6.4生活中的圆周运动

4生活中的圆周运动核心目标1.能分析生活中的各种圆周运动现象，在此过程中体会模型建构的方法，知道航天器中的失重现象。2.观察生活中的离心现象，知道离心运动产生的原因，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害。【阅读+理解】提前学知识要点问题在铁路弯道处，稍微留意一下，就能发现内、外轨道的高度略有不同。你能解释其中的原因吗？1.火车转弯圆周运动是一种常见的运动形式，在生活中有着广泛的应用。火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度。是什么力使它产生向心加速度？与汽车轮胎不同的是，火车的车轮上有突出的轮缘（如图）。如果铁路弯道的内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力是火车转弯所需向心力的主要来源（如图）。但是，火车质量太大，靠这种办法得到向心力，将会使轮缘与外轨间的相互作用力过大，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。如果在弯道处使外轨略高于内轨（如图），火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力。这就减轻了轮缘与外轨间的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力来提供。从这个例子我们再一次看出，向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体的向心力。如果认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用，还要再受一个向心力，那就不对了。思考与讨论高速公路转弯处和场地自行车比赛的赛道，路面往往有一定的倾斜度。说说这样设计的原因。2.汽车过拱形桥汽车过拱形桥时的运动也可以看作圆周运动。质量为m的汽车在拱形桥上以速度v前进，设桥面的圆弧半径为r，我们来分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力。选汽车为研究对象。分析汽车所受的力（如图），如果知道了桥对汽车的支持力FN，桥所受的压力也就知道了。汽车在竖直方向受到重力G和桥的支持力FN，它们的合力就是使汽车做圆周运动的向心力F。鉴于向心加速度的方向是竖直向下的，故合力为F＝G－FN当汽车通过桥的最高点时，根据牛顿第二定律F＝ma，有F＝meq\f(v2,r)所以G－FN＝meq\f(v2,r)由此解出桥对车的支持力FN＝G－meq\f(v2,r)汽车对桥的压力FN′与桥对汽车的支持力FN是一对作用力和反作用力，大小相等。所以压力的大小为FN′＝G－meq\f(v2,r)由此可以看出，汽车对桥的压力FN′小于汽车所受的重力G，而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力越小。试分析，当汽车以越来越大的速度通过拱形桥的最高点时，会发生什么现象？汽车在拱形桥上但不在最高点时，又该如何分析汽车所受的向心力？公路在通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹形路面，也叫“过水路面”。汽车通过凹形路面的最低点时（如图），车对地面的压力比汽车所受的重力大些还是小些？同学们可以仿照上面的方法自己进行分析。思考与讨论地球可以看作一个巨大的拱形桥（如图），桥面的半径就是地球的半径R（约为6400km）。地面上有一辆汽车在行驶，所受重力G＝mg，地面对它的支持力是FN。根据上面的分析，汽车速度越大，地面对它的支持力就越小。会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是0？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？驾驶员躯体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？3.航天器中的失重现象上面“思考与讨论”中描述的场景其实已经实现了，不过不是在汽车上，而是在航天器中。我们以绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船为例做些说明。当飞船距地面高度为100〜200km时，它的轨道半径近似等于地球半径R，航天员受到的地球引力近似等于他在地面受到的重力mg。除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力FN。引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，即mg－FN＝meq\f(v2,R)也就是FN＝m（g－eq\f(v2,R)）由此可以解出，当v＝eq\r(Rg)时座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于完全失重状态。有人把航天器失重的原因说成是它离地球太远，从而摆脱了地球引力，这是错误的。正是由于地球引力的存在，才使航天器连同其中的乘员有可能做环绕地球的圆周运动。这里的分析仅仅针对圆轨道而言。其实任何关闭了发动机，又不受阻力的飞行器的内部，都是一个完全失重的环境。例如向空中任何方向抛出的容器，其中的所有物体都处于完全失重状态。4.离心运动做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。但是物体没有飞出去，这是因为向心力在拉着它，使它与圆心的距离保持不变。一旦向心力突然消失，物体就会沿切线方向飞出去。