山西省部分学校2023-2024学年高三年级上册12月联考数学试题（含答案）

2024届高三一轮复习联考(三)

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知N是全集U的非空子集，且①N,则

A.N^MB.M=NC.翔M匚)D.N=*M

2.若z满足(l+i)z=—2+i,则忖=

5^/10/77*

A.-B.--C.5D.V10

22

3.已知非零向量a,b,那么“北=区”是叩向第的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7T

4.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=4,c=6,B=-,则AC边上的高为

3

7212>/2137216721

A.------B.--------C.---------D.---------

7777

5.已知某物种二年后的种群数量〉近似满足函数模型：丁=%-34，-°」25,自2023年初起，经过几年后

(neN*),当该物种的种群数量不足2023年初的20%时，〃的最小值为(参考数据：In5nl.6094)

A.10B.11C.12D.13

6.过点(2,0)作曲线=的两条切线，切点分别为(石"(％)),(%2,/(%2)),则:+：=

A.-2B.-lC.lD.2

/7n

7.对于一个给定的数列｛4｝,令a=比比，则数列｛4｝称为数列｛4｝的一阶商数列，再令C,=］旦，则数列

1

｛%｝是数列｛q｝的二阶商数列.已知数列｛4｝为1,2,8,64,1024,....且它的二阶商数列是常数列，则4=

A.215B.219C.221D.228

设"/Q，m，c=/Un|L则

8.已知函数,

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设正实数a,b满足a+b=l,则

A.—I—有最大值4B.Jab有最大值一

ab2

C.log2a+log2b<-2D.20+>2^2

10.一半径为2米的水轮，水轮圆心。距离水面1米(如图).已知水轮按逆时针方向绕圆心O做匀速转动，每

1分钟转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时开始计时，则下列判断正确的有

A.点P第一次到达最高点需要20秒

B.点P第一次到达最低点需要45秒

C.在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点尸在水面的下方

D.当水轮转动30秒时，点P距离水面的高度是2米

11.已知正三棱柱ABC-4与。的各棱长都为1,£为A3的中点，则

A.BCI//平面AEC

B.二面角A.-EC-A的正弦值为与

J21

c点A到平面的距离为"

D.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为9.

6

12.设定义在R上的函数”力的导函数为7'(%),若〃x+l)与〃x+2)均为偶函数，则下列说法正确的是

A./(x)的图象关于直线尤=1对称B.2为函数/的周期

2

C./（x）的图象关于点（2,0）中心对称D./（x）为偶函数

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

“lo（g工2（x+）l,）,晨x>0则,小z9、的值为

13.已知函数〃x）=<

14.已知a为锐角且满足1+W,贝ijsin(cz+20°)=

tan80°cosa、

15.已知各项均不为0的数列｛4｝满足幺旦=」一，且q=L则%023

44+12―

16.在四棱锥M—ABCD中，BC//AD,AB±AD,AB=BAD=3,BC=2,MA=MB=MD=2^/3,

则三棱锥"-BCD外接球的表面积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,且、9=-99,S4=S16.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）若对任意正整数"，均有黑WS.+1,求正整数机的最大值.

18.(12分)已知向量m=2sin|x-~|,A/3f^x)=m-n.

lI12)J

（1）求函数的单调增区间；

jr

⑵若g（X）=/（GX）-l（69>0）在0,y上有唯一的零点，求0的取值范围.

19.（12分）已知函数〃力二9+彳-必―3x+2.

（1）若在（g,2］上存在单调减区间，求实数机的取值范围；

（2）若/（%）在区间（狐位）上有极小值，求实数，”的取值范围.

20.（12分）如图，圆台QU的轴截面为等腰梯形AACC-AC=4,AAi=AlCI=2,B为下底面圆周上

异于A,C的点.

（1）在线段上是否存在一点尸，使得GP〃平面4A3?若存在，指出点P的位置，并证明；若不存在，

请说明理由；

3

(2)若四棱锥8-AACq的体积为26，求平面4AB与平面GCB角的余弦值.

7T

21.(12分)如图，在平面凸四边形A5CD中，AB=2BC=2,AD=CD,ZADC=~,“为边5。的

2

中点.

27r

(1)若=—,求△ACD的面积；

3

22.(12分)已知函数/(%)=%(alnx-x-l),aeR.

(1)当a=l时，求证：了(％)在(0,+0。)上单调递减；

(2)若/(尤)+X=0有两个不相等的实数根再，x2.

(i)求实数a的取值范围；

2

(ii)求证：xx-x2>e.

