2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第40讲直线平面平行的判定与性质教师版

第40讲直线、平面平行的判定与性质思维导图知识梳理1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b题型归纳题型1直线与平面平行的判定与性质【例1-1】如图，三棱柱中，，，分别为棱，，中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证，进而利用线面平行的判定定理即可证明平面．（2）由已知可证是平行四边形，进而证明，利用线面平行的判定证明平面，根据面面平行的判定证明平面平面，根据面面平行的性质即可可证平面．【解答】证明：（1）在中，，分别为棱，中点．所以，因为平面，平面，所以平面．（2）在三棱柱中，，因为，分别为，中点，所以，所以是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面，所以平面．【例1-2】如图，五面体，四边形是矩形，是正三角形，，，是线段上一点，直线与平面所成角为，平面．（1）试确定的位置．（2）求三棱锥的体积．【分析】（1）连接、相交于，则为的中点，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定可得平面；（2）由为的中点，得，由已知求得到平面的距离为，可得到平面的距离为．再求出三角形的面积，代入三棱锥体积公式求得三棱锥的体积．【解答】解：（1）如图，四边形是矩形，连接、相交于，则为的中点，取中点，连接，则，平面，平面，平面．此时为中点；（2）为的中点，．直线与平面所成角为，是正三角形，，到平面的距离为，到平面的距离为．又四边形是矩形，且，．．三棱锥的体积为．【跟踪训练1-1】如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的性质定理即可证明；（Ⅱ）取的中点，连接，，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；（Ⅲ）取中点，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．【解答】证明：（Ⅰ）在四棱锥中，平面，平面，平面平面，，（Ⅱ）取的中点，连接，，是的中点，，，又由（Ⅰ）可得，，，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．（Ⅲ）取中点，连接，，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又由（Ⅱ）可得平面，，平面平面，是上的动点，平面，平面，线段存在点，使得平面．【跟踪训练1-2】在正方体中，点为棱的中点．问：在棱上是否存在点，使得面？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由．【分析】取中点，中点，连结，，则，，从而平面平面，由此推导出在棱上存在中点，使得面．【解答】解：在棱上存在中点，使得面．理由如下：取中点，中点，连结，，在正方体中，点为棱的中点．，，，，平面平面，平面，面．【名师指导】1.证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．2.在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．题型2面面平行的判定与性质【例2-1】如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面．【分析】推导出，，由此能证明平面平面．【解答】证明：底面为正方形，，棱与均垂直于底面，，，，，平面平面．【跟踪训练2-1】如图，在正方体中，．（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面平面．【分析】（1）通过平移先作出异面直线所成的角，进而求出即可；（2）利用线面、面面平行的判定定理即可证明．【解答】解：（1）连接、．由正方体可得，对角面是一个平行四边形，．或其补角即为异面直线与所成的角，△是一个等边三角形，即为异面直线与所成的角；（2）证明：由（1）可知：，而平面，平面，平面，同理可得平面，又，平面平面．【名师指导】证明面面平行的常用方法1．利用面面平行的定义或判定定理．2．利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．3．利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．题型3平行关系的综合应用【例3-1】如图，已知，是平面，外的一点，直线，分别与、相交于、和、．（1）求证：；（2）已知，，，求的长．【分析】（1）由面面平行的性质即可得证；（2）由平行线的性质即可求解．【解答】解：（1）证明：，平面，平面，；（2）由（1）可知，，即，．【跟踪训练3-1】如图，平面，线段分别交