2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第31讲平面向量的综合应用教师版

第31讲平面向量的综合应用思维导图知识梳理向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题题型归纳题型1平面向量与平面几何【例1-1】平面内及一点满足，则点是的A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心【分析】利用表达式，转化推出所在的位置，得到结果即可．【解答】解：平面内及一点满足，可得，所以在的平分线上，，可得：，所以在的平分线上，则点是的内心．故选：．【例1-2】在中，若，记，，，则下列结论正确的是A． B． C． D．【分析】可作出图形，然后作，从而得出四边形是平行四边形，并设的边上的高为，的边上的高为，从而可得出，进而得出，从而可求出，从而得出正确选项．【解答】解：如图，作，则，四边形是平行四边形，，设的边上的高为，的边上的高为，则：，，，．故选：．【跟踪训练1-1】已知点是的重心，，若，，则的最小值是A． B． C． D．【分析】由三角形重心的性质可得，，设，由向量数量积的定义可知，可得，然后根据向量数量积的性质可得，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，，，则根据向量的数量积的定义可得，设即（当且仅当取等号）即的最小值为故选：．【跟踪训练1-2】等腰三角形中，，点在线段上，，，，则面积为，点是外接圆上任意一点，则最大值为．【分析】画出图形，利用已知条件求出，然后求解三角形的面积；由平面向量的线性运算去分析转化求解最大值．【解答】解：等腰三角形中，，点在线段上，，，，可得：，，，可得，则，到的距离为：，面积为：．设的外心即中点为，外接圆的半径为：，，，．由平面向量的线性运算知，，所以，由图可知：．当时，，则最大值为．故答案为：；．【名师指导】向量与平面几何综合问题的2种解法基向量法适当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决题型2平面向量在解析几何中的应用【例2-1】已知直线与圆交于，两点，是坐标原点，向量，满足，则实数的值为A．2 B．2或 C．1或 D．或【分析】根据，得即，如图所示故圆心到直线的距离，可求得．【解答】解：，两边平方，得，即，如图所示故圆心到直线的距离，求得．故选：．【跟踪训练2-1】已知，，点是圆上的一个动点，则的最大值为A．16 B．20 C．24 D．28【分析】设出的坐标，求出向量，利用向量的数量积以及三角函数的最值转化求解即可．【解答】解：，，点是圆上的一个动点，设，则，，则，期中．．则的最大值为24．故选：．【名师指导】向量在解析几何中的2个作用载体作用向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题工具作用利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法题型3平面向量的其他应用【例3-1】加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：约为（参考数据：取重力加速度大小为，A．63 B．69 C．75 D．81【分析】由题意知，夹角，计算的模长，再求出体重即可．【解答】解：由题意知，，夹角，所以，即；所以；，则该学生的体重（单位：约为，故选：．【跟踪训练3-1】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可作出，进而求出的值，从而得出物体重力