2024届高三一轮复习联考(三)

数学参考答案及评分意见

LD【解析】因为M,N是全集U的非空子集，且加口令"，所以韦恩图为:

由韦恩图可知，D正确.故选D.

,,i।-2+zV5屈…

2.B【解析】因为(l+z)z=—2+i,所cc以|z|=-------=—j==----.故选B

111+z叵2

4

3.B【解析】对卜-贝=同-J.两边平方，整理可得向量a与匕的夹角为0,向量a与方平行且同向，从而存

在实数（方>0）；由。=%可得向量a,匕平行，a与B同向或者反向，因此"a=%"是",一。卜同—W”

的必要不充分条件.故选B.

4.D【解析】由Z?2=/+/-2〃CCOS3=28,得b=2近,设AC边上的高为人，

因为SAMc=!acsin3='b〃，所以丸=竺吧0=迪1，即AC边上的高为迪I.故选D.

△ABC22b77

5.D【解析】根据题意得2023年初（/=0）时种群数量为％•3公，

所以由y=%•eL4e-0125”<2Q%.幻.；化简得^-0,125„<£,

则”>81n5"12.9,又因为“eN*,所以的最小值为13.故选D.

6.8【解析】由题意得/'（%）=（%+1）/,过点（2,0）作曲线/（九）="的两条切线，设切点坐标为（%,%源），

则（九o+D*即（片一2/一2）e$=0,由于*>0,故焉―2%—2=0,A=12>0,由题意

%-2'

可知%，/为莅—2%—2=0的两个解，则%+9=2,—2,故—I----=—........-=—1,故选B.

-X]x2xtx2

7.C【解析】该数列的一阶商数列为2,4,8,16,则二阶商数列为2,2,2,因为二阶商数列是常数

列，故二阶商数列后面的项均为2,所以一阶商数列后面的项依次为25,26,27,从而原数列后面的项

依次为2卜，221,故4=221故选C.

8.A【解析】f（x）=ex-ex,由题意知当x>0时，/（x）>0,即〃尤）在（0,+8）上单调递增,

所以只需比较』，sin-,的大小.当尤>0时，x>sinx,则sin、<L,所以。>匕；

55I5J55

令g(x)=sinx—ln(l+x),xef0,j

,则屋(x)=cos%-----

1+X

令0(x)=g1x),xe，贝V(x)=-sinx+——--2在区间上单调递减,

°4(1+X)-

.i11911

可得sm—+丁>-----1--=-->o,即“（X）>0在区间上恒成立,

3:31648

5

则9(x)在区间上单调递增，可得0(x)>0(O)=O,即g'(x)>0在区间上恒成立，可知g(x)

在区间上单调递增，则g(x)>g(O)=O在区间上恒成立，令x=

贝iJg1|J=sin(—ln］l+(］〉O,即sing>lng,所以b<c,综上所述，c<6<a.故选A.

9.BCD【解析】对于A,正实数a,6满足a+b=l,即有a+b22〃^,oT^#0<ab<—,当且仅当。=匕=!

42

时取等号，所以4+!=巴心=工24,当且仅当a=匕=’时取等号，所以当。=匕=工时，工+工取得最

ababab22ab

小值4,无最大值，所以A错误；对于B,由选项A可知，0<J法〈色心=2，当且仅当。=匕=工时取

22

等号，所以B正确；对于C,logzQ+log2匕=log2(2，当且仅当a=匕=g时等号成立，C正确；对

于D,2"+2"22，尹=20,当且仅当。=匕=工时等号成立，D正确.故选BCD.

2

10.ACD【解析】以。为坐标原点建立直角坐标系.如下图，设点尸距离水面的高度与时间15)的函数解

=_,

析式为==Asin(69/_+0)+5(A>0o>0,冏<万)，由题意知：/(，)1mx=3，/(^)^1最小

正周期T=60,A=2,B=1,=—=—=—,/.〃0)=2sin0+1=0,即sin/=-/,又由冏v»

及题意，.■.9=—生，/(7)=2sin(二/—工］+1.对于A,令工厂工=工，解得才=20,即点尸第一次

6')U06)3062

7T7T37r

到达最高点需要20秒，A正确；对于B,令土"上=二，解得/=50,B错误；对于C,令

3062

\7171\.八.(7T71]1771717111〃..,八-.,,....

2sin—t--+1<0,即asnin—t-----<—,—<—t---<----,解传4Ar0<%V60,所rr以t水轮转

U06)<306)263066

动一圈内，点尸在水面下方的时间为60—40=20秒，C正确；

对于D,/(30)=2sin二x30—工+l=2sin?+1=2,.•.当水轮转动30秒时，点P距离水面的高度

是2米，D正确.故选ACD.

