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文档简介
仁和中学2021-2022学年度第一学期期中考试
初三年级数学试卷
一、选择题(本题共16分,每小题2分)下面各题均有四个选项,符合题意的只有7个.
1.已知3a=4伏。"。0),则下列各式正确的是()
a4a3aha4
A.=—B.—=—C.—=—D.—=—
b3b4343b
2.2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会.张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则,在古杨树场
馆群修建了250000立方米雨水收集池,用于收集雨水和融雪水,最大限度减少水资源浪费.将250000用科学记
数法表示应为()
A.0.25x10sB.2.5xlO5C.2.5xlO4D.25xl04
3.已知点C是线段A3的黄金分割点,且AC>BC,AC=1.则A8的长为()
A—1+石B.]+"C.2+百D.0.618
222
4.二次函数y=/—6x—1二次项系数、一次项系数和常数项分别是()
A.1,-6,—1B.1,6,1C.0,—6,1D.0,6,—1
5.如图,AD//BE//CF,直线4、4与这三条直线分别交于点A、B、。和。、E、F,若A8=6,BC=3,
DF=12,则。£的长为()
A.4B.6C.8D.9
6.二次函数>=--+5的图像向上平移4个单位,再向右平移3个单位后的解析式()
Ay=-(x-31+9B.y=-(x+3)2+9
C.y=-(x-3)2+4D.y=-(x+3『+l
7.二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为()
A.y=x?+2x-3B.y=x^-2x—3C.y——+2x一3D.y——x2—2.x+3
8.抛物线丁=以2+反+。的顶点为4(2,租),且经过点8(5,0),其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个
结论:①ac<0;②。一人+c>0;③加+9a=0;④若此抛物线经过点C(r,〃),则f+4一定是方程
G?+Z?X+C=〃的一个根.其中所有正确结论的序号是()
A.①②B.①③C.③④D.@@
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.分解因式:2,-2/=.
10.写出一个开口向上,且对称轴在丁轴左侧的抛物线的表达式:.
11.将二次函数y=Y-2》+3写成y=a(x-h)2+k的形式为.
12.如图,在ABC中,A8=AC,点。在AC上(不与点A,C重合),只需添加一个条件即可证明ABC和
工5DC相似,这个条件可以是(写出一个即可).
D
BC
13.如图,为了测量操场上一棵大树的高度,小英拿来一面镜子,平放在离树根部5m的地面上,然后她沿着树根
和镜子所在的直线后退,当她后退1m时,正好在镜中看见树的顶端.小英估计自己的眼睛到地面的距离为
14.点A(-1,yi),B(4,”)是二次函数尸(x-1)2图象上的两个点,则刀”(填“>”,或
“=”)
15.函数y=dt2+0x+c(04xW3)图象如图所示,则该函数的最小值是.
16.如图,将等边△A8C折叠,使得点C落在48边上的点。处,折痕为EF,点E,尸分别在AC和8C边上.若
AC=8,4力=2,则周长为,—的值为
三、解答题(本题共68分)
x-3(x-2)>-4
17.解不等式组:\2尤+1
x-l<-----
I3
18.已知二次函数y=/+4x+3.
(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)画出此函数的图象.
19.已知:如图,ZkABCs/xACD,CD平分/ACB,AD=2,BD=3,求AC、DC的长.
20.二次函数y=ax2+/zx+c(a。。)的图象经过(3,0)点,当x=l时;函数的最小值为-4,求该二次函数的解析
式.
21.如图所示,在4x4的正方形方格中,ABC和_/无厂的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(2)判断—ABC与1)及'是否相似?并证明你的结论.
22.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示:
X-3-2-101
y0-3-4-30
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象:
(3)当-4VxVl时,直接写出y的取值范围.
23.如图,在矩形ABC。中,E为8C的中点,DFLAE,垂足为F,A3=6,BC=4,求AE,。尸的长.
24.如图,一块草地是长80m、宽60m矩形,欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路,这时草坪面积为
ym2.求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
25.抛物线的顶点。的坐标为(1,T),且过点(2,-3),与x轴交于A,8两点,与>轴交于点C.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)求四边形ABDC的面积.
