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第2章控制系统的数学模型2.1控制系统的微分方程2.2微分方程的线性化2.3Laplace变换和逆变换2.4传递函数2.5系统方块图及其简化2.6信号流图及MASON公式2.7控制系统建模欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.1控制系统的微分方程例1如图所示质量-弹簧-阻尼系统，其中f：粘性系数，m：质量，k：弹簧刚度，F(t)：输入力，y(t)：输出位移。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页例2RLC无源网络，ui(t)为输入电压，uo(t)为输出电压。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页例3列写积分运算放大器的微分方程，ui(t)为输入电压，uo(t)为输出电压，K0运放的放大倍数。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页列写系统微分方程的步骤1.将系统划分为各个环节，确定各环节的输入信号和输出信号；2.根据物理定律或实验方法，列出各环节数学模型，并考虑简化和线性化；3.各环节联立，消去中间变量，最后得出输入输出变量以及其它参量的系统微分方程；4.单输入单输出的线性微分方程可表示为系数由系统结构参数决定。由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，m<=n欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.2微分方程的线性化线性系统最重要的特点是可以运用叠加原理：

若干个输入作用在系统中的总响应等于各输入单独作用于系统的响应之和。然而严格地说，实际物理元件和系统都是非线性的。叠加原理不适用于非线性系统，这给求解非线性系统带来不便，因此需要对所研究的系统作线性化处理。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页图示为连续变化的非线性函数y=f(x)线性化方法是：把非线性函数在工作点x0附近展成泰勒级数，略去高次项，便得一个以增量为变量的线性函数：当增量（x-x0)很小时，略去其高次幂项，则欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页是比例系数，它是函数f(x)在工作点A点的切线斜率。将线性增量方程代入系统微分方程，便可得系统线性化方程。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页同理可得，多变量非线性函数在工作点附近的线性增量函数为欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页液压系统阀控缸部分：输入量是阀芯位移xv输出量是活塞及负载位移y欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页由流体力学知，液压缸的负载流量qL是阀芯位移xv和负载压力pL的双变量非线性函数，将上式在某工作点xv0附近展开为Taylor级数，忽略高次项流量增益流量-压力系数增益欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页由于液压油作用是连续的，根据连续性方程得得欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页线性化总结线性化是相对某一工作点，工作点不同，线性化方程的系数也不同；2)偏差愈小，线性化精度愈高；

3)线性化适用于连续变化的单值函数。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.3Laplace变换和逆变换2.3.1Laplace变换的定义2.3.2典型函数的Laplace变换2.3.3Laplace变换的的性质2.3.4Laplace逆变换2.3.5

用Laplace变换求解常系数线性微分方程欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.3.1Laplace变换的定义

设函数x(t)，满足

其中x(t)为时间t的函数，在每个有限区间内连续或分段连续，则x(t)的Laplace变换定义为式中

s

—

复变数，且

x(t)—X(s)的原函数；

X(s)—x(t)的Laplace变换（或称为象函数）1)2)欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.3.2典型函数的Laplace变换1.单位阶跃函数1(t)

则

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.指数函数欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页3.脉冲函数

(t)4.正弦和余弦函数欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.3.3Laplace变换的的性质1.叠加性

若则欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.微分性

原函数f(t)的导数的Laplace变换f(t)的n阶导数的Laplace变换若f(t)及各阶导数的初值均为0，即则欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页3.积分定理：原函数f(t)的积分的Laplace变换式中欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页4.位移定理5.延迟定理欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页6.初值定理

若函数f(t)的Laplace变换为F(s)，且存在，则时间函数f(t)的初始值7.终值定理若函数f(t)的Laplace变换为F(s)，且存在，则原函数f(t)的稳态值欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页8.比例尺的改变9.时间乘函数的Laplace变换欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页例2-16求如图所示的阶梯曲线的Laplace变换。解

根据图示的阶梯曲线可得阶梯函数的表达式为

f(t)=A[1(t)+1(t-T)+1(t-2T)+1(t-3T)+…]对阶梯函数f(t)进行Laplace变换得欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页当Re(s)>0时，有

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.3.4Laplace逆变换Laplace逆变换公式为简写

直接通过积分求Laplace逆变换通常很繁锁，对于一般问题都可以避免这样的积分，利用Laplace变换表2-1，查表求原函数。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页对于一般的控制系统，可以用通用有理分式表示使分母为零的s值称为极点，使分子为零的点称为零点。

根据实系数多项式分解定理，分母有n次多项式，则必然有n个根，因此F(s)可分解为欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页其中

对于F(s)这类分式，一般采用部分分式展开法求解Laplace逆变换。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页1)只含单极点的情况

式中

为常数，

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页将

代入F(s)的表达式并进行Laplace

逆变换得

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页例2-19求

的Laplace逆变换

解

其中欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页因此

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2)含有共轭复数极点的情况将上式两端同乘(s+

j

s

j

，同时令s=－

－j

或s＝－

＋j

得即可得

可以通过配方，化成正弦或余弦函数的象函数，然后求其Laplace逆变换。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页例2-20求

