为：135.

8.如图，P4、P3分别切。。于点43,点£是。。上一点，且/£=50。，则/尸的度数

为.

【答案】80°

【分析】连接4。、8。，根据圆的切线的性质可得/"。=/尸8。=90。，再根据圆周角定

理可得4408=2/£=100。，最后根据四边形内角和为360。，即可求出NP的度数.

【解析】解：连接NO、BO,

■■P4、网分别切。。于点/,B,

ZPAO=ZPBO=90P

•/NE=50°

:.ZAOB=2ZE=lOO°

ZP=360。—ZPAO-ZPBO-ZAOB=360°-90°-90°-l00°=80°

故答案为：80°.

9.如图，PA,尸5分别切。。于点4,B,0是优弧懿上一点，若NP=40。，则N。的度数

是

【答案】70。

【分析】连接CM、OB,根据切线性质可得NO4P=NOAP=90。，再根据四边形的内角和为

360。求得//。比然后利用圆周角定理求解即可.

【解析】解：连接。4、OB,

'：PA,P8分别切OO于点/,B,

ZOAP=ZOBP=9Q°,又ZP=40°,

05=360°-90°-90°-40°=140°,

：.ZQ=--ZAOB=70°,

故答案为：70°.

三、解答题

10.如图，。。与△ABC的边2C相切于点。，与4B、/C的延长线分别相切于点£、F,

连接03,OC.

⑴若/48C=80。，ZACB=40°,求/3OC的度数.

(2)/8。。与//有怎样的数量关系，并说明理由.

【答案】⑴60。

(2)Z5OC=90°-yZ/1,见解析

【分析】(1)方法一：先根据平角的定义求出/MC和NOC/的度数，再根据切线长定理

得至U/EBO=/DBO=g/EBC=5Q。,/DCO=/FCO=g/DCF=7Q。,据此理由三角形内角

和定理求解即可；方法二：如图，连接OD,OE,OF,则由切线的性质可知，证明

RtAODB沿RtAOEB(HL),Rt/\ODC^Rt/\OFC(HL),得到,

ZCOD=ZCOF,先求出//的度数，再利用四边形内角和定理求出NE。8=120。，则

ZBOC=ZBOD+ZCOD=y/EOF=60。.

(2)同(1)方法二求解即可.

【解析】(1)解：方法一：由题意得/匹。=180。-//2。=180。-80。=100。，

ZDCF=1800-ZACB=180o-40o=140°,

由切线长定理可知，NEBO=NDBO=gNEBC=50。,NDCO=NFCO=gNDCF=7。。,

.•.在△08。中，ZBOC=180°-ZOBC-ZBCO=180o-70°-50o=60°；

方法二：如图，连接OD,OE,OF,则由切线的性质可知，

/BEO=ABDO=NCDO=NCFO=90°,

又；OD=OE=OF,OB=OB,OC=OC,

:.RtdODB咨RtAOEB(HL),RtAODC咨RtAOFC(HL),

：.Z.EOB=ADOB,ZCOD=ZCOF,

在△NBC中，ZA=180°-ZABC-ZACB=60°,

在四边形/£。尸中，Zy4+Z£OF=180°,

/E。尸=120。，

Z.BOC=ABOD+ZCOD=yZEOF=60°.

(2)解：同(1)方法二可得/E。尸=180°-//,ZEOB=ZDOB,ZCOD=ZCOF,

：.ZBOC=ZBOD+ZCOD=ZEOF=90°--ZA.

22

11.如图，已知尸，尸2分别与。。相切于点48,ZAPB=60°,C为。。上一点.

(1)如图②求N4C3的度数；

(2)如图②/£为。。的直径，48与2C相交于点。，若48=/。，求/A4c的度数.

【答案】(1)60°；(2)45°

【分析】(1)连接。/、OB,根据切线的性质得到/。/尸=/。8尸=90。，根据四边形内角和

等于360。计算；

(2)连接CE,根据圆周角定理得到N/C£=90。，由(1)知/NCB=60。，则/8。£=90。-60。=30。,

根据圆周角定理可得/8/£=/BC£=30。，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可

计算出NE4C=15。，然后由及4c即可求解.

/OAP=/OBP=90。,

//。2=360°-90°-90°-60°=120°,

由圆周角定理得，AACB=\ZAOB=60°；

：.ZACE=90°,

由（1）知N4CB=60。,

，Z5C£=90°-60°=30°,

・•・ZBAE=ZBCE=30°f

•：AB=AD,

：./ABD=/ADB=75。,

：.ZEAC=ZADB-ZACB=150,

・・・ZBAC=ZBAE+ZEAC=300+15°=45°.

12.如图，CD是。。的切线，切点为。，点。在直径45的延长线上.

（1）求证：ZCAD=ZBDC；

2

（2）若tan/8OC=§,AC=3,求C£>的长.

