高中数学人教A版选修2-3教案2-2-3独立重复实验与二项分布3

2．2.3独立重复试验与二项分布(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解n项独立重复试验的模型．(2)掌握二项分布，并能利用它解决一些简单的实际问题．2．过程与方法通过具体例子的学习，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神．●重点、难点重点：n次独立重复试验和二项分布的概念．难点：二项分布的应用．教学时引导学生从n次重复掷硬币的试验中，不断观察、分析、总结出n次独立重复试验，掌握独立重复试验必须具有哪些条件，进一步以n次独立重复试验为背景引入二项分布，从而突出重点．通过例题与练习让学生理解二项分布的应用，进而化解难点．(教师用书独具)●教学建议独立重复试验是研究随机现象的重要途径之一，很多概率模型的建立都以独立重复试验为背景，二项分布就是来自于独立重复试验的一个概率模型，因此本节课宜采用以学生探究、发现为主的教学模式，让学生从具体试验得到独立重复试验，再得出二项分布，体会知识的过渡的思维，让学生有充分自由表达、质疑、探究问题的机会，在活动中学习、创新、提高．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，掌握n次独立重复试验与二项分布的概念．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握独立重复试验的概率计算．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握二项分布及其应用．⇒通过例3及互动探究，使学生掌握二项分布的综合应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．课标解读1.理解n次独立重复试验的模型．2．理解二项分布．3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.独立重复试验【问题导思】要研究掷硬币的规律，需做大量的试验，每次试验的前提是什么？【提示】条件相同．在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．二项分布【问题导思】在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事．试用Ai表示B1，试求P(B1)．用Bk表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)．由以上问题的结果你能得出什么结论？【提示】B1＝(A1eq\x\to(A2)eq\x\to(A3))∪(eq\x\to(A1)A2eq\x\to(A3))∪(eq\x\to(A1)eq\x\to(A2)A3)．因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1eq\x\to(A2)eq\x\to(A3)、eq\x\to(A1)A2eq\x\to(A3)、eq\x\to(A1)eq\x\to(A2)A3两两互斥，故P(B1)＝P(A1eq\x\to(A2)eq\x\to(A3))＋P(eq\x\to(A1)A2eq\x\to(A3))＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(A2)A3)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22.P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.结论：P(Bk)＝Ceq\o\al(k,3)0.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.独立重复试验中的概率问题某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【思路探究】由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(即准确或不准确)，符合独立重复试验．【自主解答】(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝Ceq\o\al(2,5)×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝Ceq\o\al(0,5)×(0.2)5＋Ceq\o\al(1,5)×0.8×0.24＝0.00672≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝Ceq\o\al(1,4)×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.1．解答该类问题，首先分析随机变量是否满足独立重复试验概型，再利用公式求解，要抓住“恰有”“至少”等关键性字眼．2．独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k计算更简单，注意n，p，k的意义．某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)．(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.【解】(1)至少3人同时上网，这件事包括3人，4人，5人或6人同时上网，记“至少3人同时上网”为事件A，则P(A)＝Ceq\o\al(3,6)(eq\f(1,2))3(eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(4,6)(eq\f(1,2))4(eq\f(1,2))2＋Ceq\o\al(5,6)(eq\f(1,2))5(eq\f(1,2))＋Ceq\o\al(6,6)(eq\f(1,2))6(eq\f(1,2))0＝eq\f(21,32).(2)由(1)知至少3人同时上网的概率大于0.3，事件B：至少4人同时上网，其概率为：P(B)＝Ceq\o\al(4,6)(eq\f(1,2))4(eq\f(1,2))2＋Ceq\o\al(5,6)(eq\f(1,2))5(eq\f(1,2))＋Ceq\o\al(6,6)(eq\f(1,2))6(eq\f(1,2))0＝eq\f(11,32)>0.3，事件C：至少5人同时上网，其概率为：P(C)＝Ceq\o\al(5,6)(eq\f(1,2))5(eq\f(1,2))＋Ceq\o\al(6,6)(eq\f(1,2))6(eq\f(1,2))0＝eq\f(7,64)<0.3.所以至少5人同时上网的概率小于0.3.二项分布从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq\f(2,5)，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列．【思路探究】首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再计算离散型随机变量取各个值的概率．