26.如图,在平行四边形ABCD中,连接。3,尸是边BC上一点,连接。尸并延长,交AB的延长线于E,且
ZEDB^ZA.
c
(1)求证:&BDFs公BCD:
(2)如果8。=3E,BC=9,求M的值.
27.在平面直角坐标系xOy中,存在抛物线y=mx2+2以及两点A(-3,m)和
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)若该抛物线经过点A(-3.m),求此抛物线的表达式;
(3)若该抛物线与线段AB只有一个公共点,结合图象,求m的取值范围.
28.已知抛物线、=*一4依+2(arO)过A(-B(2,n),C(3,p)三点.
力
6•
5-
4-
3-
2-
1-
111I11.
-6-5-4-3-2-10123456x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
(1)求抛物线与y轴的交点;
(2)求〃?,〃,P的值(用含有。的代数式表示);
(3)若mnp<0,求。的取值范围.
仁和中学2021-2022学年度第一学期期中考试
初三年级数学试卷
一、选择题(本题共16分,每小题2分)下面各题均有四个选项,符合题意的只有7个.
1.已知3a=4伏。"。0),则下列各式正确的是()
a4a3aba4
A.—=—B.—=—C.—=—D.
b3b4343b
【答案】A
【分析】直接利用分式的基本性质即可得到;的值,再进行选择即可.
b
【详解】3。=4»,等式两边同时除以3从
得:
b4
故选:A.
【点睛】本题考查分式的基本性质,灵活运用分式的基本性质进行变形是解答本题关键.
2.2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会.张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则,在古杨树场
馆群修建了250000立方米雨水收集池,用于收集雨水和融雪水,最大限度减少水资源浪费.将250000用科学记
数法表示应为()
A.0.25x10sB.2.5xlO5C.2.5xlO4D.25xl04
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为“义10"的形式,其中"为整数.确定"的值时,要看把原数变成“
时,小数点移动了多少位,〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,”是正数;当原数的绝对值
<1时,”是负数.
【详解】解:250000=2.5xlO5.
故选B
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10"的形式,其中1W|a|<10,〃为整数,
表示时关键要正确确定〃的值以及〃的值.
3.已知点。是线段AB的黄金分割点,且AC>8C,AC=1,则AB的长为()
A.一1+石B.C.2+君D.0.618
222
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义,知AC为较长线段,则AC=)AB,代入数据即可得出AB的值.
【详解】解:C是线段A3的黄金分割点,且AC>BC,AC为较长线段,
AC=,
AC=l,
AR1+V5
2
故选:B.
【点睛】本题考查了黄金分割,用到的知识点是把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段
的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值(与3叫做黄金比.
4.二次函数y=/-6x-l的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()
A.1,—69—1B.1,6,1C.0,—6,1D.0,6,—1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义:一般地,形如丁=0?+法+或。、b、C是常数,4=0)的函数,叫做二次函
数.其中X、》是变量,a、b、。是常量,。是二次项系数,8是一次项系数,。是常数项作答.
【详解】解:二次函数y=d-6x-l,
,二次项系数、一次项系数、常数项分别是1,-6.-1.
故选:A.
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义,解题的关键是注意在找二次项系数,一次项系数和常数项时,不要漏
掉符号.
5.如图,AD//BE//CF,直线4、右与这三条直线分别交于点A、B、。和。、E、F,若AB=6,BC=3,
DF=12,则OE的长为()
【答案】C
AQnp
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=二二,再求出DE的长度即可.
【详解】解:AD//BE//CF,
.ABDE
,,一,
ACDF
AB=6,BC=3,DF=T2,
6DE
----=——,
6+312
解得:DE=8,
故选:C.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键.
6.二次函数y=-/+5的图像向上平移4个单位,再向右平移3个单位后的解析式()
A.y=—(x-3)'+9B.y=—(x+3)2+9
C.y=-(x-3)'+4D.y=-(x+3)-+l
【答案】A
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案.
【详解】解:二次函数y=-炉+5图像向上平移4个单位,再向右平移3个单位后所得图像的解析式为:
y=+5+4,即y=-(x-3)2+9.
故选:A.
【点睛】本题考查二次函数图像与几何变换.正确掌握平移规律即:右移减、左移加、上移加、下移减是解题的
关键.
