2024年高考数学一轮复习第8章第5讲：椭圆（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第8章第5讲：椭圆学生版

【考试要求】1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程2掌握椭圆的简单几何性质（范围、对

称性、顶点、离心率）.3.掌握椭圆的简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点用的距离的和等于赏数（大于甲尸2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定

点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

2.椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

丸

图形

^+^=l（a>6>0）介記l（Ab>0）

标准方程

范围-且一-b〈xWb且一

41（—久0）,。2（圆0）,4（0,—a）,>2（0,〃），

顶点

Bi（0,一b）,&（0,。8i（—AO）,&伉0）

轴长短轴长为四，长轴长为鎮

焦点小】（一c0）,&（gO）a（o,—c）,尸2（0,c）

焦距四尸2尸鉱

对称性对称轴：X轴和V轴,对称中心：原点

离心率e=-（O<e<l）

a

a,b,c的关系层=/+02

【常用结论】

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点尸（xo,次）与两焦点构成的△PQB叫做焦点三角形.如图所示，设NFiPB=e.

第1页共34页

(1)当尸为短轴端点时，。最大，s△甲叫最大.

1n

Q)S&FPF,=-|PFi||PF2|sin0=/72tan-=c[yo].

1-22

(3)1尸Fl|max=a+c，|PB|min=。—c.

[>Fi]+|P可|

(4)|PR|・|PF2|WI2j=/.

(5)4c2=|PF||2+|尸尸2|2—2|尸尸山尸尸21cos6.

(6)焦点三角形的周长为2(“+c).

工思考辨析A

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)平面内与两个定点F1,尸2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(X)

(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(V)

(3)三+W=1(,”W〃)表示焦点在y轴上的椭圆.(X)

(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(X)

工教材改编题：！

1.椭圆看+(=1上点尸到上焦点的距离为4,则点尸到下焦点的距离为()

A.6B.3C.4D.2

答案A

解析由椭圆方程三+二=1,得标=25,即。=5,设下焦点为Q,上焦点为则『冃|

+\PF2\=2a=\0,因为|尸后|=4,所以|PFi|=6,即点尸到下焦点的距离为6.

2.已知橢圆C：5+?=1的一个焦点为(2，°)，则C的离心率为()

A11「也门2yli

A.-oR.-C.---D.---

3223

答案C

解析由已知可得歩=4,c=2,则/=62+C，2=8,所以。=2/，

则离心率=—.

a2

3.若椭圆C：t+q=l，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()

43

第2页共34页

A.3B.2+S

C.2D.3+1

答案A

解析由题意知。=2,b=3,所以c=l,则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3.

■探究核心题型

题型一椭圆的定义及其应用

例1(1)(2022・丽江模拟)一动圆尸与圆4：(x+l)2+V=l外切，而与圆8：(X-1)2+炉=64

内切，那么动圆的圆心P的轨迹是()

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.双曲线的一支

答案A

解析设动圆尸的半径为厂，

又圆/：(x+l)2+V=l的半径为1,圆8：(x-iy+V=64的半径为8,

则|B4|=r+l,|Pfi|=8-r,

可得|别+|P8|=9,又9>2=网

则动圆的圆心P的轨迹是以/,8为焦点，长轴长为9的椭圆.

(2)设点P为椭圆C：，+(=1(G>2)上一点，R,尸2分别为C的左、右焦点，且/£尸乃=60。,

则△Pg的面积为.

答案平

3

解析方法一由题意知，0=山2—4.

又/Q尸尸2=60。，\PF[\+\PF2\=2a,

|尸/2|=2W2—4,

22

A|FIF2|=(\PFtI+\PF2\)~2\PFy||PF2|-2IPF)||PF2|COS60°

=4层一3|PF|||PF2|=4出一16,

二|尸冋|P尸2|=g,

•••S^PFR=，尸~||尸尸2画1160。

_1乂16乂3

——x—x—

232

=撞

3

方法二由题意得〃=4,ZFIPF2=60°,A=4Xtan30°=^.

八厂"23

第3页共34页

延伸探究若将本例(2)中“/FiPB=60°”改成“PFi丄PF2”，求尸2的面积.