除了向心力突然消失这种情况外，在合力不足以提供所需的向心力时，物体虽然不会沿切线飞去，也会逐渐远离圆心（如图）。这里描述的运动叫作离心运动。离心运动有很多应用。例如，洗衣机脱水时利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉；纺织厂也用这样的方法使棉纱、毛线、纺织品干燥。在炼钢厂中，把熔化的钢水浇入圆柱形模子，模子沿圆柱的中心轴线高速旋转，钢水由于离心运动趋于周壁，冷却后就形成无缝钢管。水泥管道和水泥电线杆的制造也可以采用这种离心制管技术。借助离心机，医务人员可以从血液中分离出血浆和红细胞（如图）。离心运动有时也会带来危害。在水平公路上行驶的汽车，如果转弯时速度过大，所需向心力F很大，大于最大静摩擦力Fmax，汽车将做离心运动而造成事故（如图）。因此，在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度。高速转动的砂轮、飞轮等，都不得超过允许的最大转速。转速过高时，砂轮、飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需向心力，离心运动会使它们破裂，酿成事故。【理解+记忆】常思考笔记重点一、火车转弯1.如果铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力，由于质量太大，因此需要很大的向心力，靠这种方法得到向心力，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻．2.铁路弯道的特点(1)弯道处外轨略高于内轨．(2)火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧．支持力与重力的合力沿水平方向指向圆心．(3)在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和弹力FN的合力来提供．二、汽车过拱形桥汽车过拱形桥汽车过凹形路面受力分析向心力Fn＝mg－FN＝meq\f(v2,r)Fn＝FN－mg＝meq\f(v2,r)对桥的压力F′N＝mg－meq\f(v2,r)F′N＝mg＋meq\f(v2,r)结论汽车对桥的压力小于汽车的重力，汽车速度越大，对桥的压力越小汽车对桥的压力大于汽车的重力，汽车速度越大，对桥的压力越大三、航天器中的失重现象1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得mg－FN＝meq\f(v2,R)，所以FN＝mg－meq\f(v2,R).2.完全失重状态：当v＝eq\r(Rg)时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于完全失重状态．四、离心运动1.定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动．2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力．3.离心运动的利用和防止(1)利用：离心干燥器．洗衣机的脱水筒．离心制管技术．分离血浆和红细胞的离心机．(2)防止：汽车转弯时，若车辆超过一定速度，最大静摩擦不足以提供所需的向心力，汽车会做离心运动而造成事故．高速转动的砂轮、飞轮，若超过最大转速，会做离心运动致使破裂，造成事故．【例题+解析】当检测深究错题1.(2020·红岭中学)如图所示为火车在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，某转弯处规定行驶的速度为v0，当火车通过此弯道时，下列说法中正确的是()A.若速度大于v0，则火车轮缘挤压内轨B.若速度大于v0，则火车轮缘挤压外轨C.若速度大于v0，则火车所需向心力由外轨轮缘挤压产生D.若速度小于v0，则火车所需向心力由内轨轮缘挤压产生1.B解析：当火车在规定的速度转弯时，由支持力与重力的合力提供火车转弯所需的向心力，当速度大于规定的速度时，火车的支持力与重力的合力不足以供火车转弯，导致火车轮缘挤压外轨，从而出现外轨对车轮的作用力来弥补支持力与重力的不足，故A、C错误，B正确；当火车速度小于规定的速度时，火车的支持力与重力的合力大于所需的向心力，火车会做近心运动，导致火车轮缘挤压内轨，从而出现内轨对车轮的作用力来消弱支持力与重力的合力，故D错误．2.（2022广东省东莞市东华高级中学高一（下）第一次月考）如图所示，汽车以速度通过凹形路面最低点。关于车对地面的压力大小，下列判断正确的是（）A.等于汽车所受的重力 B.小于汽车所受的重力C.速度越大压力越大 D.速度越小压力越大2.C解析根据牛顿第二定律可知，即，可知车对地面的压力大于汽车所受的重力，且速度越大压力越大。故选C。3.(2020·威海高一检测)摩托车比赛中运动员在水平路面上急转弯的情景如图所示，运动员在通过弯道时如果控制不当会发生侧滑而摔离正常比赛路线，将运动员与摩托车看成一个整体，下列说法中正确的是()A.发生侧滑是因为运动员受到离心力的作用B.为了避免转弯时发生侧滑，运动员应加速离开弯道C.发生侧滑是因为运动员受到的合力小于所需的向心力D.运动员转弯所需的向心力由地面对车轮的支持力与重力的合力提供3.C4．（多选）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的转盘靠摩擦力传动，其中O，O′分别为两转盘的轴心，已知两个转盘的半径比r甲︰r乙＝3︰1，且在正常工作时两转盘不打滑。今在两转盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A，B，两滑块与转盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O，O′的间距关系为RA＝2RB。