6

1LACD【解析】连接AC与4G相交于R连接所，因为R£分别为4G，A5中点，所以EF//BQ,

因为EFu平面4EC,Bq■平面AEC,所以BQ//平面^EC,故选项A正确.在正三棱柱ABC—A与

中，平面ABC,又因为CEu平面ABC,则J_CE.又AB,CE,/见AB=A,A、u平

面A44B,A5u平面A44B,所以CEJ_平面A&4B.又因为E4tu平面A4g8,则AgJ.CE,又

AB±CE,可知二面角4—EC—A的平面角为/AEA,贝i］sin*£4=44=2区，故选项B错误.设点

\E5

A到平面A^G的距离为d,取AC中点G,连接BG,则匕_^G=gxS〜1AG><8G=gs%Gxd，又

5AMq=^AAl-A1Cl=BG=BA=BG=4i,AG=b由余弦定理可得cos/ABG=；,

所以sinZ4BQ=^~,所以S^BCi=1A,BxBQxsin.所以

73

S.BG-rV211

d=上A任Ar-----=3=匚,故选项C正确.设△ABC外接圆半径为r,由正弦定理得2r=十，所以

SRG五76

42

.又设三棱柱外接球半径为R,则三棱柱外接球与以△A3C和△4AG的外接圆为底面的圆柱外接球

相同，则氏=『+［四］=居=筌

.故选项D正确.故选ACD.

A

7

12.ABC【解析】因为〃x+l)为偶函数，所以/(—x+l)=/(x+l),所以〃尤)的图象关于直线尤=1对称,

故选项A正确；因为/(—x+l)=/(x+l),所以/(—%)="无+2),又因为〃X+2)为偶函数，所以

/(x+2)=/(-x+2),所以/(—£)=/(—%+2),所以/(x)=/(x+2),所以2为y(x)的一个周期，

故选项B正确；因为/(%+2)=/(—%+2),所以/'(%+2)=—/'(—%+2),所以广⑴的图象关于点(2,0)

中心对称，故选项C正确；因为2为〃龙)的一个周期，又因为〃x+2)=/(r+2),所以/(%)=/(—%),

所以/'(九)=-/'(-尤)，所以/(%)为奇函数，故选项D错误.故选ABC.

13.1【解析】由题意可得：/(-5)=/(-3)=/(-1)=/(1)=log22=l.

144【解析】由1+京=京

「2-sin80°+—cos80°、

与sin80。+6cos80。_（22J_2sinz（8（T+60。）

传sin80°sin80°-sin80°-2sin40°cos40°

2sin40°_sin40°_1

-----，贝！Jcosa=cos40°，。是锐角，―・。=40。.则

2sin40°cos40°sin40°cos40°cos40coscr

sin（a+20。）

2

15.」一【解析】根据题意可得｛4｝各项均不为0,则4-a“+i=。“+14,则二——、=1，故数列J,是

2024an+lan[an]

首项为2,公差为1的等差数列，则工=〃+1,4=」-,故见0,3=」--

16.20万【解析】如图，取AD的两个三等分点。1、E,连接3£),、CE,设BD0xC=H,连接MH,

AH,则=；AD=1,。。=5。=2,又、.BCUAD,：.BCUOQ,所以，四边形BCD。为平

行四边形.OjC=为3。的中点，所以在中，AH=BH=DH=-BD=^3,

2

由勾股定理可得013=^40；+Ag2=2,则。8=在RtZM91A5中，tanZAQB=—=^,

A。1

rrTT

..ZAOXB=-,BC//AD,/CBO1=1,又BC=O[D=O]B,则△。/。为等边三角形，

..OlC=OlB=OlD=2,则。]是△BCD的外接圆的圆心，因为MA=，H为的中

8

TT

点.：.MHLBD,MA=MB，AH=BH,MH=MH，:.AMAH咨ZxMBH,ZMHA=ZMHB=-,

2

MHLAH,又MHLBD,AH=H.MH_L平面ABC。，且"=-毋=3.设0为三棱

锥M-BCD外接球的球心，连接。。］,0M＞OD,则过。作垂足为R则外接球

I

的半径R满足7?2=。0；+22=（3-。01）9一+0力，设。01=x,又0"=彳0］。=1,解得尤=1,从而

R2=x2+22=5,故三棱锥M-BCD外接球的表面积为4兀R?=20».

9q+36d——99,

17.解：（1）设｛4｝的公差为乱则＜

4q+6d=16q+120d,

4——19,

解得《

d=2,

故a“=.=2〃一21.

(2)由(1)可知，S”="%；/)=*—20〃=(〃—10.—100.