7.二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为()
B.y-x2-2x-3C.y=—x2+2x-3D.y=-x2-2x+3
【答案】B
【分析】根据题意,由函数图像的对称轴及与X轴的一个交点,则可以知道函数与X轴的另一个交点,再根据待
定系数法求解函数解析式即可.
【详解】根据题意,二次函数对称轴为x=l,与X轴的一个交点为(—1,0),
则函数与x轴另一个交点为(3,0),
故设二次函数的表达式为y=ar2+bx+c,
函数另外两点坐标(—1,0),(1,-4)
0=9a+3h+c
可得方程组,0=a-b+c,
-4=a+b+c
a=\
解得方程组得
c=-3
所以二次函数表达式为-2x-3.
故答案为B.
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法和二次函数的对称轴的问题,同时考查学生解方程组的知
识,是比较常见的题目.
8.抛物线y=+灰+,的顶点为A(2,〃Z),且经过点3(5,0),其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个
结论:①ac<0;@a-h+c>Q;③加+9。=0;④若此抛物线经过点C(r,“),则/+4一定是方程
ox?+Zzx+c=〃的一个根.其中所有正确结论的序号是()
C.③④D.@@
【答案】B
【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标
为(-1,0),代入解析式则可对②进行判断;由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断;抛物线的对称性得
出点C(r,〃)的对称点是C(4一,则可对④进行判断.
【详解】解:•••抛物线开口向下,
・・,抛物线与y轴交于正半轴,
:.c>0,
ac<09故①正确;
•••抛物线,=公2+必+0的顶点为4(2,加),且经过点3(5,0),
二抛物线y=+Zu+c与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),
:.a-b+c=0,故②错误;
:抛物线的对称轴为直线42,
b
**•----=2,即:b=-4a,
2a
,**CL—b^rC-0»
*.c-b-a--5a,
・・,顶点A(2,m),
,4QC_b~4<3,(_5a)一(_4w)~
・・------=m,即Hn:_____\____L___\m,
4a4a
.\m=-9a,即:m+9a=0y故③正确;
V若此抛物线经过点C(r,n),抛物线的对称轴为直线42,
...此抛物线经过点C(4—r,〃),
a(4—/)'+Z?(4—r)+c=",
4一/一定是方程℃2+/yX+c-n的一、个根,故④错误.
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数),=取2+-+。(对0),二次项系数。决定抛物线的
开口方向和大小:当。>0时,抛物线向上开口;当。<0时,抛物线向下开口;一次项系数6和二次项系数a共同
决定对称轴的位置:当〃与人同号时(即加>0),对称轴在y轴左;当a与匕异号时(即"V0),对称轴在y轴
右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置.
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.分解因式:2/-2/=.
【答案】2(x+y)(x-y)
【分析】先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.
【详解】2x2-2y2=2(x2-y2)=2(x+y)(x-y).
故答案为2(x+y)(x-y).
【点睛】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解要彻
底.
io.写出一个开口向上,且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式:.
【答案】y=/+2x(答案不唯一)
【分析】由开口向上可知。>0,由对称轴在y轴右侧可知6同号,据此写出抛物线的解析式即可.
【详解】解:写出一个开口向上,并且对称轴在y轴左侧的抛物线的解析式,例如:y=f+2x,
故答案为:y=Y+2x(答案不唯一).
【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系,掌握二次函数歹=52+区+C(QH())中,。>0时,抛物线
开口向上,a<0时,抛物线开口向下是解题的关键.
11.将二次函数y=/-2》+3写成y=a(x-h)2+k的形式为.
【答案】y=(x-l)2+2
【分析】根据题意利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式即可.
【详解】解:y=f—2x+3=(x—1『+2.
故答案为:y=(x-l)2+2.
【点睛】本题考查二次函数的一般式化为顶点式,解题的关键是掌握配方法.
12.如图,在ABC中,AB=AC,点。在AC上(不与点A,C重合),只需添加一个条件即可证明,ABC和
qBDC相似,这个条件可以是(写出一个即可).
【答案】ZA=ZCBDZABC=ZBDCsg——=——或•OC(答案不唯一)
BCDC
【分析】相似三角形的判定定理:①两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;②两角对应相等的两个三角
形相似.据此解答即可.
