2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第34讲等差数列及其前n项和学生版

第34讲等差数列及其前n项和思维导图知识梳理1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．(2)前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(→,\s\up7(an＝a1＋n－1d))Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．[常用结论]已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(6)若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2).(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值Sm.题型归纳题型1等差数列的基本运算【例1-1】在等差数列中，若，，则公差A． B． C．3 D．【例1-2】若等差数列满足，，则数列的首项A．20 B． C．22 D．【例1-3】已知等差数列中，，公差，则与的等差中项为A． B． C． D．6【跟踪训练1-1】若为等差数列，是数列前项和，，，则该数列的公差为A．21 B．2 C．3 D．4【跟踪训练1-2】已知等差数列的公差为，，，则A．2 B．3 C．6 D．9【跟踪训练1-3】等差数列中，，，则A．14 B．17 C．20 D．23【名师指导】等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．(2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．题型2等差数列的判定与证明【例2-1】已知数列，且．求证：数列是等差数列，并求；令，求数列的前项和．【跟踪训练2-1】已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且．（1）求及的值．（2）已知数列满足，证明数列是等差数列，并求其前项和．【名师指导】等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．题型3等差数列的性质及应用【例3-1】在等差数列中，，，则A．8 B．9 C．10 D．11【例3-2】设等差数列的前项和为，若，，则A．27 B．33 C．36 D．45【例3-3】设等差数列满足：，公差，其前项和为．若数列也是等差数列，则的最小值为A．3 B．2 C．5 D．6【跟踪训练3-1】设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若，则A． B．11 C．12 D．13【跟踪训练3-2】在等差数列中，，，则A． B． C． D．0【跟踪训练3-3】已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，若，则A． B． C． D．【跟踪训练3-4】在数列中，若，则此数列前项和的最小值为A． B． C． D．3【跟踪训练3-5】已知等差数列，其前项和为，若，，则的最大值为A．12 B．24 C．36 D．48【跟踪训练3-6】等差数列，的前项和分别为，，若，则．【跟踪训练3-7】已知和均为等差数列，若，，则的值是．【名师指导】1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔eq\f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an；③eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是首项为a1，公差为eq\f(d,2)的等差数列．2.求等差数列前n项和Sn及最值的2种