解:PR丄PB,

I尸Q|2+尸尸2|2=|尸周2=4(，-4)

—4a2—16,

又|PQ\+\PF2\=2a,\PF{F+|尸尸2卩=(|PQ|+|PB|)2一2|PQ||尸F2I,

.,.|PFI|-|PF2|=8,

5A「風厶=，PB||PF2|=4.

思维升华椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值

和离心率等.

(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

跟踪训练1(1)已知△/BC的周长为12,8(0,-2),C(0,2),则顶点Z的轨迹方程为()

A.J-MxWO)

1216

B.—+-^=l(y^O)

1216V

C.—+-^=1(x^0)

1612

D.—+^=l(y^O)

1612

答案A

解析:△/Be的周长为12,顶点8(0,—2),C(0,2),

/.|5q=4,，阴+0C|=12-4=8,

二点/到两个定点的距离之和等于定值，

又8>4,

二点4的轨迹是椭圆，且a=4,c—2,

：.b2=\2,

椭圆的方程为^—l~L=l(xWO).

1216

(2)(2023•郑州模拟)若F为椭圆C：丘+圧=1的右焦点，A,8为C上两动点,则△羽尸周

2516

长的最大值为()

A.4B.8C.10D.20

答案D

解析如图，设a为椭圆c的左焦点，

第4页共34页

则由椭圆的定义可得尸的周长为|/尸|+医用+=2a—I+2〃一|8尸11+幀身=4a+/现

-\AFy\-\BF\|=20+|Z8|一|4Fi|一|,

当4B,Fi共线时，幀8|一/冋一|5尸i|=0,

当Z,B,E不共线时，以8|一|/尸1|一|5周＜0,

所以△/8F周长的最大值为20.

题型二椭圆的标准方程

命题点1定义法

例2(2023•南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为凡(0,2),22(0,-2),尸为椭圆上任意一点,

若回尸2|是「尸i|,|「3|的等差中项，则此椭圆的标准方程为()

A番+FB导导।

C.J史=1

1612

答案D

解析由题意伊冃|+|尸尸2|=2/出|=8=2”，故。=4,又c=2,贝!|6=23,

焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为《+$1.

命题点2待定系数法

例3己知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P(#,1),巳(一3,一3),

则该椭圆的方程为.

答案

93

解析设椭圆的方程为阳N+犯？2=1(加＞0,/7＞0,且加#〃).

将尸2代入方程，

r6加+"=1,

3加+2〃=1,

解得’1

n——.

3

所以椭圆的方程为止+迷=1.

93

思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

第5页共34页

(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的〃，6.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，

一般可设所求椭圆的方程为加?+"=i(m>o,心°,〃层哂不必考虑焦点位置，用待定系

数法求出加，〃的值即可.

22

跟踪训练2(1)“14<5”是方程“三r+士v=1表示椭圆”的()

k15k

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当方程上+上=1表示椭圆时，必有.5—A0,所以1<上5且％W3,

k—15—k

k-1于5—k,

当lv%<5时，该方程不一定表示椭圆，例如当左=3时，方程变为7+产=2,它表示一个圆,

即“1VK5”是“方程上+上=1表示椭圆”的必要不充分条件.

k~\5-k

(2)(2022-南京师大附中模拟)已知过椭圆三+鸟=1(>6>0)的左焦点万(-1,0)的直线与椭圆交

aLb~

于不同的两点4B,与y轴交于点C,点C,Q是线段48的三等分点，则该椭圆的标准方

程是()

6554

cf+JD*=l

3243

答案B

解析如图，不妨设/(xo,泗)在第一象限，由椭圆的左焦点尸式一1,0),点C,E是线段48

的三等分点,

得C为工为的中点，乃为8C的中点,

所以xo=l,

所以！+豐=1,

解得州=囲，即

a為,12,-3,

所以

第6页共34页

将点B的坐标代入椭圆方程得之+超=1,

ab2

即吃+空=1,

aL4a~

结合〃2—62=巒=],解得。2=5,〃=4,

所以椭圆的标准方程是廿±L

题型三椭圆的几何性质

命题点1离心率

例4（1）（2022•太原模拟）设人，B是椭圆£：，+'=1（心6>0）的左、右焦点，过点石且斜

率为目的直线交椭圆于点尸，若2NPFIF2=NPF2FI,则椭圆E的离心率为（）

A.45+1BA/5—1

n也

C.—D.—

32

答案B

解析因为过点Q且斜率为火的直线交椭圆于点P,且冃，则有/尸吊尸2

3

=30°,NP尸2尸1=60。，

因此，在△PQ尸2中，NQPF2=90。，令椭圆半焦距为c,于是得|PB|=|£B|cos30o=Sc,

|尸尸2|=|尸I尸2|・sin30。=0,

c2

由椭圆定义得2Q=|PK|+|PB|=(S+1)C,则e=-=~F--=-电一1,

a^3+1

所以椭圆£的离心率为3—1.

