数学模型作业(华农)

数学模型〔2011-2012〕选修课期末考试姓名：欧晨 专业：电子信息工程年级：2010级学号：201030100107得分：时间：有3对夫妻过河，舱至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河?〔20分〕eq\o\ac(○,1)建模分析：eq\o\ac(○,2)模型建立:eq\o\ac(○,3)结果与结论:不难验证，经11次可取运算即可完成。此题为状态转移问题，解决这种问题的方法,有状态转移法，图解法及用图的邻接距阵等。我们设地面是一个球面(直径是12．72×103公里)，显然，如果高层建筑的墙是垂直的，那么它们是不平行的。现有一个建筑物高400米．地面面积2500平方米，问顶层有多大的额外面积?〔15分〕eq\o\ac(○,1)建模分析：r=6.36x10000，h=400，S地=2500，求S顶。eq\o\ac(○,2)模型建立:球的外表积S=4πr²，S地和S顶所对应的角度是一样的。所以：S地:4πr²=S顶:4π(r+h)²eq\o\ac(○,3)结果与结论:得：S顶=(160/159)²x2500

S顶-S地=31.55m²

市场上有不同包装的洗衣粉，其重量与价格之间的关系如下表：问这些数据是否集中在某条直线附近?如果不是．根据这些数据是否可以建立一个经验模型?〔20分〕eq\o\ac(○,1)建模分析：先做出重量Y与价格X的散点图看似在某条直线附近，可用最小二乘法…eq\o\ac(○,2)模型建立:eq\o\ac(○,3)结果与结论:a=0.783b=在小说《格里佛游记》中，小人国中的人们决定给格里佛相当于一个小人食量1728倍的食物。他们是这样推理的，因格里佛身高是小人的12倍，他的体格是小人的123＝1728倍。所以他需要的食物是一个小人食量的1728倍。为什么他们的推理是错误的？正确的选项是答案是什么?〔20分〕eq\o\ac(○,1)建模分析：人体进食是为了维持能量的消耗，因此所需的能量与体重有关。而体重y与身高x有什么关系呢？是否y=K*x*x*x？eq\o\ac(○,2)模型建立:身高〔cm〕60708090100110120130140150160170体重〔kg〕55.05以体重y为纵轴，以身高x为横轴建立直角坐标系，并描出相应的散点图如下：图一观察上述图像，并利用EXCEL分别用线性〔即一次函数〕、二阶多项式〔即二次函数〕进行拟合发现，该散点图的变化趋势与二次函数的图像比拟接近，添加趋势线后的图像如下：图二因此，可以设身高与体重的函数模型的一般表达式为：Y=ax2+bx+c(a≠0)选取最靠近趋势线的几个点〔70，7.9〕、〔110，17.5〕、〔130，26.86〕、〔150，38.85〕，分别带入模型得到：a=0.0037,b=-0.431,c=19.697.故，不同身高〔x〕体重〔y〕之间的函数关系为：2-0.431x+19.697eq\o\ac(○,3)结果与结论:将上述题目数据带入该公式，假设小人国身高为k，格里佛为12k，不难得到〔小人国体重〕Yk*kk〔格里佛体重〕Y2=0.037*12k*12k-0.431*12那么m=Y2/Y1即可得到答案。一年一度的高考很快就要临近了。现在有一位应届高中毕业生要请你帮助选报高考志愿。选报时通常要考虑到学校的声誉、教学、科研、文体及环境条件，同时又要结合本人兴趣、考试成绩和毕业后的出路等因素。在每一因素内还含有假设干子因素，如教学因素中要考虑到教师水平、学生水平、深造条件等。考生可填A、B、C、D四个志愿。试用层次分析法作出决策。〔25分〕eq\o\ac(○,1)建模分析：填报高考志愿〔A〕，这里考虑的主要因素有：学校声誉〔B1〕、教学水平〔B2〕、学校环境〔B3〕、兴趣爱好〔B4〕、报考风险〔B5〕、毕业后出路〔B6〕、地理位置〔B7〕，同时在教学水平〔B2〕中我们还要同时考虑教师水平〔C1〕、学生水平〔C2〕、教学设备〔C3〕这三个子因素。最后我们将从学生提出的八个志愿中，选择出最正确的四个。为了形象地表示出它们的关系，我们列出了它们之间的关系，如图eq\o\ac(○,2)模型建立:设有因素x1，x2…，xn每次取两个因素xixj，用正数aij表示xi与xj的重要性之比。由全部比拟结果得到矩阵A=〔aij〕，称作成比照拟阵A。显然有。然后求出成比照拟矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量Y=(y1,y2,…,yn)T，定义标准化向量。对成比照拟阵A=〔aij〕，令〔*〕称U=〔U1，U2，…，Un〕T为X={x1，x2，…，xn}的权向量，它反映n个因素对目标A的相对重要性。经验证，U与Y′误差很小，所以一般都用U代替Y′。对于公式〔*〕，对于一致性矩阵，即满足aij•ajk=aikUk可以简化为那么.Xi代表第i项因素的重要性指标。eq\o\ac(○,3)结果与结论:〔1〕考虑B={B1，B2，…，B7}这七个因素对目标A2的相对重要性。B1B2B3B4B5B6B7目标A2108481073U〔x〕=〔〕T。〔2〕考虑C={C1，C2，C3}这三个因素对目标A2的相对重要性。C1C2C3目标A27108U〔y〕=〔〕T。经调查，学生A2所要选报的八个志愿为：清华金融、清华精密仪器、北大计算机、北大物理、北大环境、厦门数学、厦门法学、北航计算机，分别设这八个志愿为K1，K2，…，K8。〔3〕考虑对于因素C1，C2，C3，比拟K1，K2，…，K8的相对差异。K1K2K3K4K5K6K7K8因素C1101010101010109因素C21010101010998因素C3910101010999Wc1(K)=)T,Wc2(K)=)T,Wc3(K)=)T。〔4〕考虑对于因素B1，B3，B4，…，B7，比拟K1，K2，…K8的相对差异。K1K2K3K4K5K6K7K8因素B11010101010998因素B3101010101010109因素B4107875888因素B51271410106因素B61091071071010因素B71010101010999WB1(K)=(0.132,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.104)T,很显然，得分拓在前四位的志愿是K7，K6，K3很显然，得分拓在前四位的志愿是K7，K6，K3，K8，也就是厦门法学、厦门数学、北大计算机、北航计算机这四个志愿最适合A2报考。WB4(K)=(0.164,0.115,0.131,0.115,0.082,0.131,0.131,0.131,)T,WB5(K)=(0.024,0.049,0.171,0.024,0.098,0.244,0.244.0.146)T,WB6(K)=(0.137,0.123,0.137,0.096,0.137,0.096,0.137,0.137)T,WB7(K)=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.130,0.123,0.123,0.123)T。最后再计算学生A