2022-2023学年北京三中高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题

卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右

上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和

涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1.若两个正实数X,）'满足,+与=2,且不等式x有解，则实数，〃的

Xy4x

取值范围是（）

A.（—1,2）B.（——2）C.（—2,1）

D.（-oo,-l）U（2+oo）

2.在数列二公中，L:句"net贝1=

C.2D.6

3.某市举行“精英杯”数学挑战赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于

90分的具有复赛资格，某校所有学生的成绩均在区间（30,150］内，其频率分布直方图

如图所示，该校有130名学生获得了复赛资格，则该校参加初赛的人数约为（）

A.200B.400C.2000D.4000

4.向量匕，=(-4,5)/=(%1),若(〃_/?)//力，则2的值是（)

__544

A.B.----C.--D.-2

~435

5.已知变量X与）'正相关，且由观测数据算得样本平均数7=3,歹=3.5,则由该观

测的数据算得的线性回归方程可能是()

A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2.4

C.y=—2%+9.5D.y=-O.3x+4.4

6.下列各角中，与角丁终边相同的角是()

O

13万11〃11419〃

A.--------B.--------C.—D.——

6666

’1

-1

7.已知数列｛q｝的前"项和为s”,且=4+，若对任意WGN*，都有

、2)

"〃(5,—4")<3成立，贝按数/，的取值范围是()

「91「9、

A.(2,3)B.[2,3]C,2,-D.2,-

8.(x+<p)为偶函数的“()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a/,c,已知a：力：c=2:3:4,则A4BC

最大角的余弦值是()

10.已知A5=(3,l),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()

A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,-2)D.(1,2)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知一组数据7、9、8、11、1()、9,那么这组数据的平均数为.

12.圆台两底面半径分别为2cm和5cm,母线长为3VlUcm,则它的轴截面

的面积是cm2.

13.若过点P(2,3)作圆加：/一2%+)；2=0的切线/,则直线/的方程为

14.若方程产+产+2"1r-4)，+2*+3=0表示圆，则实数加的取值范围是.

,_、二但tan20+tan40+tan120

15.计算：-----------------------=.

tan20tan40

16.一个三角形的三条边成等比数列，那么，公比g的取值范围是.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.如图1,已知菱形AECD的对角线4CDE交于点尸，点E为线段A3的中点，

A6=2,ZMD=60°,将三角形沿线段OE折起到的位置，PC=—»

2

如图2所示.

(I)证明：平面PBCJ_平面PCV；

(II)求三棱锥E—的体积.

18.已知函数/(x)=2五5由(5：+夕)(0<0<|^同<|^的图象过点4(0,回，

Q

c(-,0).

3

(1)求。，。的值；

(2)若/(6)=^且eel-m，1"),求/(。一1)的值；

(3)若/(》)—机<0在xe-4,1上恒成立，求实数加的取值范围.

19.已知awl且aeR,比较——与1+a的大小.

1-a

20.设｛““｝和也｝是两个等差数列，记c“=max｛q-白〃-奶，…

("=1,2,3…)，其中maxH，天,…4｝表示％,x2,-工这s个数中最大的数.已知S.

为数列｛%｝的前〃项和，。“〉0，疯="-

(1)求数列｛a,J的通项公式；

(2)若a=巴9,求q,C2,，3的值，并求数列｛%｝的通项公式；

(3)求数列,前〃项和7；.

21.已知S“是等差数列的前几项和，且4=5,«16=31.

(1)求通项公式；

(2)若耳=4一求正整数Z的值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、D

【解析】

2

利用基本不等式求得无+二的最小值，根据不等式存在性问题，解一元二次不等式求

4x

得加的取值范围.

【详解】

由于

1'（14Ky2"I

=2,而

匕+刃=5〔2+#+了）

2

不等式X+二〈加2—有解，所以旭2_加〉2,BP(m-2)(/n+l)>0,解得m<一1

4x

或/”>2.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查不等式存在性问题的求解，考查一元二

次不等式的解法，属于中档题.

2,D

【解析】

将二尸代入递推公式可得n同理可得出二二和力

【详解】

一«_RT-

【点睛】

本题用将-的值直接代入递推公式的方法求某一项，适用于所求项数低的题目，若求

-I

项数较高则需要求数列通项公式。

3、A

【解析】

由频率和为1,可算得成绩大于90分对应的频率，然后由频数+总数=频率，即可得到

本题答案.

【详解】

由图，得成绩大于90分对应的频率=1-(0.0025+0.0075x2)x20=0.65,

130

设该校参加初赛的人数为x,则一=0.65,得x=200,

x

所以该校参加初赛的人数约为200.