（2）（2022•全国甲卷）椭圆C：=1伍乂>0）的左顶点为4点尸，0均在C上，且关于y轴

对称.若直线ZP,/。的斜率之积为丄，则C的离心率为（）

4

厶3R也11

A.—B.—Cr.-Dn-

2223

答案A

解析设尸（相，"）（〃W0）,

则。（一"?，n）,易知/（—a,0）,

所以自p•自°=—----2〃2=:（*）

加十Q—m-raa-加/4

因为点尸在椭圆C上，

第7页共34页

所以勺+3=1，得〃2=/（Q2—加2）,

n-厶//7-

思维升华求椭圆离心率或其范围的方法

⑴直接求出a,c,利用离心率公式e=£求解.

a

(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e=\/l—々求解.

(3)构造a,c的方程,可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.

命题点2与椭圆有关的范围(最值)问题

例5(1)(2023•长沙模拟)已知B，B为椭圆三+二=1(。>6>0)的左、右焦点，椭圆的离心

率为；，M为椭圆上一动点，则的最大值为(

兀「2兀

答案

解析如图所示，当点Af为椭圆的短轴顶点时，NFiMF?最大,

：.\MO\^b,\MF^a,|0乃|=以

NOMFz=4,

故/FIMF2=匹,

3

所以NFig的最大值为三.

3

(2)如图，焦点在x轴上的椭圆^十m=1(6>0)的离心率e=L尸，/分别是椭圆的左焦点和右

4bz2

顶点，P是椭圆上任意一点，则两•日的最大值为.

第8页共34页

答案4

解析由题意知a=2,因为e=*=丄，

a2

所以C=l,所以加=/—巒=3,

故椭圆的方程为W+式=1.

43

设尸点的坐标为(xo,次)，一2WxoW2,一3

代入三+£=1,得或=3一3成

434

因为F(—1,0),A(2,0),

所以PF=(一1—xo,—yo)9PA=(2—XQ,—yo),

-*,-*-ii

所以户产—xo—2+京=一斎一xo+1=—(xo—2)2,

所以当祀=一2时，际■•日取得最大值4.

思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.

(2)利用函数，尤其是二次函数.

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

5+,=13>6>0)的左、右焦点分别为Q,

跟踪训练3(1)(2023•镇江模拟)已知椭圆E：F2,

上顶点为/，射线NFI交椭圆E于点8,以48为直径的圆过尸2,则椭圆E的离心率是()

答案D

解析由题意

设则|B产2|=2l,

又以为直径的圆过尸2,

所以/尸2丄

所以“2+(2”一f)2=(a+/)2,

解得-fa,

第9页共34页

所以|83|=*,

在△NFiB和△SAB中，由余弦定理得

COSAAF\F2=~9

a

4c2+-a2——a22?

/cll993c2—a2

cosNBFR=------------------=---------,

__22ac

2,2c-〃

3

因为ZAFiF2+Z5FIF2=180°,

所以cosNZEB+cosNBE尸2=0,

即色+我工0,

alac

整理得标=502,

所以e=£=立.

a5

(2)已知椭圆5+E=l(a>b>0)的右焦点为尸(c,0),上顶点为4(0,b),直线工=必上存在一点

a1b1c

P满足（即+法）•万=0,则椭圆的离心率的取值范围为（)

ria号〕

A.2JB._2J

亚匚，1]（0,闿

C.L2JDL2」

答案C

解析取N尸的中点0,则丽=；（而+法），

所以（而+法）•万=2匝•崩=0,

所以F0丄4P,所以为等腰三角形,

^?\FA\=\FP\,且|砌=並2+廿=%

因为点尸在直线x=Q上，

C

所以|EP|2Q—c,即a》且一c,

CC

所以02《一1,所以e2+e—\20,

ccL

解得心jw年

3一1

又0<e<l,故We<l.

