四川省成都市南开为明学校高三第一次调研考试数学（文）试卷

绝密★启用前为明2021届高三第一次调研考试题数学（文史类）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上。2.请在答题卡上作答，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,1,2,3,4,5}，B={1,3,5}，则A∩B=A.{0,1,2,3,4,5}B.{0,2,4}C.{1,2,3}D.{1,3,5}2.若复数，则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，且α∩γ=m，β∩γ=n，则“m∥n”是“α∥β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知点P是抛物线C:y2=16x上的一点，若点P到y轴的距离是12，则点P到C的焦点的距离是A.12B.14C.16D.185.德国数学家莱布尼兹(1646年—1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图(1692年—1765年)为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年)开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值)，若输入n=5，则输出P的表达式为A.B.C.D.6.“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”.每到夏天，荷塘里的青蛙总是和谐、有节奏感地鸣唱.殊不知，青蛙叫的频率（每小时鸣叫的次数）与气温（单位：°C）有着很大的关系.某观测人员根据统计数据(如下表)，建立了关于的线性回归方程，（°C）2930313436（次数/小时）188200212237263则当温度为35°C时，青蛙叫的频率的预报值为A.240B.250C.262D.2607.函数的大致图象是8.函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则有A.B.C.D.9.甲、乙、丙、丁、戊5个人都是教师，其中甲擅长教授语文和数学，乙擅长教授语文，丙擅长教授语文、思政和体育，丁擅长教授数学和音乐，戊擅长教授思政和音乐.若他们要组成一个班级的任课教师，且在这个班级的任课教师中每人只能教授一科擅长的科目，则丙、丁、戊教授的科目分别是A.语文、数学、思政B.体育、音乐、思政C.体育、数学、音乐D.思政、体育、音乐10.在三棱锥P—ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，底面ABC和侧面PAC都是以AC为斜边的直角三角形，且AC=2，∠PAC=45°，∠BAC=30°，则三棱锥P—ABC外接球的表面积为A.πB.2πC.4πD.8π11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=－3，S12=24，若ai+aj=0(i,j∈,且1≤i<j)，则i的取值集合是A.{1,2,3}B.{6,7,8}C.{1,2,3,4,5}D.{6,7,8,9,10}12.设函数，为其导函数，则不等式的解集为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量，且，，，则x=_____.14.若数列从第一项起，每一项都是它后一项的2倍，若，则_____.15.2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽、小萌花”，是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹.造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命.现从4张分别印有“小萌芽”、“小萌花”、“牡丹花”、“菊花”图案的卡片(卡片的形状和大小相同，质地也相同)中随机选取2张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片至少有一张在内的概率为_______.16.已知双曲线的左焦点为F(－c,0)，圆F:(x+c)2+y2=c2与x轴的负半轴交于点P，与C的一条渐近线交于点Q，若|PQ|=，则C的离心率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜。使用四年来，已发现146颗优质的脉冲星候选体，其中有102颗已被确认为新发现的脉冲星.脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是一定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某一天文研究机构观测并统计了102颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.(1)求a的值，并写出自转周期的众数的估计值；(2)在102颗新发现的脉冲星中，估计自转周期在8至12秒的大约有多少颗？(所求值按四舍五入取整数)(3)根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值和中位数(所求值保留一位小数)．18.（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)求B的大小；(2)若，ac=4，求△ABC的周长.19.（12分）如图，在四棱锥中，底面，二面角的大小为，，，.（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积.20.（12分）已知函数.(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若f(x)≥0对任意的x∈[0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的焦距为2，点P(1,)是E上一点.