故选：A

【点睛】

本题主要考查频率直方图的相关计算，涉及到频率和为1以及频数+总数=频率的应用.

4、C

【解析】

由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出X的值.

【详解】

向量”=(-4,5),(,'=()-,1),

则.-，=(-4-34),

又(“-，.)//',

所以-4%软=0,

解得X=-'.

5

故选C.

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题.

5、A

【解析】

试题分析：因为::与正相关，排除选项c、D,又因为线性回归方程恒过样本点的中

心「'：,故排除选项B；故选A.

考点：线性回归直线.

6、B

【解析】

给出具体角度，可以得到终边相同角的表达式.

【详解】

角J终边相同的角可以表示为a=?+2%r,(keZ),当左=一1时，“=-乎，所以答案

666

选择B

【点睛】

判断两角是否是终边相同角，即判断是否相差2〃整数倍.

7、B

【解析】

1<p(S〃-4〃)43

对任意neN*都成立，

当〃=1时，

当〃=2时，2<p<6

4

当〃=3时，一<〃44

3

归纳得：2<p<3

故选3

点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列｛%｝的前"项和为S“，为求，的

取值范围则根据〃为奇数和〃为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果

8、A

【解析】

试题分析：当.、=-时，-kW［时，--是偶函数，当;？=；5匕1卜；曲绯是

偶函数时，=>-k-.k€Z,所以不能推出是0=；,所以是充分不必要条件，故

选A.

考点：三角函数的性质

9、B

【解析】

由边之间的比例关系，设出三边长，利用余弦定理可求.

【详解】

因为a:0:c=2:3:4,所以c边所对角最大，设a=2Z1=3Z,c=4k,由余弦定理

4女2+9/_16攵2

得cosC=故选B.

2-2k-3k4

【点睛】

本题考查余弦定理，计算求解能力，属于基本题.

10、A

【解析】

由向量减法法则计算.

【详解】

BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

故选A.

【点睛】

本题考查向量的减法法则，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11>9

【解析】

利用平均数公式可求得结果.

【详解】

由题意可知，数据7、9、8、11、10、9的平均数为7+9+8+"+*)+9=9.

6

故答案为：9.

【点睛】

本题考查平均数的计算，考查平均数公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

12、63

【解析】

首先画出轴截面，然后结合圆台的性质和轴截面整理计算即可求得最终结果.

【详解】

画出轴截面，

如图，过A作AM_LBC于

则BM=5-2=3(cm),

AM=NAB?-BM°=9(cm),

_(4+10)x9

2

所以sHiS®ABC«=----------------------=63(c/n).

2

【点睛】

本题主要考查圆台的空间结构特征及相关元素的计算等知识，意在考查学生的转化能力

和计算求解能力.

13、4x—3y+1=0或％-2=0

【解析】

讨论斜率不存在时是否有切线，当斜率存在时，运用点到直线距离等于半径求出斜率

【详解】

圆V:/-2x+y?=0即(x-l)-+;/=1

①当斜率不存在时，x=2为圆的切线

②当斜率存在时，设切线方程为y一3=Z(x—2)

即kx—y—2k+?>=G

行‘

4

解得％=§

41

此时切线方程为一x—y+§=0,即4x-3y+l=0

综上所述，则直线/的方程为4x-3y+l=0或x-2=0

【点睛】

本题主要考查了过圆外一点求切线方程，在求解过程中先讨论斜率不存在的情况，然后

讨论斜率存在的情况，利用点到直线距离公式求出结果，较为基础。

14、(-1,1).

【解析】

把圆的一般方程化为圆的标准方程，得出表示圆的条件，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，方程f+y+Zax-4y+2/+3=0可化为(x+/n)2+(y-2)2=1-m2,

方程表示圆，贝1J满足1-加>0，解得-1<机<1.

【点睛】

本题主要考查了圆的一般方程与圆的标准方程的应用，其中熟记圆的一般方程与圆的标

准方程的互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础.

15、-V3

【解析】

试题分析：

tan20+tan40+tan120tan60:(l-tan20:tan40s)+tan120s卜

tan20tan40tan20:tan40;

考点：两角和的正切公式

点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.

Vs—1布+1

1K6>--------<q<--------

22

【解析】

设三边按递增顺序排列为a,aq,aq2,其中。>0应21.

则即/一.解得

22

由起1知4的取值范围是1与<上g.

2

设三边按递减顺序排列为a,aq,aq-,其中a>0,0<q<1.

则aq2+aq>a,即/+,一1>0.

解得正二

2

综上所述，萼

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、（I）见证明；（II）」

8

【解析】

（I）折叠前，AClDEt,从而折叠后，DELPF,DELCF,由此能证明。E_L平面

PCF.