2

第10页共34页

课时精练

E基础保分练

1.（2023•昆明模拟）已知椭圆以=1的两个焦点为尸”Fi，过尸2的直线交椭圆于“，N两

43

点，则△FiMN的周长为（）

A.2B.4C.6D.8

2.（2022•全国甲卷）已知椭圆C：，+，=l（a>6>0）的离心率为，小，在分别为C的左、右

顶点，8为C的上顶点.若丽•互石=-1,则C的方程为（）

A.史+式=1B.M迷=1

181698

C.-+^=1D.-+y2=l

322'

3.（2022•贵阳模拟）已知K,正2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且/£尸F2=30。，『人|

=3|尸乃|，则椭圆C的离心率为（）

A1RICI口3+1

A.-3---—--D.-S---—--C.-电---+--U.-----

4243

4.（2023•濮阳模拟）已知椭圆C：，+1=1（。汕>0）的左、右焦点分别为Fi，F2,直线夕=似公>0）

与C交于M,N两点（其中M在第一象限），若“，R,N,出四点共圆，则C的离心率e的

取值范围是（）

A12JB.l2J

cHID[°当

5.（多选）（2022・重庆模拟）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是

一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2,6=；,则下列结论正确的是（）

A.椭圆的长轴长等于4

B.椭圆的离心率为十

第11页共34页

C.椭圆的标准方程可以是2+q=1

164

D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-23

6.（多选）（2022•白山模拟）椭圆C：q+产=1的左、右焦点分别为Q,尸2,O为坐标原点，以

4

下四个命题中正确的是（）

A.若过点尸2的直线与椭圆C交于N,8两点，则△/8R的周长为8

B.椭圆C上存在点P,使得A戸•示=0

c.椭圆c的离心率为:

D.若P为椭圆/+产=1上一点，。为圆x2+f=i上一点，则点p,。的最大距离为3

4

7.（2022・天津模拟）已知8（一3，0）是圆N：（》一3）2+产=16内一点，点C是圆“上任意一

点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D则动点D的轨迹方程为.

8.（2023•平顶山模拟）已知椭圆C的一个焦点为尸（0,1）,椭圆C上的点到厂的距离的最小值

为1,则椭圆C的标准方程为；若P为椭圆C上一动点，M（3,3）,则FM一/目

的最小值为.

9.已知椭圆C：，+，=1（心6>0），焦点a（—c,0），尸2（c,0）,左顶点为“，点E的坐标为（0,

c）,A到直线EF2的距离为

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若尸为椭圆C上的一点，/FIPF2=60。，△PF1F2的面积为3，求椭圆C的标准方程.

第12页共34页

10.已知Q,B是椭圆的两个焦点，尸为椭圆上一点，NFiPB=60。.

(1)求椭圆的离心率的取值范围；

(2)求证：△QPB的面积只与椭圆的短轴长有关.

第13页共34页

文综合提升练

11.（多选）（2023・长沙模拟）人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地

球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律,

即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距

分别为2”,2c,下列结论正确的是（）

A.卫星向径的取值范围是[a—c,a+c]

B.卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大

C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆

D.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

12.（2022・邯郸模拟）已知椭圆a+（=1的左、右焦点分别为R,B，点尸在椭圆上，设线

段PFi的中点为M,且|。尸2|=|。M|，则△尸尸1尸2的面积为.

巳拓展冲刺练

13.（多选）（2023•青岛模拟）已知椭圆C：的左、右焦点分别是a,

椭圆c上一点，则下列结论正确的是（）

A.△河人尸2的周长为6

B.△MQB的面积为W

2

C.ZWF2的内切圆的半径为千

D.的外接圆的直径为稔

14.甲、乙两名探险家在某山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个

椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的4,8两点处，甲站在4处唱歌时，乙在与/处

有一定距离的8处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个

焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发岀光经椭圆反射后经过另一个焦点.现己知椭

第14页共34页

圆c：丄一+厶1上一点加，过点〃作切线/,A,8分别为椭圆C的左、右焦点，C0SN4WB

10036

=一；，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心。到切线/的距离为

第15页共34页

2024年高考数学一轮复习第8章第5讲：椭圆教师版

【考试要求】1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对

称性、顶点、离心率）.3.掌握橢圆的简单应用.

