数学人教A版必修2学案2-1-2空间中直线与直线之间的位置关系

2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系[目标]1.会判断空间两直线的位置关系；2.理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角；3.能用公理4解决一些简单的相关问题．[重点]两直线位置关系的判断；公理4的应用；异面直线的定义及两异面直线所成的角．[难点]异面直线定义的理解；求两异面直线所成的角．知识点一空间直线的位置关系[填一填]1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．2．空间直线的三种位置关系：[答一答]1．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b是否为异面直线？为什么？提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交．根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b都在这个平面内．2．若两条直线没有公共点，那么这两条直线的关系是怎样的？提示：这两条直线平行或异面．知识点二公理4和等角定理[填一填]1．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c.2．定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．[答一答]3．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(C)A．30° B．150°C．30°或150° D．大小无法确定解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.4．若两个角的两边分别对应平行，且两个角的开口方向相同，那么这两个角的关系是什么？提示：相等．知识点三异面直线所成的角[填一填][答一答]5．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？提示：根据等角定理可知，a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为解析：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠类型一空间两条直线的位置关系[例1]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1①直线DM与CC1是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．[分析]利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断．[解析]①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交．故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④.[答案]①③④判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[变式训练1](1)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是(B)A．6B．4C．5D．8解析：与AA1异面的棱有CD、C1D1、BC、B1C1(2)若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是相交或异面．解析：b与c不可能平行，相交、异面都可能．类型二公理4与等角定理的应用[例2]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1(1)求证：四边形BB1M(2)求证：∠BMC＝∠B1M1[分析](1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证BB1与[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M同理可得四边形CC1M∴C1M1∥CM，由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠1公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.,2如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等.[变式训练2]如右图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1证明：连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF綊eq\f(1,2)B1C.又ABCD­A1B1C1D1所以CD綊AB，A1B1綊AB，由公理4知CD綊A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綊B1C又B1C∥FG，由公理4知A1D∥FG同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1所以△EFG∽△C1DA1.类型三异面直线所成的角[例3]如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角．(2)FO与BD所成的角．[解](1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可作“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值范围为0°<θ≤90°.[变式训练3]四面体A­BCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，E，F分别是BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．解：如图，取BD的中点G，连接EG，FG.∵E，F，G分别是BC，AD，BD的中点，∴EG綊eq\f(1,2)CD，GF綊eq\f(1,2)AB.∴∠EGF(或∠EGF的补角)为AB与CD所成的角，即∠EGF＝30°或150°.∵AB＝CD，∴EG＝GF，故由等腰△EGF，知∠GFE＝75°或15°.而由FG∥AB，知∠GFE就是EF和AB所成的角．从而EF和AB所成的角为75°或15°.1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(D)A．异面或平行 B．异面或相交C．异面 D．相交、平行或异面2．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是(D)A．相交B．异面C．平行D．异面或相交3．已知棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是平行．解析：如图所示，MN∥AC且MN＝eq\f(1,2)AC，又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.4．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为60°.解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.5．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝eq\r(2)，求AD，BC所成的角．解：如图，取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD＝2，所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1，所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF＝eq\r(2)，所以EH2＋FH2＝EF2，所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.——本课须掌握的两大问题1