【详解】解:•••/C=NC
添加NA=NCBD或NABC=NBDC或—=—或BG=AC•DC.
BCDC
故答案为:或NA8C=NBOC或"=型或BG=AC・£>C(答案不唯一).
BCDC
【点睛】此题考查了补充条件使两个三角形相似.解题的关键是熟知相似三角形的判定定理,特别注意用对应边
成比例和一个角相等判定三角形相似的时候,其中相等的角一定要是这两条边的夹角.
13.如图,为了测量操场上-一棵大树的高度,小英拿来一面镜子,平放在离树根部5m的地面上,然后她沿着树根
和镜子所在的直线后退,当她后退1m时,正好在镜中看见树的顶端.小英估计自己的眼睛到地面的距离为
1.6m,则大树的高度是m.
【答案】8
【分析】入射角等于反射角,两个直角相等,那么图中的两个三角形相似,利用对应边成比例可求得树高.
【详解】如图:
VZABC=ZDBE,ZACB=ZDEB=90°,
.".△ABC^ADBE,
/.BC:BE=AC:DE,
即1:5=1.6:DE,
/.DE=8m,
故答案为:8.
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方
程,建立适当的数学模型来解决问题.
14.点A(-1,yi),B(4,»)是二次函数y=(x-1)2图象上的两个点,贝ij»_____y2(填“>”,或
“=”)
【答案】(<当
【分析】根据二次函数y=(》一1)2的对称轴为x=l,则x=—l时的函数值,和x=3的函数值相等,进而根据
抛物线开口朝上,在对称轴的右侧》随x的增大而增大即可判断乂,必
【详解】解:.•二次函数y=(x-1)2的对称轴为x=l,
户一1时的函数值%和x=3的函数值相等,在对称轴的右侧y随x的增大而增大
.•3<4
•••M<%
故答案为:7<必
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质,掌握y=a(x-AY图象的性质是解题的关键.
15.函数丁=依2+法+«。4》<3)的图象如图所示,则该函数的最小值是
【答案】-1
【分析】根据二次函数的图象的顶点坐标,即可得到答案.
【详解】由函数图象可知:二次函数的顶点坐标是(1,-1),
:抛物线的开口向上,
该函数的最小值是:-1.
故答案是:-1.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象,理解二次函数图象的开口方向和函数的最值,是解题的关键.
16.如图,将等边AABC折叠,使得点C落在A8边上的点。处,折痕为EF,点E,尸分别在AC和BC边上.若
CE
AC=8,AD=2,则△AEQ周长为,J的值为
CF
【答案】10
7
【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质可得:,DF+CF+CD=W,DF+BF+BD=BC+BD=14,再证明
AAED^/XBDF,由相似三角形周长的比等于相似比,即可得出结果.
【详解】解::△ABC是等边三角形,
:.BC=AB=AC=S,NABC=ZACB=NBAC=60。,
'.'AD=2,
:.BD=6,
由折叠的性质可知:CE=DE,CF=DF,NE£>F=NC=60。,
:.AE+DE+AD=AC+AD=10,即△?!£:£>周长为10,
故答案为:10;
,DF+BF+BD=BC+BD=14,
NEDF=/BAC=ZABC=60°,
ZFDB+ZEDA=ZAED+ZEDA=i20°,
:.NFDB=ZAED,
VZB=ZA=60°,
/XAED^/XBDF,
.AEADED
"~BD~~BF~~DF
.AE+AQ+EQEDCE
•,BD+BF+DF~~DF~~CF
.CE105
"CF-14-7,
故答案为:—.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,熟
练掌握直角三角形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键.
三、解答题(本题共68分)
x-3(x-2)>-4
17.解不等式组:\2x+\
无一1<-------
3
【答案】尤<4
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定
不等式组的解集.
【详解】解不等式x-3(x-2)NT,得:
2尤+1
解不等式X—1<-----,得:x<4,
3
则不等式组的解集为x<4.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大
小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
18.已知二次函数y=X2+4x+3.
(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)画出此函数的图象.
【答案】(1)对称轴为直线%=-2,顶点(一2,-1);
(2)见解析
【分析】(1)将解析式化为顶点式即可;
(2)令y=0,即%2+4犬+3=0,求出两个根即可得出与x轴的交点坐标,再结合顶点坐标,画出函数图象.