■落实主干知识

佚口识梳理】

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点Q,尸2的距离的和等于赏数（大于|四尺|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定

点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

2.椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

JL

图形一

X

/卧伍）,+'=1(“*0)

标准方程*0

范围-a〈x<a且一—bWxWb且一

41(—4,0),。2(40)，Zi（O,—4）,力2（0，〃），

顶点

向(0,—b),&(0,b)囱（一帅，星d0）

轴长短轴长为四，长轴长为明

焦点用(一c、0),BGO)尸1（0,一C）,尸2（0,C）

焦距

\FXF2\=2C

对称性对称轴：x轴和y轴,对称中心：原点

离心率e=£(O<e<l)

a

b,c的关系标二按+一

【常用结论】

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P（XO,/）与两焦点构成的△尸尸尸2叫做焦点三角形.如图所示，设/尸|尸危=。

第16页共34页

⑴当户为短轴端点时，価大,5品叫最大.

⑵=^|PFi||PF2|sin9-b2iang=c|yo|.

(3)|PF||max—a+c,|PFl|min=。—C.

.Bi+i/y2rl

(4)|PF||-|PF2|^l2>=/.

222

(5)4c=\PF]\+\PF2\-21P尸山尸尸21cos0.

(6)焦点三角形的周长为2(a+c).

I思考辨析：！

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)平面内与两个定点Q,尸2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(X)

(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(V)

(3)个+*=l(“?Wn)表示焦点在y轴上的椭圆.(X)

(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(X)

【教材改编题〉

1.椭圆吟+三=1上点P到上焦点的距离为4,则点尸到下焦点的距离为()

1625

A.6B.3C.4D.2

答案A

解析由椭圆方程着+，=1,得425,即。=5,设下焦点为Q,上焦点为反，则吗

+|尸园=2a=10,因为|P尸2|=4,所以|PB|=6,即点尸到下焦点的距离为6.

2.已知椭圆C：宗+?=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()

11门2s

AA.-RB-C.—D.-----

3223

答案C

解析由已知可得62=4,C—2,则，=62+°2=8,所以。=23，

则离心率£=-=—.

a2

3.若椭圆C：?+?=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()

A.3B.2+3

C.2D.S+1

答案A

解析由题意知。=2,b=®所以c=l,则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3.

第17页共34页

■探究核心题型

题型一椭圆的定义及其应用

例1（1）（2022•丽江模拟）一动圆尸与圆/：（》+1）2+产=1外切,而与圆8：（》-1）2+产=64

内切，那么动圆的圆心尸的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.双曲线的一支

答案A

解析设动圆尸的半径为r,

又圆4：（x+1）2+户=1的半径为1,圆8：（x—1>+"=64的半径为8,

则以尸r+1,|P5|=8-r,

可得囲|+|尸用=9,又9>2=|明,

则动圆的圆心P的轨迹是以48为焦点，长轴长为9的椭圆.

（2）设点尸为椭圆C：，+?=1（心2）上一点，Fi,用分别为C的左、右焦点，且NFIPF2=6。。,

则△PHB的面积为.

答案4帀

口3

解析方法一由题意知，c—~\la2-4.

又NQPB=60°,|PQ|+『g|=2a,

2

\FiF2\=2yja-4,

二|人尸2|2=（田外|+干尸2|）2一2|PQ||PB|-2|PQ||PB|cos60°

22

=4a-3\PF{\\PF2\=4a-16,

：.\PFt\\PF2\^,

•••SamF2=，PP||PF2|sin600

232

=43

-3

方法二由题意得〃=4,ZF|PF2=60°,A=4Xtan30°=^.

AAT］广23

延伸探究若将本例（2）中“NFiPFz=60。”改成“PFi丄尸尸2"，求△PFE的面积.

解；PFi丄PF2,

2222

/.|PFi|+|PF2|=|FiF2|=4（a-4）

=4层一16,

第18页共34页

又|P为\+\PF^2a,\PFXF+|「外卩=(|尸为|+\PF^-2\PF\||PF2|,

二|尸尸1卜|尸7因=8,

•••S^PFM=，PFI||PF2|=4.

