《应用微积分》8.4无穷级数

无穷级数第8章主讲教师：

第8章无穷级数级数的概念与性质常数项级数审敛法幂级数8.4无穷级数习题课123级数的内涵级数的敛散级数的训练给定一个数列将各项依称上式为无穷级数.级数的前n项和次相加,简记为那么称无穷级数发散.称为级数的局部和.收敛,那么称无穷级数并称S

为级数的和,记作8.4.1级数内涵-基本概念定义8.1等比级数(又称几何级数)

参照级数：时,等比级数收敛;时,等比级数发散.判断以下级数的敛散性〔2〕〔3〕〔1〕需要记住！！！！！！！！注意讨论级数的敛散性.是公比为的等比级数，那么当即时，级数收敛，且当,即时，级数发散。解例1级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.1收敛级数可以逐项相加与逐项相减.在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.2收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.38.4.1级数内涵-相关性质设收敛级数那么必有观察以下级数的敛散性：由于一般项不趋于0，因而都发散。8.4.1级数内涵-必要条件定理8.1提示数项级数敛散性判断性质函数项级数敛散性判断互相关联敛散性

级数敛散—数项判断〔1〕假设那么称为正项级数.即：局部和数列特征：于是有：正项级数收敛的充要条件8.4.2（1）级数敛散-正项判断定义8.3可否推广呢？如何推广思考审敛法1——比较法大收小收小发大发定理8.3大收小收小发大发推论8.2

级数的敛散性，(其中是实数)．级数【注】〔1〕使用比较法的关键是找到适宜的参照级数；〔2〕调和、等比和P-级数是最常用的参照级数。请记住这个参照级数判定级数的敛散性．因为而级数级数发散．发散，解例2设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果定理8.4比较法——极限形式〔更加方便〕其中0<l<∞，那么级数与敛散性相同。定理8.4比值审敛法的优点:不必找参考级数.比较比较审敛法的缺点:必须找参考级数.定理8.5审敛法2——比值法【注】级数中含有“阶乘”时，通常使用比值法。定理8.5

根据比值法可知原级数发散．判别级数

的收敛性.

解例3由数学分析知识有结论：定理8.6〔审敛法3—根值法〕【备注】比值和根值审敛法一个失效时，另一个也失效。定理8.6分类：任意项级数是指对级数级数敛散—其余如何判断？？联想？为正项级数。不难发现：

考虑：可否利用级数的敛散性，来考察的敛散性。需首先引入绝对收敛与条件收敛的概念。

对任意项级数假设假设原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,那么称原级收敛,数为条件收敛.绝对收敛.【如】绝对收敛；那么称原级数条件收敛.8.4.2（1）级数敛散-相关概念定义8.4思考！！！！！！！！

结论：绝对收敛收敛。8.4.2数项级数敛散-任意项判断定理8.7由于是正项级数，故把正项级数的审敛法稍作修改，得到它的比值法和根值法。修正的比值法〔根值法〕那么有定理8.8联想？讨论如下：解例4

交错级数：各项符号正负相间如的级数.其中(Leibnitz

判别法)假设交错级数满足条件那么级数收敛,且其和其8.4.2数项级数敛散-交错概念与判断定义8.5定理8.9绝对收敛条件收敛解例5稍作休息！！否是是否是失效比较法交错级数否莱布尼兹判别法失效失效请记住一般级数数项敛散—全方略否数项敛散—全方略判断以下级数的敛散性。结论：发散.结论：发散.结论：发散.例6否是是否数项敛散—全方略判断以下级数的敛散性。结论：发散.结论：发散.例7否是是否是数项敛散—全方略结论：收敛.结论：发散.判断以下级数的敛散性。解例8否是是否是数项敛散—全方略结论：三个都收敛.判断以下级数的敛散性。例9解否是是否是失效比较法请记住数项敛散—全方略比值审敛法失效,改用比较审敛法.