当”=10时，S“取得最小值—100.

由s”＜邑+1恒成立，得加2—20加+9940,解得9〈加〈11.

因为meN*,所以机的最大值为11.

所以/(%)=m・n=2sin2

二1-cos2x±+Gsinf2x-^-=2sinf2x-y1+1,

9

TTTTTTTT)7T

由----F2k7i<2x---<——\-2k7i,keZ,得----vkn<x<---\-kji,左wZ

232212

JT54

所以的单调增区间为一三+左巩三+左万，ZreZ.

(2)由〃s)=l,得2sin12s-qJ+l=1,则sin［20x-?J=0,

，八//兀4曰兀/c兀/2①兀兀

由0<x<一，得<2cox<-------，

33333

jr

因为/(。沈)=1(0>0)在0,1上有唯一解，

U匚r、lc/2①7171

所以0<-------<71,

33

得30<2.

2

19.解:(1)函数4了)=炉+浮%2—3X+2,求导得广(==3/+3尔一3.

令3命+3蛇-3<0得一加一而M<x<f+而商,

22

若/(%)在］；，2］存在单调递减区间,

-m+yjm2+41

------------->一,

22

3

解得m<—,

2

所以实数机的取值范围是1-8,|

-m-y/m2+4-m+drn1+4

(2)由/'(x)=0,即I2+鹿;-1=0,解得项x=-----------

2一29

当％<芭或%>%2时，/（x）>0,当玉<%<%2时，/'（x）<。，即函数/（X）在（Y。,%），（%2，+。。）上单调

递增，在（石,马）上单调递减，

-m+Vm2+4

因此函数/（x）在/处取得极小值，于是>m,即J病+4>3m,当切<0时，不等式恒成

2

立；当切>0时，解得0<根<——，

2

10

综上可知，实数机的取值范围是_g,J~.

I2J

20.解：（1）存在，中点即为所求.

证明如下：取3C中点尸，连接C/，取中点8，连接A”，PH,则有PH0LC,PH=^AC.

如图，在等腰梯形AACG中，AC/AG，AC=24G，所以HP/AG，HP=AC1,则四边形

为平行四边形，所以

又A"U平面AAB,C]P<Z平面4A3,所以C]P/平面AA3.

（2）过点8作30'，AC于0',在等腰梯形4ACQ中，AC=24&=2AG=4,所以该梯形的高/?=百，

所以等腰梯形AACG的面积为S=3g,所以四棱锥3—AACG的体积V=；SxBO'=2g,解得

BO'=2,所以点0'与。2重合.

以。2为原点，O2B,O2C,。2。1方向为X,»Z轴正方向建立空间直角坐标系

则C（0,2,0）,5（2,0,0）,4（0,—2,0）,4（。，一1，6），G（0,1,73）,

=（0,1,73）,=（2,2,0）,CC；=（0,-1,73）,BC=（-2,2,0）,

设平面AAB的一个法向量为a=（%,%,zj,

所以即卜+岛=°，取「i,则商=（疯-后1）.

AB.Q=0,12石+2%=0,'7

设平面C[CB的一个法向量为b=（%2，%，Z2），

所以[C£"=°',即卜％+屈2=0,取Z2=l,则石=（退,后1）.

v7

BCb=0,[-2x2+2y2=0,

11

设平面与平面COB夹角为a,

,\a-b\13-3+111

贝！JCOSCC=-――r=—,------,-=—.

同似73+3+1x73+3+17

故平面\AB与平面C]CB夹角的余弦值为1.

21.解：(1)在△A5C中，由余弦定理，

^AC2=AB2+BC2-2ABxBCxcos^=4+l-2x2xlxl-^j=7.

取AC中点N,连接DN,MN.

AD=CD,AD±CD,N为AC的中点，

DN±AC,DN=-AC.

2

ii7

则△ACD的面积S.=-xACxDN=-AC2

△ACD244

(2)设ZABC=c,ZBAC=(3,

M,N分别为边BC,AC的中点，

:.MN〃AB,MN=^AB=1,ZMNC=ZBAC=)3.

在ZiABC中，由余弦定理，^AC2=AB-+BC2-2ABBCcosa=5-4cosa

由正弦定理」町

sinasin/3

„.cBC-sinasin。

得zsin'=------------

AC

在△MZW中,cosNMND=cos(ZMNC+ZCND)=cosf/?+^=-sin0,

由余弦定理，得DM?=MN?+DN?—2MN•DN•cos/MND

11

=l+-AC92+2xlx-ACxsin/?

l+；x(5-4cosa)+2xlx；ACxsin。