【小问1详解】
解:y=x2+4x+3=(x+2)2-1,
・••对称轴为直线%=-2,顶点(一2,-1);
【小问2详解】
解:令y=0,
即d+4x+3=0,
解得:西=-1,工2=-3,
即与X轴的交点坐标为(—1,0),(—3,0),
结合顶点(—2,-1),画图如图:
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、画二次函数图象、求解一元二次方程,熟练掌握二次函数的图象及性
质,数形结合解题是关键.
19.已知:如图,AABCs^ACD,CD平分NACB,AD=2,BD=3,求AC、DC的长.
【答案】AC=M;DC=3.
【分析】根据相似三角形的性质及角平分线的定义即可求解.
【详解】证明:如图
△ASCs/MCQ,
,ADAC
••N1=NJB,-
ACAB
XVCD平分NACB,
.*.Z1=Z2,
;.N2=NB,
:.BD=DC.
":BD=3,
:.DC=3;
又;4£>=2,80=3,
;.AB=5
ADAC
由u——=——
ACAB
得AC2=AD.AB
即AC2=2x5=10
•••Ac=Vio.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质即角平分线性质,解题关键是熟练掌握相似三角形的性质及角平分线
的定义.
20.二次函数y=+&r+c(awO)的图象经过(3,0)点,当%=1时,函数的最小值为~4,求该二次函数的解析
式.
【答案】y=x2-2x-3
【分析】由已知可设二次函数的顶点式,再把点(3,0)的坐标代入顶点式中即可求得。的值,从而求得解析式.
【详解】解:•••当x=l时,函数的最小值为:-4.即抛物线的顶点坐标为(1,-4)
设二次函数的解析式为:y=a(x-l)2-4,
把(3,0)代入y=a(x—l)2_4得:a(3-l)2-4=0,
解得:a=l,
y=(x-l)2-4,
y=x2-2x-3.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的的解析式,属于基本题型,熟练掌握求解的方法是关键.
21.如图所示,在4x4正方形方格中,和.。瓦'的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空:ZABC=,BC=:
(2)判断一ABC与一。比'是否相似?并证明你的结论.
【答案】(1)135°;272
(2)_ABC^_DEF,理由见解析
【分析】(1)根据已知条件,结合网格可以求出NA5C的度数,利用勾股定理即可求出线段的长;
(2)根据相似三角形的判定定理,夹角相等,对应边成比例即可证明-46。与_£>所相似.
【小问1详解】
解:ZABC=900+45°=135°,
BC=^22+22=272;
故答案135°;272;
【小问2详解】
解:"BC:ADEF”
证明:在4x4的正方形方格中,
ZABC=135°,/£)石产=90°+45°=135°,
:.ZABC=ADEF.
AB=2,BC=2V2>EF=2,DE=&
;.噌=焉=夜,型=逑=日
DEV2FE2
.ABBC
''~DE~~EF
•••AABC:AD£F.
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握,解答此题的关键是认真观察图形,得出
两个三角形角和角,边和边的关系.
22.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示:
X-3-2-101
y0-3-4-30
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
(3)当-4<x<l时,直接写出y的取值范围.
*
【答案】(1)y=x2+2x-3;(2)见解析;(3)4^y<5.
【分析】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理.
【详解】(1)由题意可得二次函数的顶点坐标为(-1,-4),
设二次函数的解析式为:y=a(x+1)2-4,
把点(0,-3)代入y=a(x+1)2-4,得a=l,
故抛物线解析式为y=(x+1)2-4,即y=/+2x-3;
(2)如图所示:
.•.当x=-4时,y=(-4+1)2-4=5,
当x=l时,y=0,
又对称轴为x=-1.
.•.当-4<x<l时,y的取值范围是4Sy<5.
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给
定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.也考查了二次函数的图象与性质.
23.如图,在矩形A8CD中,£为BC的中点,OELAE,垂足为尸,AB=6,BC=4,求AE,。尸的长.
AD
L
81―看—1c
【答案】AE=26,DF=—.
5
ADDF
【分析】由勾股定理可求AE的长,通过证明AZMFSA4£B,可得——=——,即可求解.