若转盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（）A．滑块A和B在与转盘相对静止时，角速度之比为ω甲︰ω乙＝1︰3B．滑块A和B在与转盘相对静止时，向心加速度的比值为aA︰aB＝2︰9C．转速增加后滑块B先发生滑动D．转速增加后两滑块一起发生滑动4.ABC【解析】假设转盘乙的半径为r，由题意可知两转盘边缘的线速度大小相等，则有ω甲·3r＝ω乙·r得ω甲︰ω乙＝1︰3所以滑块A，B在与转盘相对静止时，角速度之比为1︰3，根据a＝ω2r得，此时A、B的向心加速度之比为2︰9，AB正确；由题意知，滑块的最大静摩擦力分别为fA＝μmAg，fB＝μmBg最大静摩擦力之比为fA︰fB＝mA︰mB，转动过程中所受的静摩擦力之比为fA′︰fB′＝maaA︰（mBaB）＝mA︰（4.5mB）故滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，C正确；D错误；故选ABC。5.（多选）（2022湖北省高一（上）期末调考）一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B.小球过最高点的最小速度是C.若小球过最高点的速度时，杆对球的作用力竖直向下D.若小球过最高点的速度时，速度v越小，杆对球的作用力越大5.ACD【解析】当小球过最高点时速度，重力恰好提供向心力，杆所受到的弹力等于零，A正确；因为杆可以对小球提供向上的支持力，故小球过最高点时最小速度为0，B错误；若小球过最高点时速度，重力比所需要的向心力小，杆对球的作用力竖直向下，C正确；若小球过最高点的速度时，杆对球的作用力竖直向上，此时有，v越小，杆对球的作用力F越大，D正确。故选ACD。6.（2022广东省广州市执信中学高一（下）3月月）如图所示摩托车做腾跃特技表演，沿曲面冲上高0.8m顶部水平高台，接着以4m/s水平速度离开平台，落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道,并沿轨道下滑.A、B为圆弧两端点,其连线水平.已知圆弧半径为2m，人和车的总质量为200kg，特技表演的全过程中，空气阻力不计.(计算中取g=10m/s2.求:(1)从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s.(2)从平台飞出到达A点时速度大小及圆弧对应圆心角θ(3)若已知人和车运动到圆弧轨道最低点O速度为6m/s,求此时人和车对轨道的压力.6.(1)1.6m(2)m/s，90°(3)5600N解析(1)车做的是平抛运动，很据平抛运动的规律可得：竖直方向上：水平方向上：可得：(2)摩托车落至A点时其竖直方向的分速度：到达A点时速度：设摩托车落地时速度方向与水平方向的夹角为，则：即，所以：(3)对摩托车受力分析可以知道，摩托车受到的指向圆心方向的合力作为圆周运动的向心力，所以有：

当时，计算得出.由牛顿第三定律可以知道人和车在最低点O时对轨道的压力为5600

N.【作业+练习】强基础提升能力【作业】1.如果高速转动的飞轮的重心不在转轴上，运行将不稳定，而且轴承会受到很大的作用力，加速磨损。图中飞轮半径r＝20cm，OO′为转动轴。正常工作时转动轴受到的水平作用力可以认为是0。假想在飞轮的边缘固定一个质量m＝0.01kg的小螺丝钉P，当飞轮转速n＝1000r/s时，转动轴OO′受到多大的力？2.有一种叫“飞椅”的游乐项目（如图）。长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力。分析转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。3.质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为1.4×104N。汽车经过半径为50m的弯路时，如果车速达到72km/h，这辆车会不会发生侧滑？4.有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。（1）汽车到达桥顶时速度为5m/s，汽车对桥的压力是多大？（2）汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？（3）汽车对地面的压力过小是不安全的。从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？（4）如果拱桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？5.质量为25kg的小孩坐在秋千上，小孩离系绳子的横梁2.5m。秋千摆到最低点时，如果小孩运动速度的大小是5m/s，他对秋千的压力是多大？【作业参考答案】【练习】1.物体做离心运动时，其运动轨迹()A.一定是直线B.一定是曲线C.可能是一个圆D.可能是直线也可能是曲线2.在赛车锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是()A.是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘才造成赛车冲出跑道B.是由于赛车行驶到弯道时，没有及时加速才造成赛车冲出跑道的C.是由于赛车行驶到弯道时，没有及时减速才造成赛车冲出跑道的D.由公式F＝mω2R可知，弯道半径越大，越容易冲出跑道3.用细绳拉着两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图所示，A运动的半径比B的大，则()A.A受到的向心力比B的大B.B受到的向心力比A的大C.A的角速度比B的大D.B的角速度比A的大4．