【自主解答】由题意ξ～B(3，eq\f(2,5))，则P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(2,5))0(eq\f(3,5))3＝eq\f(27,125)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(2,5))1(eq\f(3,5))2＝eq\f(54,125)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,5))2(eq\f(3,5))1＝eq\f(36,125)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,5))3＝eq\f(8,125).所以分布列为：ξ0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)1．本题属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.2．利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．某一中学生心理咨询中心服务接通率为eq\f(3,4)，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．【解】由题意可知：X～B(3，eq\f(3,4))所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(3,4))k(eq\f(1,4))3－k(k＝0,1,2,3)，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(3,4))0(eq\f(1,4))3＝eq\f(1,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(3,4)·(eq\f(1,4))2＝eq\f(9,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(3,4))2·eq\f(1,4)＝eq\f(27,64)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(3,4))3＝eq\f(27,64).所以X的分布列为X0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)二项分布的综合应用某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12min，且开动与否是相互独立的．(1)现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50kW的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大？(2)在一个工作班的8h内，不能正常工作的时间大约是多少？【思路探究】由题意知工作机床台数服从二项分布．【自主解答】每台机床正常工作的概率为eq\f(12,60)＝eq\f(1,5)，而且每台机床分“工作”和“不工作”两种情况，所以工作机床台数ξ～B(10，eq\f(1,5))，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,10)(eq\f(1,5))k(eq\f(4,5))10－k(k＝0,1,2,3，…，10)，(1)50kW电力同时供给5台机床开动，因而10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作．这一事件的概率为P(ξ≤5)．P(ξ≤5)＝Ceq\o\al(0,10)(eq\f(4,5))10＋Ceq\o\al(1,10)·eq\f(1,5)·(eq\f(4,5))9＋Ceq\o\al(2,10)(eq\f(1,5))2·(eq\f(4,5))8＋Ceq\o\al(3,10)(eq\f(1,5))3(eq\f(4,5))7＋Ceq\o\al(4,10)(eq\f(1,5))4·(eq\f(4,5))6＋Ceq\o\al(5,10)(eq\f(1,5))5·(eq\f(4,5))5≈0.994.(2)在电力供应为50kW的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0.006，从而在一个工作班的8h内，不能正常工作的时间只有大约8×60×0.006＝2.88(min),这说明，10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响．1．本题的解答关键是判断随机变量ξ服从二项分布．2．对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．若将本题题设“每台机床配备的电动机功率为10kW”换成“每台机床配备的电动机功率为7.5kW”，其余条件不变，求全部机床用电量超过48kW的可能性有多大？【解】因为48kW可供6台机床同时工作，如果用电超过48kW，即7台或7台以上的机床同时工作，这一事件的概率为：P(ξ＝7)＝Ceq\o\al(7,10)(eq\f(1,5))7·(eq\f(4,5))3，P(ξ＝8)＝Ceq\o\al(8,10)(eq\f(1,5))8·(eq\f(4,5))2，P(ξ＝9)＝Ceq\o\al(9,10)·(eq\f(1,5))9·(eq\f(4,5))1，P(ξ＝10)＝Ceq\o\al(10,10)·(eq\f(1,5))10·(eq\f(4,5))0，P(ξ≥7)＝P(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)≈0.00086.事件关系判断不准致误(2012·湘潭调研)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6).现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．【错解】记“第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程”分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝eq\f(1,2)，P(Bj)＝eq\f(1,3)，P(Ck)＝eq\f(1,6).(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P＝P(A1B2C3)＝P(A1)·P(B2)·P(C3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36).(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知η～B(3，eq\f(1,3))，且ξ＝3－η.所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,3))2(eq\f(2,3))＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,3))(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27).故ξ的分布列是ξ0123Peq\f(1,27)