AEAB
【详解】解:四边形ABCD是矩形,
.-.AD^BC^A,ZB=ZZMB=90°,AD//BC,
:.ZDAE=ZAEB,
E为BC的中点,
:.BE=CE=2,
:.AE=NAB?+BE。=。36+4=2加,
DFAE>
.•."融=々=90。,
/.A£MF^AA£B,
.ADDF
,,________一_____9
AEAB
4DF
"2屈~6,
,密述.
5
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,勾股定理,证明三角形相似是解题的关键.
24.如图,一块草地是长8()m、宽60m的矩形,欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路,这时草坪面积为
ym2.求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
【答案】y=x2-140x+4800(0<x<60).
【分析】可以把两条互相垂直的小路平移到矩形两边上,这样便于表达草坪的长(80-x)m,宽(60-x)m,列出函
数关系式.
【详解】由题意得:
y=(80-x)(60-x),
=X2-140X+4800(0<x<60).
所以函数关系式为:
y=X?—140x+4800(0<x<60).
【点睛】考查二次函数的应用,在列关系式时,将不规则的图象转化为规则图形是解题的关键.
25.抛物线的顶点。的坐标为(1,T),且过点(2,-3),与x轴交于A,8两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)求四边形ABDC的面积.
【答案】(1)y=x~—2,x—3
(2)9
【分析】(1)根据抛物线的顶点。的坐标为(LY),设抛物线的函数表达式:y=a(x-1>-4,将(2,-3)代入
y=a(x-l)2-4中求出。就可:
(2)利用-2%-3,求出的坐标,再利用分割的思想,把求不规则的图形面积转化为规则的图形
的面积.
【小问1详解】
解:抛物线的顶点。的坐标为0,Y),
设抛物线的函数表达式:y=a(x—l)2-4,
将(2,-3)代入y=a(x—l)2—4中,
-3=a(2-l)2-4,
解得:41=1>
y—(x_1)__4—f_2x_3;
【小问2详解】
解:y=x2-2x-3=(x-3)(x+l)=(x-l)2-4,
.•.当y=o时,X]=3,X,=-1,
当x=()时,y=-3,该函数的顶点坐标为(1,-4),
二点A的坐标为(一1,0)点8的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,—3),点。的坐标为(1,-4);
连接AC,CD,8200,如下图所示,
点A的坐标为(一1,0),点3的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,-3),点。的坐标为(1,T),
3x13x13x4
••・四边形ABDC的面积是:S.0c+S"+S&ol,H=^-+—+—=9.
【点睛】本题考查抛物线与*轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是明确题
意,利用二次函数的性质解答.
26.如图,在平行四边形A3CD中,连接Q8,尸是边BC上一点,连接。尸并延长,交A3的延长线于E,且
ZEDB=ZA.
(1)求证:ABDFS^BCD;
(2)如果8。=36,BC=9,求防的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】(1)根据平行四边形对角相等可得NA=NC,又ZEDB=幺,等量代换可得NC=/ED8,再结合公
共角ZDBC=ZFBD,即可证明ABDF^ABCD;
(2)根据(1)的结论,列出比例式代入数值计算可得8b=5.
【小问1详解】
证明:四边形ABC。是平行四边形,
ZA=NC,
ZEDB=ZA,
ZC^ZEDB,
又ZDBC=NFBD,
丛BDFs^BCD;
【小问2详解】
解:4BDFs/\BCD,
BD_BF
BD=35BC=9,
BD2。灼2
BF=------=-----=5'
BC9
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的性质与判定,掌握相似三角形的性质与判定是解题的关
键.
27.在平面直角坐标系xOy中,存在抛物线y=mx2+2以及两点A(-3,m)和B(l,m).
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)若该抛物线经过点A(-3.m),求此抛物线的表达式;
(3)若该抛物线与线段AB只有一个公共点,结合图象,求m的取值范围.
11
【答案】(1)(0,2);(2)y--x9+2;(3)m=2或m4—.
44
【分析】(1)y=mx2+2是顶点式,可得到结论;
(2)把A点坐标代入y=mx?+2得方程,于是得到结论;
(3)分两种情况:当抛物线开口向上或向下时;分别画出图形,找到临界位置关系,求出m的值,再进行分析变
化趋势可得到结
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