【数学】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第2课时 2023-2024学年高一下人教A版（2019）必修第二册

8.3简单几何体的表面积和体积

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

第2课时知识探究

思考1：我们前面已知学习过球体，它是“以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的曲面(球面)所围成的旋转体”.

如果用一个平面去截一个球，截面都是圆面.其中球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆.你还记得球的截面的性质吗？(1)球的截面是一个圆面；(2)连心线(球心与小圆圆心连线)垂直截面；(3)球的半径R、截面圆半径r、连心线段d满足：

思考2：球能与圆柱、圆锥、圆台一样，直接简单地展开成平面图形，然后计算其表面积吗？不能.其表面积需要用极限的思想进行推导事实上，球的表面积S是关于半径R的一次函数S=4πr球的表面积设球的半径为R，则它的表面积为大圆面积的4倍

思考3：在小学,我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何推导的吗？(1)先将圆分成若干个相同的扇形：(2)再拼成一个近似的矩形(分成越细越大接近)：(3)最后用矩形的面积公式得出：

思考4：类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式?

第一步：分割．

如图，将球O的表面分成

n个小网格，连接球心

O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成

n个“小锥体”.

第二步：近似替代．

当n越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．

设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是

第三步：由近似和求得球体积．

由于球的体积是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．

因此球的体积：球的体积设球的半径为R，则它的体积为解：练习解：由S球=V球，得∴球的半径等于3时，其体积和表面积的数值相等.

2.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？(教材P119练习第2题)

例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)例析解：一个浮标的表面积为∴

给1000个这样的浮标涂防水漆所需涂料约为

例2.如图示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.R设球的半径为R，则解：O圆柱的底面半径也为R，高h=2R.即球与圆柱的体积之比为2:3.

思考：若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，那么圆锥、球、圆柱的体积之比是怎样的？

例3.(1)把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多大面积的纸?(2)一水晶球内嵌有一个棱长分别为2，3，4的长方体工艺品，且此长方体的各顶点刚好全在球面上，此水晶的体积是多少(忽略中空)．解：思考(1)：用纸最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体思考(2)：此时球的半径或直径与正方体的棱长有何关系？

球的直径=正方体的棱长

用纸最省时，球内切于正方体.此时球的直径2R=正方体的棱长a∴a＝5cm，纸盒的表面积为S=6a2=6×52=150∴至少要用150cm2的纸

例3.(2)一水晶球内嵌有一个过同顶点的棱长分别为2cm，3cm，4cm的长方体工艺品，且此长方体的各顶点刚好全在球面上，此水晶的体积是多少(忽略中空)．解：

思考(3)：这种情况我们称长方体内接于球.

此时球的直径是什么呢？

由题意知，

长方体内接于球.此时

球的直径2R=长方体的对角线∵长方体过同顶点的棱长分别为2，3，4.

∴长方体的对角线为

球的直径=长方体的对角线∴此水晶的体积为1.将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的

最大零件的体积.解：

由题意知，此时2R=6，即R=3.∴最大球零件的体积为练习2.一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有

200000cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球.如果木球

的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽

中溢出.解：由题意知，木球浸在水中的体积为∴水不会从水槽中溢出.(教材P119练习第3，4题)3.已知过球面上三点A，B，C的截面和球心O的距离为球半径的

一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积

解：

如图，设截面圆心为O1

,连接AO1，并延长与BC交于点D，连接OA

由正三角形的性质知，D为BC中点，且截面半径为