重难点突破：专题03 平行线的性质（解析版）

专题03平行线的性质重点平行线的性质的探索及对性质的理解；掌握命题、定理的概念，了解证明的意义难点平行线性质的应用；分清命题的组成，说出一个命题是真命题还是假命题易错忽视两直线平行的条件；命题改写不正确一、平行线的性质只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质．【例1】如图所示，下列推理正确的个数有（

）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】解：，，①正确；，，，②错误；，，③正确；由才能推出，而由不能推出，④错误；正确的个数有2个，故选．【例2】如图，AB∥ED，∠CDE＝36°，∠ACD＝86°，则∠BAC的度数是（

）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】B【解析】作CF∥ED，如图，∵CF∥ED，∴∠CDE＝∠FCD＝36°，∴∠ACF＝86°﹣36°＝50°，∵AB∥ED，CF∥ED，∴CF∥AB，∴∠BAC+∠ACF＝180°．∴∠BAC＝130°．故选：B．二、命题判断一个命题是假命题，只需举出一个反例（符合命题的题设，不满足命题的结论）即可，而说明一个命题是真命题需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确结论．【例3】下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画；④他是小张吗？⑤两直线相交只有一个交点．其中是命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：“同角的补角相等”是命题，“雪是白的”是命题；“画∠AOB=Rt∠”不是命题；“他是小张吗？”不是命题；“两直线相交只有一个交点”是命题．故选：C．【例4】下列命题：①若|a|>|b|，则a>b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．以上命题的逆命题是真命题的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】解：①若|a|＞|b|，则a＞b逆命题是若a＞b，则|a|＞|b|，如果a=1，b=-3，则不成立，是假命题；②若a+b=0，则|a|=|b|逆命题是若|a|=|b|，则a+b=0，也可能a=b，是假命题；③等边三角形的三个内角都相等逆命题是三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题；④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；故选C．三、定理与证明证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等．【例5】有下列描述：①过点A作直线AF//BC；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】①是题目条件或者要求,不是定理;②是三角形中位线定义,不是定理;③是定理;④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行.故选B.【例6】下列不是基本事实的是(

)A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】C【解析】解：A．两点确定一条直线，是公理，是基本事实；B．两点之间线段最短，是公理，是基本事实；C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，不是公理，不是基本事实；D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是公理，是基本事实．故选C．四、平行线性质与判定的综合应用平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”；平行线的判定是以角的相等或互补为前提，推导出两直线平行，是从“数量关系”到“位置关系”．【例7】如图，直线m⊥直线n，直线b⊥直线n，若∠2＝110°，则∠1的度数是（

）A．60° B．65° C．70° D．50°【答案】C【解析】如图：∵直线m⊥直线n，直线b⊥直线n，∴m∥b，∴∠1＝∠3，∵∠2＝110°，∴∠3＝180°﹣∠2＝70°，∴∠1＝70°，故选：C．【例8】如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（）①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【解析】解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，故①正确；②∵AB∥CD，∴∠AFD+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝∠EDF，∴∠AFD+∠EDF＝180°，∴AF∥DE，故②正确；③∵AF∥ED，∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠DAF＝∠F，故③正确；故选：A．一、单选题1．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，正确的是（

）A．如果同角，那么相等B．如果同角，那么余角相等C．如果同角的余角，那么相等D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等【答案】D【解析】命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．故选：D．2．下列说法中，错误的有（

）①两点确定一条直线；②如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；③如果两个角相加等于180°，那么这两个角互余；④如果两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：①正确；②同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故错误；③如果两个角相加等于180°，那么这两个角互补，故错误；④同一平面内，如果两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行，故错误．故选：C．3．如图，ABCD，AD⊥BD，∠1＝53°，则∠2的大小是（）A．53° B．50° C．37° D．23°【答案】C【解析】∵ABCD，∠1＝53°，∴∠BDC＝180°﹣∠1＝127°，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠2＝∠BDC﹣∠ADB＝37°．故选：C．4．如图，已知AB∥CD∥EF，∠1＝60°，∠3＝20°，则∠2的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵ABEF，∴∠AEF=∠1，∵∠1=60°，∴∠AEF=60°，∵∠3=20°，∴∠CEF=60°-20°=40°，∵CDEF，∴∠2+∠CEF=180°，∴∠2=180°-40°=140°．故选D．5．如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（

