新人教版第4章《几何图形初步》知识及测试题

第4章《几何图形初步》知识与测试总结日期：2015年3月13日讲解日期：2015年3月14日几何图形认识立体图形〔1〕几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．

〔2〕立体图形：有些几何图形〔如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等〕的各局部不都在同一个平面内，这就是立体图形．

〔3〕重点和难点突破：

结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各局部不都在同一平面内．点、线、面、体1〕体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．

〔2〕从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．

〔3〕从几何的观点来看点是组成图形的根本元素，线、面、体都是点的集合．

〔4〕长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．

〔5〕面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．欧拉公式〔1〕简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F-E=2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．

〔2〕V+F-E=X〔P〕，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X〔P〕是多面体P的欧拉示性数．几何体的外表积几何体的外表积=侧面积+底面积〔上、下底的面积和〕常见的几种几何体的外表积的计算公式

①圆柱体外表积：2πR2+2πRh〔R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高〕

②圆锥体外表积：πr2+nπ〔h2+r2〕360〔r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角〕

③长方体外表积：2〔ab+ah+bh〕〔a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高〕

④正方体外表积：6a2〔a为正方体棱长认识平面图形〔1〕平面图形：一个图形的各局部都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等．

〔2〕重点难点突破：

通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内．几何体的展开图〔1〕多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．

〔2〕常见几何体的侧面展开图：

①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．

〔3〕立体图形的侧面展开图，表达了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．

从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．展开图折叠成几何提体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中识别它们能否折叠成给定的立体图形正方体相对两个面上的文字〔1〕对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的根底上直接想象．

〔2〕从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．

〔3〕正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．截一个几何体截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规那么图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，假设一个几何体有几个面，那么截面最多为几边形直线射线线段直线射线线段的表示直线、射线、线段的表示方法

①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母〔直线上的〕表示，如直线AB．

②射线：是直线的一局部，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．

③线段：线段是直线的一局部，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB〔或线段BA〕．点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外直线的性质〔1〕直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．

〔2〕经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．线段的性质线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．

简单说成：两点之间，线段最短．两点间的距离两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离比拟线段的长短〔1〕比拟两条线段长短的方法有两种：度量比拟法、重合比拟法．

就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD．

〔2〕线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．

〔3〕线段的和、差、倍、分及计算

做一条线段等于线段，可以通过度量的方法，先量出线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于线段．

如图，AC=BC，C为AB中点，AC=12AB，AB=2AC，D为CB中点，那么CD=DB=12CB=14AB，AB=4CD，这就是线段的和、差、倍、分．第三节角一：角〔1〕角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．

〔2〕角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否那么分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母〔如∠α，∠β，∠γ、…〕表示，或用阿拉伯数字〔∠1，∠2…〕表示．

〔3〕平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．

〔4〕角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．钟面角〔1〕钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．

〔2〕计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据外表上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．

〔3〕钟面上的路程问题分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°

时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．方向角〔1〕方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．

〔2〕用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先表达北或南，再表达偏东或偏西．〔注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．〕

〔3〕画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边那么表示对象所处的方向的射线．二：角的比拟与运算度分秒的换〔1〕度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．

〔2〕具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．角平分线的定义〔1〕角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．

〔2〕性质：假设OC是∠AOB的平分线那么∠AOC=∠BOC=12∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．

〔3〕平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．角的计算〔1〕角的和差倍分

①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②假设射线OC是∠AOB的三等分线，那么∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．

〔2〕度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．

〔3〕度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．计算器---角的换算科学型计算器

计算器上面的函数区，三行二列的键〔．，，，〕就是度分秒转换的键．

输入数值，如输入30.5，先按=，再按〔．，，，〕键，就显示出30°30′0″．

如果要输入30°30′0″，先输入30在“度”的位置按一下，再输入30在“分”的位置再按一下，最后输入0，在“秒”的位置再按一下就可以得到30°30′0″．假设要转化为度，那么按=，再按〔．，，，〕键，就显示出30.5°．三：余角和补角〔1〕余角：如果两个角的和等于90°〔直角〕，就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．

〔2〕补角：如果两个角的和等于180°〔平角〕，就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．

〔3〕性质：等角的补角相等．等角的余角相等．

〔4〕余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．

注意：余角〔补角〕与这两个角的位置没有关系．不管这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，那么它们就具备相应的关系．网第一卷〔选择题〕一、选择题〔本大题共14题，每题3分，共42分，在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合要求的〕1、如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是……...…〔〕A.和B.谐C.社D.会2、下面左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图是.〔〕3、如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是.………….………〔〕A.正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C.正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥4、如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的是…………...…〔〕5、以下说法中正确的选项是………………...…〔〕A.画一条3厘米长的射线B.画一条3厘米长的直线C.画一条5厘米长的线段D.在线段、射线、直线中直线最长6、如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠与∠互余的是…………...〔〕7、点E在线段CD上，下面四个等式①CE＝DE；②DE＝CD；③CD＝2CE；④CD＝DE.其中能说明E是线段CD中点的有………….…〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个8、C是线段AB上一点，D是BC的中点，假设AB＝12cm，AC＝2cm，那么BD的长为…….〔〕A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm9、如图是一正方体的平面展开图，假设AB＝4，那么该正方体A、B两点间的距离为………..〔〕A.1B.2C.3D.410、用度、分、秒表示91.34°为.……….….〔〕A.91°20/24//B.91°34/C.91°20/4//D.91°3/4//11、以下说法中正确的选项是….〔〕A.假设∠AOB＝2∠AOC，那么OC平分∠AOBB.延长∠AOB的平分线OCC.假设射线OC、OD三等份∠AOB，那么∠AOC＝∠DOCD.假设OC平分∠AOB，那么∠AOC＝∠BOC12、如图,小华的家在A处，书店在B处，星期日小华到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线…………...〔〕A．A→C→D→BB．A→C→F→BC．A→C→E→F→BD．A→C→M→B13、同一平面内有四点，过每两点画一条直线，那么直线的条数是……..…….〔〕A.1条B.4条C.6条D.1条或4条或6条14、甲、乙两人各用一张正方形的纸片ABCD折出一个45°的角〔如图〕，两人做法如下：甲：将纸片沿对角线AC折叠，使B点落在D点上，那么∠1＝45°；乙：将纸片沿AM、AN折叠，分别使B、D落在对角线AC上的一点P，那么∠MAN＝45°对于两人的做法，以下判断正确的选项是…………...〔〕A.甲乙都对B.甲对乙错C.甲错乙对D.甲乙都错Ⅱ卷(非选择题)二、填空题〔本大题共6题，每题3分，共18分〕15、我们在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为16、上午8:30时，时针和分针的夹角为17、线段AB=10,直线AB上有一点C,且BC=4,M是线段AC的中点,那么AM的长为18、在同一平面内，n〔n＞1〕条直线最多可有__________条交点．〔用含有n的代数式表示19、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，那么∠AOC＋∠DOB＝20、如下图，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至点B，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至点C，那