再由DC//AE,DC=AE能得到DC//EB,DC=EB.说明四边形DEBC为平行四边形.可

得CB//DE.由此能证明平面P8C_L平面PCF.

（II）由题意根据勾股定理运算得到PF_LC「，又由（I）的结论得到8C_LPF,

可得PF±平面BCDE,再利用等体积转化有VE_PBC=VP_BCE=|xS&BCExPF,计

算结果.

【详解】

（I）折叠前，因为四边形AEC。为菱形，所以AC_LOE；

所以折叠后，DELPF,DEA.CF,又PFcCF=F,PF,CFu平面PCF,

所以平面PCF

因为四边形AEC。为菱形，所以AE//DC,AE=DC.

又点E为线段A3的中点，所以EB//DC,EB=DC.

所以四边形OE3C为平行四边形.

所以CB//DE.

又。石，平面PC产，所以平面PCE.

因为BCu平面PBC,所以平面PBCJ"平面PC广.

(H)图1中，由已知得Af=C/=@,BC=BE=1,NCBE=60°

2

所以图2中，PF=CF=B,又PC二旦

22

所以所以PFJ_CF

又8C_L平面PCF,所以8C，PF

又BCcCF=C,BC,CFu平面BCDE,

所以PF_L平面BCDE,

所以Vg-psc=Vp_BCE=LxSABCExPF=—x—xlxlxsin60x^~=—.

33228

所以三棱锥E-PBC的体积为1.

o

【点睛】

本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基

础知识，考查了三棱锥体积的求法，运用了转化思想，是中档题.

18、(1)0==|(2)|；(3)(1+73,+K)

【解析】

Q

(D根据A(0,、％),C(-,0)两点可确定①，9的值；

(2)由(1)知，f(x)=2＞/2sin(—xH—),求出sin(—0H—)9cos(—0H—)的值,

434343

然后根据/(。-1)=2V2[sin(-^+-)cos-+cos(-0+^)sin,求出其值即可；

434434

(3)/(x)-根＜0在xel,自上恒成立，只需相＞/(幻,皿，求出/(x)在xei,

才上的最大值即可.

【详解】

(1)由./'(。)=遥得：20sin°=\/^,即sinQ=^^,

由时知，夕=?，

7T

/./(x)=272sin69X+—

3。＜。后,

由/偿)=0得：2夜sin8冗

-69+—=0,即+q=

33

即0=^^-?(AwZ),由0<&<、得，0=?,所以/(x)=20sin(7x+。

(2)由/(e)=苧得：2夜sin[?e+?)=苧，即sin(?e+g)=1,

71

“8-1)=20sin

4

八万、冗(乃C7t\.7t

2,2sin一夕+—cos----cos一夕+—sin—

(43)4(43)4

由得:乃八兀2万5万

(3)xw-4,|—0+—&

43行'77

.•.当xe-4,-时，f(x}=2V2sin—=272sin(-+-U1+V3,

3JJ\小12(46J

A实数〃?的取值范围为(1+6,+oo).

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，三角函数值的求法，以及在闭区间上的三角函

数的值域问题的求法，意在考查学生整体思想以及转化与化归思想的应用能力.

19、详见解析

【解析】

[2222

将两式作差可得」--(1+«)=—,由上一＞0、/二=0和/二＜0可得大小

1—a1—ci1—a1—a1-a

关系.

【详解】

2

l-(l+a)(l-a)_l-(l-a)_a

1—ci1—a

当。<1且QW()时,

当a=0时，—=0

\-a

当a>l时，-^―<0：.-^—<l+a

\—a\—ci

综上所述：当ae(F,0)(0,1)时，—>l+a；当a=0时，—=l+a；当

ae(l,+oo)时，<l+a

【点睛】

本题考查作差法比较大小的问题，关键是能够根据所得的差进行分类讨论；易错点是忽

略差等于零，即两式相等的情况.

20、(1)。“=272-1；(2)q=0,c2=-1,c3=-2,cn=1一〃；(3)(=――———

【解析】

(1)根据题意，化简医=铝得s„==’+,痴1，运用已知s”求明

公式，即可求解通项公式；

(2)根据题意，写出“通项，根据c“定义，令〃=1,〃=2,”=3,可求解。，c2,c3

的值，再判断4一〃"单调递减，可求数列｛c,,｝的通项公式；

⑶由(1)⑵的数列｛凡｝、｛%｝的通项公式，代入数列,中，运用错位

相减法求和.

【详解】

(1)•:厄,：.S=。+2%+1,

、2"12J4

当〃=1时，=>+2q+l,化简得才-24+1=(),，卬=1,

12；4