（多选）火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，如图所示，当火车以恒定速率转弯道时，乘客发现在车厢顶部悬挂玩具小熊猫的细线与车厢侧壁平行。同时观察放在桌面上水杯内的水面（与车厢底板平行）。已知此弯道路面的倾角为，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（）A．火车转弯时内、外轨道均不受侧向挤压B．玩具小熊的向心加速度大小为gcotC．水杯受到指向桌面外侧的静摩擦力D．水杯内水面与水平方向的倾斜角等于θ5.质量为m的物体沿半径为R的半球形金属壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示．若物体与球壳间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时()A.向心加速度为eq\f(v2,R)B.向心力为meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g＋\f(v2,R)))C.摩擦力为μmgD.对球壳的压力为meq\f(v2,R)6.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是在水平面内做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于()A.eq\r(,\f(gRh,L))B.eq\r(,\f(gRh,d))C.eq\r(,\f(gRL,h))D.eq\r(,\f(gRd,h))7.（2022安徽省宣城市泾县中学高一（下）第一次月考）如图所示，一竖直圆盘上固定着一个质量为0.2kg的小球（可视为质点），小球与圆盘圆心O的距离为5cm。现使圆盘绕过圆心O的水平轴以大小为10rad/s的角速度匀速转动。当小球运动到O点正上方时圆盘对小球的作用力大小为F1。当小球运动到O点正下方时圆盘对小球的作用力大小为F2，重力加速度大小g=10m/s2，则（）A.F1=3N；F2=2N B.F1=2N；F2=3NCF1=1N；F2=3N D.F1=1N；F2=2N8.如图所示，是双人花样滑冰运动中男运员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面，若女运动员做圆锥摆时和竖直方向的夹角约为θ，女运动员的质量为m，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r，求：(1)男运动员对女运动员的拉力大小；(2)女运动员转动的角速度；(3)如果男、女运动员手拉手均做匀速圆周运动，已知两人质量比为2∶1，求他们做匀速圆周运动的半径比．9.（多选）（2022安徽省六安市舒城中学高一（下）第二次月考）环球飞车是一种摩托车特技表演，2013年河南的一支环球飞车队创造了吉尼斯世界纪录——11人环球飞车，2015年他们再次打破了由他们自己创下的世界环球飞车记录．如图所示是简化模型，在一个大球内壁上有两个可视为质点的小球在水平面内做匀速圆周运动，观测发现小球1与大球球心的连线与竖直方向夹角为，小球2与大球球心的连线与竖直方向夹角为，则下列说法正确的是（）A.小球1、2的线速度之比是B.小球1、2的角速度之比是C.小球1、2的周期之比是D.小球1、2的加速度之比是10.一辆质量为800kg的汽车在圆弧半径为50m的拱桥上行驶．(g取10m/s2)(1)若汽车到达桥顶时速度为v1＝5m/s，汽车对桥面的压力是多大？(2)汽车以多大速度经过桥顶时，恰好对桥面没有压力？(3)汽车对桥面的压力过小是不安全的，因此汽车过桥时的速度不能过大．对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？(4)如果拱桥的半径增大到与地球半径一样大，汽车要在桥面上腾空，速度至少为多大？(已知地球半径为6400km)【练习参考答案】水平达成1.D解析：离心运动即物体做远离圆心的运动，故其运动轨迹不可能是圆，C错误；若F合为零，则物体将沿切线方向以直线轨迹远离圆心；若F合小于F向，则物体将沿曲线(夹在切线与圆周之间)远离圆心，故D正确，A、B错误．2.C解析：赛车行驶到弯道时，由于速度过大，使赛车受到静摩擦力不足以提供所需的向心力，所以赛车将沿切线方向冲出跑道，C正确．3.A解析：假设绳子与竖直方向的夹角为θ，受力分析知合力指向圆心，由几何关系得F合＝mgtanθ＝mω2r，因为θA>θB，所以FA>FB，A正确；设小球与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得r＝htanθ，解得ω＝eq\r(\f(g,h))，故A、B角速度相同．4.AD【解析】设玩具小熊的质量为m，则玩具受到的重力mg、细线的拉力FT的合力提供玩具小熊随车做水平面内圆弧运动的向心力F（如图），有mgtanθ=ma可知列车在转弯时的向心加速度大小为a=gtanθ，B错误；列车的向心加速度a=gtanθ由列车的重力与轨道的支持力的合力提供，故列车与轨道均无侧向挤压作用，A正确；水杯的向心加速度a=gtanθ由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供，水杯与桌面间的静摩擦力为零，C错误；在杯内水面取一微小质量元，此微元受到的重力与支持力的合力产生的加速度大小为a=gtanθ，可知水杯内水面与水平方向的倾斜角等于θ，D正确。故选AD。5.A解析：小球在最低点受力为N－mg＝meq\f(v2,R)，则