【答案】（1）见解析；（2）2

【分析】（1）根据切线的性质得到/。。8+/。。5=90。，由是。。的直径，推出

ZODB+ZADO=90°,得到再利用OA=OD,推出//OONDN。，即可证得;

（2）证明推出=根据tan/8£>C=3，得到tan/C/O=

ADAC3

DrjCD

9=7百=三，代入/。=3,即可求出CD

3ADAC

【解析】（i）证明：连接on

•・・cz）是。。的切线，

：.ODLCD,即NOZ）C=90。，

・•・ZCDB+ZODB=90°,

,・7B是。。的直径，

工ZADB=90°,即ZODB+ZADO=90°,

:・NCDB=/ADO,

9：OA=OD,

：.NADO=NDAO,

：.ZCAD=ZBDC；

・•・△CBDsACDA,

.BD_CD

…茄一就‘

2

：tanZBDC=~,

2BDCD

••tanNCAD——=---

3AD~AC

・CD_2

>•一

33

解得：CD=2.

13.如图，在。。中是。。的直径，点尸在氏4的延长线上,PD切。。于点C.BDVPD,

垂足为。，连接8c.

（1）求证：BC平分/PBD；

⑵若尸/=4cm,尸C=4&cm，求。。的半径.

【答案】（1）见解析；（2）2cm

【分析】（1）连接。C,由切线的性质易得到0C〃助，进而推出/OCB=/CBD,结合

OB=0C易得NCBD=NOBC,即可求解；

（2）设半径为「，进而求出。尸=4+.，然后根据勾股定理求解.

【解析】（1）证明：连接。C,

P4IT^O）B

:PD是。。的切线，

OC1PD.

,：BDLPD,

：.OC//BD,

：.ZOCB=ZCBD.

,/OB=OC,

：.AOCB=AOBC,

ZCBD=ZOBC,

:.BC平分/PBD；

（2）解：设半径为r,

则OA=OC=r,

则。尸=4+厂，

在此△尸。。中，由勾股定理得：OC、PC2=OP2,

：.r2+（4V2）2=（4+r）2,

丁・r=2,

即＜3。的半径是2cm.

14.如图，是。。的直径，是。。的切线，AC.CD是。。的弦，且CDL4B,

垂足为E,连接AD并延长，交4W于点P.

⑴求证：ZCAB=ZAPB；

（2）若。。的半径厂=5,NC=8,求线段尸。的长.

32

【答案】⑴见解析；（2）3

【分析】(1)根据//是。。的切线，得出/氏4〃=90。.根据CDL4B,可证ZM〃CO.得

出ACDB=ZAPB.根据同弧所对圆周角性质得出NC4B=NCDB即可；

(2)连接40.根据直径所对圆周角性质得出，ZCDB+ZADC=90°.可证N4DC=NC.得

出/D=/C=8.根据勾股定理50=J/*_/斤=6.再证AP/7?.求出

cnAB210050r

PB=----=——=——即ml可.

BD63

【解析】（1）证明：•••/”是0°的切线,

・・・ZBAM=90°.

丁CD1AB

：.ACEA=90°,

・・.AMHCD.

：.ZCDB=/APB.

•.*/CAB=ZCDB,

NCAB=/APB.

⑵解：如图，连接A。.

・・・为直径,

・・・ZADB=9Q°,

：.ZCDB+ZADC=90°.

・.・ZCAB+ZC=90。,ZCDB=NCAB,

：.ZADC=ZC.

：.AD=AC=S.

9：AB=2r=10,

••BD—VAB2—AD2=6•

VZBAP=ZBDA=9009NABD=/PBA,

：.AADB^APAB.

.ABBD

・・丽一罚.

•_^2_100_50

••D1DJj=---=-----=---.

BD63

・•.D尸萼一6金.

33

15.如图，48为。。的直径，过圆上一点。作。。的切线C。交A4的延长线与点C,过

点0作OE//AD交CD于点E,连接3E.

⑴直线BE与。。相切吗？并说明理由；

(2)若C/=2,CD=4,求的长.

【答案】⑴相切，见解析；⑵OE=6

【分析X1)先证得：NODC=NODE=90°,再证xODE%OBE,得到NOBE=NODE=90°,

即可求出答案；

(2)设半径为「；贝IJ：r2+42=(2+r)2,即可求得半径，再在直角三角形C3E中，利用勾

股定理BCZ+BEZMCEZ,求解即可.

【解析】(1)证明：连接。D.

ZODC=ZODE=90°,

又,：OE〃AD,

：.ADAO=ZEOB,ZADO=ZEOD,

且ZADO=/DAO,

ZEOD=ZEOB,

在AODE与△OBE中;

OD=OB

<ZEOD=ZEOB,

OE=OE

AODE知OBE,

ZOBE=NODE=90°,

直线BE与。O相切.

(2)设半径为r；

则：r2+42=(2+r)2,得厂=3；

在直角三角形C3£中，BC2+BE2=CE-,

(2+3+3)2+叱=(4+DE)2,解得DE=6

16.如图，P为。。外一点，PA、尸3为。。的切线，