随机过程-Ch1概率论

随机过程-ch1概率论目录CONTENTS概率论基础随机变量随机过程马尔科夫链贝努利过程与泊松过程随机过程在各领域的应用01概率论基础概率的定义与性质概率的公理化定义概率是一个非负实数，满足特定条件下的完备性、可加性和正定性。概率的性质概率具有有限可加性、全概率为1、概率的转移性等性质。在给定某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。条件概率两个或多个事件之间没有相互影响，即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。独立性条件概率与独立性在给定某个事件发生的条件下，其他事件发生的概率可以用条件概率和全概率公式计算。贝叶斯定理在统计学、机器学习等领域有广泛应用，如分类器设计、参数估计等。贝叶斯定理应用场景贝叶斯定理02随机变量离散随机变量是在可数样本空间上的函数，其取值是离散的。定义投掷一枚骰子，得到的结果是1、2、3、4、5、6，这是一个离散随机变量。例子离散随机变量的概率分布可以用概率质量函数（PMF）表示，即P(X=x)的形式。概率分布离散随机变量123连续随机变量是在一个连续样本空间上的函数，其取值是连续的。定义人的身高、体重等都是连续随机变量。例子连续随机变量的概率分布可以用概率密度函数（PDF）表示，即f(x)的形式。概率分布连续随机变量

期望、方差和矩期望期望是随机变量所有可能取值的概率加权和，表示随机变量取值的平均水平。数学上表示为E[X]。方差方差是随机变量取值与其期望的差的平方的期望，表示随机变量取值的离散程度。数学上表示为Var[X]。矩矩是描述随机变量取值分布形态的数字特征，包括一阶矩（期望）、二阶矩（方差）、三阶矩（偏度）等。03随机过程定义随机过程是随机变量的集合，每个随机变量都与时间或其他参数有关。分类离散随机过程和连续随机过程，平稳随机过程和非平稳随机过程等。随机过程的定义与分类均值函数方差函数自相关函数功率谱密度函数随机过程的统计特性描述随机过程的期望值随时间的变化。描述随机过程在不同时间点的相关性。描述随机过程的变化量随时间的变化。描述随机过程的频率特性。一个简单的离散随机过程，其中每个时间步的增量是随机的。随机游走布朗运动股票价格变化一个连续随机过程，描述微观粒子的无规则运动。一个连续随机过程，描述股票价格随时间的变化。030201随机过程的实例04马尔科夫链定义马尔科夫链是一个随机过程，其中下一个状态只依赖于当前状态，与过去的状态无关。性质马尔科夫链具有无记忆性，即未来状态与过去状态独立。此外，马尔科夫链的状态转移概率具有稳定性，即无论从哪个状态开始，最终都将趋于稳定分布。马尔科夫链的定义与性质状态转移矩阵与转移图描述了马尔科夫链中状态之间的转移概率。矩阵中的每个元素P(Xn+1=j/Xn=i)表示从状态i转移到状态j的概率。状态转移矩阵通过图形方式表示状态之间的转移关系，箭头指向转移后的状态，并标注相应的转移概率。转移图VS当马尔科夫链从任何初始状态开始，经过足够多的步数后，将趋于某个固定分布，这个固定分布就是平稳分布。极限行为描述了马尔科夫链在长时间后的行为特征，如收敛到平稳分布的速度、达到平稳分布所需的时间等。平稳分布平稳分布与极限行为05贝努利过程与泊松过程性质贝努利过程的概率分布是二项分布，即每个试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。应用贝努利过程在统计学、遗传学和可靠性工程等领域有广泛应用。定义贝努利过程是一个随机试验序列，其中每个试验只有两种可能的结果，且各个试验之间相互独立。贝努利过程定义泊松过程的平均发生率是常数，即泊松分布的参数λ。性质应用泊松过程在物理学、生物学和工程学等领域有广泛应用，如放射性衰变、电话呼叫等。泊松过程是一个计数过程，其中事件的发生是随机的，但发生的时间间隔是相互独立的，且服从指数分布。泊松过程复合泊松过程是由泊松过程和计数过程组合而成，其中事件的发生是随机的，但发生的时间间隔是相互独立的，且服从指数分布。定义复合泊松过程的平均发生率也是常数，但与泊松过程不同的是，它可以有多个不同的事件类型。性质复合泊松过程在金融、保险和风险管理等领域有广泛应用，如股票价格变动、保险索赔等。应用复合泊松过程06随机过程在各领域的应用03相对论在相对论中，随机过程也发挥了重要作用，如量子场论中的粒子产生和湮灭可以被视为随机过程。01量子力学随机过程在量子力学中有着广泛的应用，如波函数是一种随机过程的概率描述，而量子态的演化也涉及到随机过程。02统计物理在统计物理中，系统中的粒子运动通常被视为随机过程，如布朗运动和气体分子的随机碰撞等。在物理中的应用通信工程在通信工程中，信号传输和处理常常涉及到随机过程，如噪声和干扰的建模和分析。计算机网络计算机网络中的数据传输和网络拥塞控制等也涉及到随机过程的应用。控制系统在控制系统中，系统的稳定性和性能分析常常需要利用随机过程的理论。在工程中的应用030201风险评估与管理在金融领域中，风险评估和管理是至关重要的，而随机过程在风险评估中发挥了重要作用。股票和外