概率专题强化训练 高三数学二轮专题复习

2/2概率专题二轮强化训练1．新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科.(1)从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率.2．多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；(2)现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为12，得2分的概率为14；丙同学得5分的概率为16，得2分的概率为12.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这23．我国某科创企业使用新技术对一种晶圆进行试产，晶圆是制造各式芯片的基础．现对该种晶圆进行自动智能检测，已知自动智能检测显示该种晶圆的次品率为2%，且每个晶圆是否为次品相互独立．该企业现有最新批次的晶圆10000方法1：对10000个晶圆逐一进行检测．方法2：将10000个晶圆分为1000组，每组10个．对于每个组，先把10个晶圆串联起来组成一个晶圆组，对该晶圆组进行一次检测．如果检测通过，那么可断定这10个晶圆均为正品；如果不通过，那么再逐一检测．(1)按方法2，求一个待检的晶圆组中恰有1个次品的概率（结果保留4个有效数字）．(2)从平均检测次数的角度，哪种方法较好？请说明理由．（参考数据：0.9884．3月14日为国际数学日，也称为π节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是34,35，通过第二轮比赛的概率分别是4(1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；(2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是13,23，假设每道题抢与5．某校高二（1）班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有“奖”字.(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数X的分布列、数学期望及方差；(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.6．某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.(1)求某顾客摸出红球的概率；(2)设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为Y元，求随机变量Y的数学期望EY7．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；(2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成.8．某电商专门生产某种电子元件，生产的电子元件除编号外，其余外观完全相同，为了检测元件是否合格，质检员设计了图甲、乙两种电路.(1)在设备调试初期，已知该电商试生产了一批电子元件共5个，只有2个合格，质检员从这批元件中随机抽取2个安装在甲图电路中的A，B处，请用集合的形式写出试验的样本空间，并求小灯泡发亮的概率；(2)通过设备调试和技术升级后，已知该电商生产的电子元件合格率为0.9，且在生产过程中每个电子元件是否合格互不影响，质检员从该电商生产的一批电子元件中随机抽取3个安装在乙图电路中的A，B，C处，求小灯泡发亮的概率.9．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者A1,A2,A3,A4(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列及数学期望、方差.10．某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为34和12(1)随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率；(2)操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作；方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作.假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值.11．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，所有球的大小、形状完全相同.(1)从1号箱中不放回地依次取2个球，每次取一个，求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率；(2)若从1号箱中任取2个球放入2号箱中，再从2号箱中任取1个球，求取出的这个球是红球的概率.12．某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是34，A，B(1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．13．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为P1；第1次摸到红球的概率为P2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4(3)对于事件A,B,C，当PAB>0时，写出P 14．设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.15．盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球．不放回．(1)若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．记摸出的红球个数为X．求随机变量X的分布列和数学期望．(2)若A盒中有4个红球和4个白球，B盒中在2个红球和2个白球．现甲、乙、丙三人依次从A号盒中摸出一个球并放入B号盒，然后丁从B号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．参考答案1【详解】（1）依题意，样本空间为Ω={物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，n(记事件A=“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则A={物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，n(A)=5，所以P(A)=n(A)（2）记事件M1=“甲符合该大学某专业报考条件”，事件M2=“乙符合该大学某专业报考条件”，事件M=由（1）可知，PM1=P2．【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有11种：AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,ABD,ABCD，其中正确选项只有一个，样本空间Ω=共11个基本事件，所以他猜对本题得5分的概率为P=1（2）由题意得乙得0分的概率为1-12-14=1乙比丙刚好多得5分的情况包含：事件B：乙得10分，丙得5分，则PB事件C：乙得7分，丙得2分，则PC事件D：乙得5分，丙得0分，则PD所以乙比丙总分刚好多得5分的概率P=PB+C+D3．【详解】（1）记“一个待检的晶圆组中恰有1个次品”为事件A．因为10件晶圆是否为次品相互独立，所以PA（2）第1种方法的检测次数为10000．第2种方法：每个晶圆需要被检测的次数X的取值为110或11一组晶圆若为正品，则X=110；若为次品，则所以PX=110EX因为共有10000个晶圆，所以平均检测总次数为10000EX=2829．故方法2远好于方法4．【详解】（1）设甲､乙通过两轮制的初赛分别为事件A1则PA1=34PX=0PX=1PX=2所以EX（2）依题意甲､乙抢到并答对一题的概率分别为PBPB2=23①甲得200分：其概率为15②甲得100分，乙再得-100分，其概率为C2③甲得0分，乙再得-200分，其概率为23故乙先得100分后甲获胜的概率为1255．【详解】（1）解：由题意可知，X~B3,则PX=0=2PX=2=C所以，随机变量X的分布列如下表所示：X0123P8365427所以，EX=3×3（2）解：记事件A:第一次抽到印有“奖”字卡片，事件B:第三次抽到未印有“奖”字卡片，则PA=610=35所以，在第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率为496．【详解】（1）设A1=“从甲箱中摸出黑球”，A2=“从甲箱中摸出白球”，B=“从乙箱中摸出红球”，C=“某顾客摸出红球因为PB∣A1（2）设该家庭每个人获得的奖金为X元，则X的取值可能为0,90,180，则PX=0PX=90PX=180所以随机变量X的分布列为X090180P2342EX=90×又因为Y=4X，所以EY=4E7．【详解】（1）设顾客的奖励额为X,依题意得P（2）根据方案一，设顾客的奖励额为X1,其可能取值为30，，30m60PX1=30=ED根据方案二，设顾客的奖励额为X2,其可能取值为40，60PX2=40=ED商场对奖励总额的预算是30000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二8．【详解】（1）由题意可得Ω={（合格，合格），（合格，不合格），（不合格，不合格）}设事件C：小灯泡发亮，则PC=C32（2）当小灯泡亮的时候，元件A一定是合格的，元件B,C中至少有一个是合格的，第一种情况：元件A合格，元件B合格，元件C不合格，则P1第二种情况：元件A合格，元件B不合格，元件C合格，P2第三种情况：元件A合格，元件B合格，元件C合格，P3=0.9×0.9×0.9=0.729；则小灯泡发亮的概率9．【详解】（1）记“接受甲种心理暗示的志愿者包含A1但不包含B1”为事件则PM（2）由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(X=0)=C65C10P(X=3)=C43所以随机变量X的分布列为：X01234P151051因此，E(X)=0×1DX=110．【详解】（1）用事件A1表示选择甲种无人运输机，用事件A用事件B表示“选中的无人运输机操作成功”，则P(B)=P(（2）设方案一和方案二操作成功的次数分别为X，Y，则X，Y的所有可能取值均为0，1，2，方案一：PX=0PX=1PX=2所以EX方案二：PY=0PY=1PY=2所以EY所以EX>EY，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案11．【详解】（1）设“从1号箱中第1次取得红球”为事件A，“从1号箱中第2次取得红球”为事件B，PA=46=23，PBA=（2）设“从2号箱中任取1个球是红球”为事件C，“从1号箱中任取2个球都是红球”为事件B1“从1号箱中任取2个球1个红球和1个白球”为事件B2“从1号箱中任取2个球都是白球”为事件B3，则事件B1，B2PB1=C4PCB1=5所以PC所以取出的这个球是红球的