的Laplace逆变换解

将F(s)两端同乘

并令

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页解得

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页3)多重极点的Laplace逆变换欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页根据Laplace逆变换表可得由此可得多重极点的Laplace逆变换。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页例2-21求

的Laplace逆变换解

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.3.5用Laplace变换求解常系数线性微分方程例2-23求方程

满足初始条件

的解。解

对方程两端进行Laplace变换，并将初始条件代入得欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页将Y(s)展开成部分分式之和得对Y(s)取Laplace

逆变换得

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页利用Laplace变换求解微分方程解的步骤1)对微分方程进行Laplace变换，并代入初始条件；2)求解因变量Laplace变换的代数方程；3)求解因变量Laplace逆变换，得到所求的微分方程的解。

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.4传递函数一.传递函数定义在零初始条件下，系统输出量的Laplace变换与输入量的Laplace变换之比。假设线性定常系统的微分方程为式中，xo(t)为系统的输出量，xi(t)为系统的输入量，ai，bj与系统结构有关的常数。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页对上式两端进行Laplace变换，并代入零初始条件（指输入量、输出量及其各阶导数在t=0时的值均为0）则系统的传递函数为零初始条件含义为1)输入量在t=0+时开始作用于系统，因此t=0-时系统的输入量及各阶导数均为零；2)输入量在作用于系统之前，系统相对静止，因此系统输出量及其各阶导数在t=0时的值也均为零。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页二.传递函数的性质1.传递函数是经拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。2.传递函数只能表示单输入单输出的关系。3.传递函数只取决于系统的结构和参数，与输入量无关。4.一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页典型环节的传递函数1)比例环节又称为放大环节在时域里，比例环节的输出量与输入量成比例。(K为常数)在零初始条件下进行Laplace变换得

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页例1如图所示的运算放大器，其中ui(t):输入电压，uo(t):输出电压，R1,R2:电阻。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2)一阶惯性环节在时域里，如果输入、输出函数可表达一阶微分方程

在零初始条件下对上式进行Laplace变换，得

则传递函数为

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页例2如图所示的无源网络电路(其中RC＝T)欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页3)微分环节如果输出变量正比于输入变量的微分，对上式两端进行Laplace变换得

则传递函数为欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页在实际的机电控制工程系统中，理想的微分环节很难实现，通常用

(其中T，K为常数)来近似微分环节。

例3如图所示的无源微分网络

(其中K=1，T=RC)欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页4)积分环节如果输出变量正比于输入变量的积分，即对上式进行Laplace变换得则传递函数为欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页例4如图所示的积分运算放大器

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页5)二阶振荡环节如果输入、输出函数可用如下二阶微分方程对上式进行Laplace变换得则传递函数为欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页例5如图所示的R-L-C无源网络

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.5系统方块图及其简化一.方块图的组成方块图指描述系统各元件之间信号的传递关系的数学图形。方块图又称结构图，它表示系统输入变量与输出变量之间的因果关系以及系统中各变量所进行的运算，是控制系统中描述复杂系统的一种非常简便的方法。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页信号线:带有箭头的直线，箭头表示信号传递的方向，

在直线一侧标出信号的名称，一般多用象函数表示。2)引出点(测量点)：表示信号引出或测量的位置同一位置引出的信号特性完全相同欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页3)比较点(综合点)：表示两个或两个以上的信号相加减运算

4)方块(环节)：表示信号进行的数学转换

方块中写入元件或系统的传递函数

方块的输出变量就等于输入变量与传递函数的乘积

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页二.方块图的等效变换1.串联方块图的等效

串联后总的传递函数为每个串联环节的传递函数的乘积，

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.并联环节的等效方块图并联环节总的传递函数等于各个环节传递函数之和。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页3.反馈环节的等效方块图输入输出之间的关系为

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页4.方块图的等效规则a.各前向通道的传递函数乘积不变；b.各回路传递函数的乘积不变。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页例2-40简化方块图2-32，并求传递函数。欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页解1)将A点后移得

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2)消除G3(s)，

G4(s)，G6(s)的回路得欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页3)欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页4)消去所有的回路得

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页2.6信号流图及MASON公式一.

信号流图信号流图中的网络是由一些定向线段将一些节点连接起来组成。信号流图的基本性质如下图示的方块图与之对应的信号流图的关系

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页节点表示系统的变量或信号，通常，节点是自左向右设置，每一个节点的信号是所有通过节点信号的代数和，而同一节点流向各支路的信号均用该节点的信号表示，任何节点都用空心圆圈

“ο”表示。2)支路相当于乘法器，信号流经支路时，流入支路的信号乘以支路的增益等于流出支路的信号，3)信号在支路上只能沿箭头方向单向传递。4)同一系统，节点变量可以任意设置，信号流图不唯一，但最终的传递函数是唯一的。

欢迎光临厦门大学物理与机电工程学院首页名词术语

源节点(输入点)：只有信号输出的支路，而没有信号输入的支路的节点，它一般代表系统的输入变量，亦称输入节点。阱节点(输出点)：只有