判断级数的敛散性。例10提示否是是否是失效比较法交错级数否莱布尼兹判别法失效请记住一般级数数项敛散—全方略显然有由莱布尼兹判别法知原级数收敛。判断级数的敛散性。解例11否是是否是失效比较法交错级数否莱布尼兹判别法失效请记住一般级数数项敛散—全方略所以原级数收敛.判断级数的敛散性.解例12判断级数的敛散性.所以原级数发散.解例13否是是否是失效比较法交错级数否莱布尼兹判别法失效失效请记住一般级数数项敛散—全方略

级数敛散—函数项判断〔2〕函数项级数敛散性判断性质数项级数敛散性判断互相关联敛散性设为定义在区间I上的函数项级数.对假设常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;假设常数项级数为定义在区间I上的收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域.函数,称8.4.2函数项级数敛散-相关概念定义8.6形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论为幂级数的系数.的情形,即称函数项级数—相关概念定义8.7发散发散收敛收敛发散假设幂级数那么对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,假设当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,那么对满足不等式8.4.2函数项级数敛散-Abel定理定理8.10（3）存在幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散假设的系数满足即1)当

≠0时,2)当

＝0时,3)当

＝∞时,那么的收敛半径为8.4.2函数项级数敛散-敛散判断的收敛半径.级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由解例14假设幂级数的收敛半径那么其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:【注】逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.性质两边积分得解例15求级数的和函数例16无穷级数

无穷级数1级数的内涵级数的敛散23级数的训练〔A〕

收敛，其和为零〔B〕

收敛但和不一定为零〔C〕

发散〔D〕

可能收敛，可能发散8.4.3级数训练的敛散情况是（）（A）收敛（B）

收敛且和为（C）

发散（D）敛散性不定(3)设则该级数（）（A）收敛（B）发散（C）敛散性不定

（D）若必收敛(4)以下级数收敛的是〔〕（A）（B）（C）（D）（5）级数的敛散情况是（）（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）条件收敛（6）设有级数，以下命题正确的是（）（A）收敛收敛（B）收敛收敛（C）发散发散（D）以上结论均不对〔7〕以下级数条件收敛的是〔〕（A）（B）（C）（D）〔8〕以下级数收敛的是〔〕（A）（B）（C）（D）〔9〕以下级数收敛的是〔〕（A）（B）（C）（D）〔10〕以下级数收敛的是〔〕（A）（B）（C）（D）〔11〕以下级数发散的是〔〕（A）（B）（C）（D）(A)绝对收敛〔B〕条件收敛〔C〕发散〔D〕收敛性与a的取值无关（12）设a为常数，则级数（）(A)绝对收敛〔B〕条件收敛〔C〕发散〔D〕收敛性与a的取值无关（13）设a为常数，则级数（）〔14〕以下级数收敛的是〔〕（A）（B）（C）（D）（15）级数的敛散情况是（）(A)绝对收敛〔B〕条件收敛〔C〕发散〔D〕不能判定其敛散性〔16〕以下级数收敛的是〔〕（A）（B）（C）（D）(A)绝对收敛〔B〕条件收敛〔C〕发散〔D〕收敛性与K的取值无关（17）设常数，则级数（）〔A〕R=1〔B〕R=2〔C〕R=3〔D〕R=4（18）设幂级数在时发散，在时收敛，则该级数的收敛半径R为（）提示〔A〕R=1〔B〕R=2〔C〕R=3〔D〕R=4（19）设幂级数在时条件收敛，则该级数的收敛半径R为（）提示（A）R=0（B）R=1（C）R=2（D）（20）设为一等差数列，其公差,则级数的收敛半径R为()提示(21)级数的收敛域及和函数为（）（A）（B）（C）（D）故此幂级数的收敛域为又当时，幂级数发散提示设幂级数的和函数是(22)设，则级数的收敛半径R为（）（A）R=2（B）R=1（C）（D）(23)幂级数的收敛区间为（）（A）（B）（C）（D）(24)幂级数的收敛区间为（）（A）（B）（C）（D）(25)幂级数在上的和函数为（）（A）（B）（C）（D）以上均不对〔A〕发散〔B〕条件收敛〔C〕绝对收敛〔D〕不能判定其敛散性(26)