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l与OP平行且与E交于A,B两点，且△PAB的面积为，求直线l的方程.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑。22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为（为参数），设原点O在圆C的内部，直线l与圆C交于M、N两点；以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和圆C的极坐标方程，并求a的取值范围；(2)求证：|OM|2+|ON|2为定值.23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)=|x|+|x－1|.(1)解不等式f(x)≥3.(2)设a>0，b>0，且a+b=1，求证：f(a)+f(b)+f(ab)≥3.数学（文史类）参考答案及评分标准一、选择题1.【答案】D.2.【答案】D.【解析】，在复平面内对应点的坐标为(1,－1)，故选D.3.【答案】B.【解析】若m∥n相交，则α与β可能相交或平行；若α∥β，则m∥n，故选B.4.【答案】C.【解析】点P到C的焦点的距离是12+4=16.故选C.5.【答案】B.【解析】此时i=6>5，输出P=4S5，故选B.6.【答案】B.【解析】，代入，解得，则.当t=35时，，故选B.7.【答案】A.【解析】首先，f(x)为奇函数，则可排除B；当x<0时，f(x)<0，则可排除D；又，则可排除C，故选A.8.【答案】B.【解析】由题意，得取解得，故选B.9.【答案】B.【解析】由乙擅长教授语文且甲擅长教授语文和数学，则安排甲教授数学，乙教授语文；由丁擅长教授数学和音乐，则可安排丁音乐；由戊擅长教授思政和音乐，则可安排戊教授思政；余下体育只有安排丙，故选B.10.【答案】C.【解析】如图，取AC的中点O，则OA=OB=OC=OP=1，所以O为三棱锥P—ABC外接球的球心，于是三棱锥P—ABC外接球的表面积为.故选C.11.【答案】C.【解析】设公差为d，由a1+3d=－3及，解得a1=－9，d=2，所以数列为－9，－7，－5，－3，－1，1，3，5，7，9，11，……，故i∈{1,2,3,4,5}，故选C.12．【答案】A.【解析】函数为偶函数，其图像关于轴对称，且．结合图像可知，当时，单调递增，，则不等式的解为；当时，单调递减，，则不等式的解为．所以不等式的解集为．故选A．二、填空题13.【答案】－1.【解析】由，解得x=－1.14.【答案】8.【解析】由题意，得,即，则,解得.15.【答案】.【解析】将“小萌芽”、“小萌花”、“牡丹花”、“菊花”图案的卡片分别记为a,b,C,D，从4张中随机选取2张的基本事件分别为{a,b},{a,C},{a,D},{b,C},{b,D},{C,D}，共计6种，所以所求概率为.16.【答案】2.【解析】如图，取OQ的中点H，则点F(－c,0)到渐近线bx+ay=0的距离为|FH|=b，又F为OP的中点，所以|PQ|=2|FH|，从而=2b，即3c2=4(c2－a2)，解得，于是C的离心率为2.三、解答题17．解：(1)由频率分布直方图，得2×(0.050+a+0.150+a+0.075+0.025)=1，解得a=0.1；……2分因为众数的估计值就是最高矩形的中点横坐标的值，所以自转周期的众数的估计值是5秒.……4分(2)因为2(0.075+0.025)×102=20.4≈20，所以自转周期在8至12秒的估计大约有20颗.……6分(3)新发现的脉冲星自转周期平均值为2×(0.050×1+0.1×3+0.150×5+0.1×7+0.075×9+0.025×11)=5.5，所以新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.……9分由2(0.050+0.1)+(x－4)×0.15=0.5，解得x≈5.3，自转周期的中位数的估计值为5.3秒.……12分18.解：(1)由正弦定理，得，……2分由，得，………………4分由，得，所以，所以，……6分由，得.……8分(2)由余弦定理及，得，……10分即.由ac=4，解得a+c=4，所以△ABC周长为.……12分19．（1）证明：因为底面，底面，所以，…………………1分又，PA∩PD=P，所以平面，…………………2分又平面，所以，…………………3分又，平面,所以,…………………4分又平面，平面,所以平面.…………………6分（2）解：由及，得就是二面角的大小为，即； 7分在直角三角形中，由，得. 8分由AD∥BC，BC⊥CD，得四边形ABCD为直角梯形，其面积为. 10分所以四棱锥的体积为. 12分20.解：(1)当a=2时，f(x)=ex－2x－1，则f(0)=0；………………1分由，得，………………2分所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y－0=－(x－0)，即y=－x.………………4分(2).………………5分由x≥0，得ex≥1.………………6分当a≤1时，，则f(x)在[0,+∞)上是增函数，所以f(x)≥f(0)=0，此时适合题意.………8分当a>1时，由，得.………………9分当时，，所以在上是减函数，………………10分所以当x∈(0,lna)时，f(x)<f(0)=0，此时不适合题意.综上，实数a的取值范围是(－∞,1].…12分21.解:(1)法一：设左、右焦点分别为F1,F2，由|F1F2|=2，得F1(－1,0),F2(1,0)，则2a=|PF1|+|PF2|=，………2分即，从而，…………………3分故求椭圆E的方程为.…………………4分法二：设2c=2，则；…………………1分由点P在E上，得，…………………2分以上两式联立，解得a2=2,b2=1，故椭圆E的方程为.…………………4分(2)，…………………5分由OP∥l，可设直线的方程为,代入,并整理得.…………………6分由直线与E交于、两点，得,结合∥，解得.…………………7分由韦达定理，得..…………………9分点到直线的距离.…………………10分.……………11分解得n=±1，适合适合，所以直线的方程为.……………12分22