）．A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【解析】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．故选：B．6．如图，四边形ABCD中，ABCD，则下列结论中成立的是（）A．∠A＋∠B＝180° B．∠B＋∠D＝180° C．∠B＋∠C＝180° D．∠A＋∠C＝180°【答案】C【解析】解：∵ABCD，∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°．只有选项C正确，故选：C．二、填空题7．如图，有一块含30°角的直角三角板，两个顶点放在直尺的对边上，如果，______．【答案】【解析】如图，根据题意可知，∴，∴．故答案为：．8．如图，已知直线，点是线段的中点，，则______．【答案】4【解析】解：，的边上的高等于的边上的高，点是线段的中点，，，故答案为：4．三、解答题9．如图，∠1＝85°，∠2＝134°，∠ACD＝95°．（1）直线AB与CD平行吗？请说明理由；（2）求∠ECD的度数．请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由．解：（1）∵∠CAE＝∠1＝85°，∴∠CAE+∠ACD＝°，∴ABCD．（2）∵∠2＝134°，∴∠AEC＝180°﹣∠2＝°∵ABCD，（已知）∴∠ECD＝∠AEC＝46°．．【答案】（1）对顶角相等；180；同旁内角互补，两直线平行；（2）46；两直线平行，内错角相等【解析】解：（1）∵∠CAE＝∠1＝85°，（对顶角相等），∴∠CAE+∠ACD＝180°，∴ABCD．（同旁内角互补，两直线平行），故答案为：对顶角相等，180，同旁内角互补，两直线平行；（2）∵∠2＝134°，∴∠AEC＝180°﹣∠2＝46°，∵ABCD，（已知）∴∠ECD＝∠AEC＝46°．（两直线平行，内错角相等），故答案为：46，（两直线平行，内错角相等）．10．填写下面证明过程中的推理依据：已知：如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．(1)∠1＝∠2吗？请说明理由解：（1）∠1＝∠2，理由如下：∵AB//CD（），∴∠ABC＝∠BCD（）．∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），∴∠1∠（角平分线的定义），∠2∠（角平分线的定义）．∴∠1＝∠2（）．(2)BE与CF的位置关系如何？为什么？【答案】(1)已知，两直线平行，内错角相等，ABC，BCD，等量代换(2)BE//CF，理由见解析【解析】(1)∠1＝∠2，理由如下：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），∴∠1∠ABC（角平分线的定义），∠2∠BCD（角平分线的定义）．∴∠1＝∠2（等量代换），故答案为：已知，两直线平行，内错角相等，ABC，BCD，等量代换(2)BE//CF；由（1）知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，∵∠EBC＝∠ABC﹣∠1，∠BCF＝∠BCD﹣∠2，∴∠EBC＝∠BCF，∴BE//CF．一、单选题1．下列说法正确的有（）①相等的角是对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两直线被第三条直线所截，同位角相等．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故①错误；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；③在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故③错误；④两直线平行，同位角相等，故④错误；故选：A．2．如果∠1和∠2的两边分别平行，∠1比∠2的3倍少36°，则∠1的度数是（

）A．18° B．54° C．18°或54° D．18°或126°【答案】D【解析】解：设，则，∵∠1和∠2的两边分别平行，∴或，当时，有，解得：，此时；当时，，解得：，此时；综上所述，∠1的度数是18°或126．故选：D3．如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若∠2＝50°，则∠1的度数是（

）A．80° B．90° C．100° D．120°【答案】C【解析】如图所示，，纸条的两边互相平行，，故选：C．4．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC//DE，则的度数为（

）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】C【解析】解：由题意可知，，∵∴∵∴5．直线，在上任选一点，将一直角三角板直角顶点放在处，，当，此时的大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：过作，则∠MGE=∠BEG，，，∴∠MGE，，，，，故选：B．6．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】C【解析】解：①过点E作直线，∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；②过点E作直线，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；③过点E作直线，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；④如图，过点P作直线，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．综上所述，正确的小题有②③④．故选：C．二、填空题7．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC平分∠ABD，则∠ACH＝______°．【答案】57【解析】解：∵BC平分∠ABD，∴∠HBC=∠DBC=，∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴BC∥DE，∴∠3+∠DBC=180°，∵∠2＋∠3＝180°，∴∠DBC=∠2，∴CH∥BD，∴∠DBA=∠1=66°，∴∠DBC=∠2=，∴∠ACH=∠ACB-∠2=90°-33°=57°．故答案为：57．8．如图，已知m∥n，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．【答案】∠2＋∠4＝∠1＋∠3【解析】解：分别过点P1、P2作，，∵，∴，∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，∴∠1＋∠P1P2D＋∠DP2B＝∠AP1C＋∠CP1P2＋∠4，即∠2＋∠4＝∠1＋∠3．故答案为：∠2＋∠4＝∠1＋∠3．三、解答题9．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．(1)已知：如图，点、分别在线段、上，//，//交于点，平分．求证：平分．证明：∵平分（已知）∴（

）∵（已知）∴（

）故（

）∵（已知）∴，（

）（

）∴（

）∴平分（

）(2)若，请直接写出图中所有与互余的角．【答案】(1)角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线的定义；(2)和【解析】(1)平分，(已知)(角平分线的定义)，(已知)，(两直线平行，内错角相等)故(等量代换)，(已知)，(两直线平行，同位角相等)，(两直线平行，内错角相等)，(等量代换)平分.(角平分线的定义)故答案为：角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代