二次函数yax2bxc的图像与性质第二课时

二次函数yax2bxc的图像与性质第二课时contents目录引言二次函数y=ax^2+bx+c的图像二次函数y=ax^2+bx+c的性质二次函数y=ax^2+bx+c的应用二次函数y=ax^2+bx+c的图像变换练习题与课堂互动01引言二次函数$y=ax^2+bx+c$的定义和基本概念二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标的求解方法二次函数与$x$轴的交点情况分析回顾上节课内容难点：如何利用二次函数的性质解决实际问题重点：二次函数的图像特征和性质的理解与应用学会利用二次函数的性质解决实际问题，如求最值、判断函数单调性等掌握二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像特征，包括开口方向、对称轴、顶点坐标以及与$x$轴的交点情况理解二次函数的性质，包括最大值、最小值、增减性等本节课目标和重点02二次函数y=ax^2+bx+c的图像当a<0时，二次函数y=ax^2+bx+c的图像是一个开口向下的抛物线。抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a。当a>0时，二次函数y=ax^2+bx+c的图像是一个开口向上的抛物线。图像的基本形状

图像的对称性和平移性二次函数y=ax^2+bx+c的图像关于对称轴x=-b/2a对称。若图像沿x轴平移h个单位，则新的函数表达式为y=a(x-h)^2+bx+c。若图像沿y轴平移k个单位，则新的函数表达式为y=ax^2+bx+c+k。二次函数y=ax^2+bx+c的图像与y轴的交点为(0,c)。若图像与x轴有交点，则交点坐标满足方程ax^2+bx+c=0，可通过求解该方程得到交点坐标。若图像与x轴无交点，则抛物线位于x轴的上方或下方，具体取决于a的正负。图像与坐标轴的交点03二次函数y=ax^2+bx+c的性质当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。开口方向抛物线的宽度与|a|的大小有关，|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽。宽度开口方向和宽度对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。抛物线的对称轴是直线x=-b/2a。对于开口向上的抛物线，对称轴是最低点的垂线；对于开口向下的抛物线，对称轴是最高点的垂线。顶点和对称轴对称轴顶点单调性当a>0时，抛物线在对称轴左侧是减函数，右侧是增函数；当a<0时，抛物线在对称轴左侧是增函数，右侧是减函数。最值对于开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点处，最小值为c-b^2/4a；对于开口向下的抛物线，其最大值出现在顶点处，最大值为c-b^2/4a。单调性和最值04二次函数y=ax^2+bx+c的应用利用二次函数可以表示一些几何图形的面积，如抛物线与坐标轴围成的面积，可以通过求解二次函数的定积分得到。求解几何图形的面积二次函数y=ax^2+bx+c的图像是一个抛物线，其形状由系数a、b、c决定。通过调整这些系数，可以得到不同开口方向、顶点位置和对称轴的抛物线，从而描述不同的几何图形。描述几何图形的形状在几何中的应用描述物体的运动轨迹在物理学中，二次函数可以用来描述物体在重力作用下的运动轨迹。例如，自由落体运动的位移与时间的关系可以用二次函数表示。求解物理量通过二次函数可以求解一些物理量，如物体的初速度、加速度、最大高度等。这些物理量可以通过分析二次函数的图像和性质得到。在物理中的应用描述成本与收益的关系在经济学中，二次函数可以用来描述成本与收益之间的关系。例如，总成本函数和总收益函数都可以用二次函数表示，通过分析这些函数的图像和性质，可以得到一些经济指标，如边际成本、边际收益等。求解最优化问题在经济学中，经常需要求解一些最优化问题，如最大化利润、最小化成本等。这些问题可以通过求解二次函数的极值点得到解决。在经济中的应用05二次函数y=ax^2+bx+c的图像变换0102平移变换当a<0时，图像向下平移k个单位，得到y=ax^2+bx+c-k的图像；图像向左平移h个单位，得到y=a(x+h)^2+bx+c的图像。当a>0时，图像向上平移k个单位，得到y=ax^2+bx+c+k的图像；图像向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+bx+c的图像。对称变换当a>0时，图像关于y轴对称，得到y=ax^2-bx+c的图像；图像关于x=h对称，得到y=a(x-h)^2+b(x-h)+c的图像。当a<0时，图像关于y轴对称，得到y=ax^2+bx+c的图像；图像关于x=-h对称，得到y=a(x+h)^2-b(x+h)+c的图像。当|a|>1时，图像在y轴方向上进行伸缩变换，纵坐标变为原来的1/|a|倍。当0<|a|<1时，图像在y轴方向上进行伸缩变换，纵坐标变为原来的|a|倍。当b≠0时，图像在x轴方向上进行伸缩变换和平移变换，横坐标变为原来的1/|b|倍，并向左或向右平移|b|/(2a)个单位。伸缩变换06练习题与课堂互动已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)和(2,3)，且a>0，求该二次函数的解析式。题目一已知二次函数y=-x^2+2x+3，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程。题目二已知二次函数y=x^2-2x-3，判断该函数图像与x轴的交点个数，并求出交点坐标。题目三练习题选讲如何判断二次函数图像与x轴的交点个数？问题一问题二问题三二次函数图像的对称轴和顶点坐标有什么关系？如何根据已知条件求出二次函数的解析式？030201学生提问环节总结一：通过本节课的学习，我们掌握了判断二次函数图像与x轴交点个数的方法，以及求二次函数解析式、顶点坐标和对称轴方程的方法。总结二：在学习过程中，同学们要注意理解二次函数图像的性质和特点，掌握相关的方法和技巧。答疑一：对于问题一，我们可以通过计算判别式Δ=b^2-4ac来判断二次函数图像与x轴的交点个数。当Δ>0时，有两个交点；当Δ=0时，有一个交点；当Δ<0时，没有交点。答疑二：对于问题二，二次函数图像的对称轴方程是x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a,c-b^2/4a)。对称轴和顶点坐标是二次函