思维升华椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三南形的周长、面积及求弦长、最值

和离心率等.

(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

跟踪训练1(1)已知3c的周长为12,B(0,-2),C(0,2),则顶点4的轨迹方程为()

A.---F匕=l(xWO)

1216v

B止+史=l(yWO)

1216

cf+且=l(x#O)

1612

D.J记=l(y#O)

1612'

答案A

解析•.,△48C的周长为12,顶点5(0,-2),C(0,2),

二|旳=4,,B|+0C|=12-4=8,

...点/到两个定点的距离之和等于定值，

又8>4,

二点力的轨迹是椭圆，且〃=4,c=2,

2

：.b=\29

：.椭圆的方程为式+与=l(x#0).

1216

2,2

(2)(2023•郑州模拟)若尸为椭圆C：2r+±=1的右焦点，/,8为C上两动点，则/周

2516

长的最大值为()

A.4B.8C.10D.20

答案D

解析如图，设Q为椭圆C的左焦点，

则由椭圆的定义可得△N8E的周长为|4F|++1/8|=2a—|4为|+2a—|8冋+=4a+

第19页共34页

-\AF\\-\BF\|=20+\AB\-\AF\\~\BF\\,

当/,B,后共线时,\AB\-\AFy\-\BFy\=0,

当4,B,Fl不共线时，P45|-P4F,|-|5F1|<O,

所以尸周长的最大值为20.

题型二椭圆的标准方程

命题点1定义法

例2（2023•南京模拟）已知椭圆的两个焦点分别为B（0,2）,/2（0,-2）,P为椭圆上任意一点,

若用凡是|「后|的等差中项，则此椭圆的标准方程为（）

B.J日=1

64606460

—D.^+^=l

16121612

答案D

解析由题意|PQ|+|P尸2|=2|F汨|=8=2m故。=4,又c=2,则6=2仍,

焦点在y轴上，故椭圆的标准方程蠅+汁L

命题点2待定系数法

例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点R（#,1）,2（一S，一曲,

则该椭圆的方程为.

2,2

答案3r+T=l

93

解析设椭圆的方程为m/+炉=1（加>0,〃>o,且加

将外，P2代入方程,

6根+〃=1,

得.

3m+2〃=1,

解得’1

〃=一.

3

所以椭圆的方程为《+送=1.

93

思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法

（1）定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，

一般可设所求椭圆的方程为机x2+,沙2=1（机>0,〃>0,加W”），不必考虑焦点位置，用待定系

数法求出m,n的值即可.

第20页共34页

跟踪训练2⑴“1<收5”是方程“上+上=1表示椭圆”的()

k~15~k

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

,,卜一1>0,

解析当方程上+上=1表示椭圆时，必有所以1<上5且％W3,

左一15~k

左一1W5—A,

当1<%<5时，该方程不一定表示椭圆，例如当％=3时，方程变为工2+产=2,它表示一个圆,

即“1<七5”是“方程上+上=1表示椭圆”的必要不充分条件.

k—15—k

(2)Q022•南京师大附中模拟)已知过椭圆三十g=l(a>6>0)的左焦点万(-1,0)的直线与椭圆交

于不同的两点4B,与y轴交于点C,点C,Q是线段N8的三等分点，则该椭圆的标准方

程是（）

A“=[B“=l

6554

C.孕=1D.M迷=1

3243

答案B

解析如图，不妨设4(X0,/)在第一象限，由椭圆的左焦点尸i(一1,0),点C,Fi是线段

的三等分点，

得C为/Q的中点，Q为8c的中点,

所以xo=l,

所以4+普=1,

a1b]

解得州=厶，即41b3

a

所以d”£),h，-3,

将点B的坐标代入椭圆方程得之+叱=1,

eb2

即々+空=1,

a14a-

第21页共34页

结合*—62=。2=1,解得Q2=5,b2=4,

所以椭圆的标准方程卷++L

题型三椭圆的几何性质

命题点1离心率

例4（1）（2022•太原模拟）设3是椭圆氏，+|=15>6>0）的左、右焦点，过点E且斜

率为?的直线交椭圆于点P,若2NPFF2=NPFIFI,则椭圆E的离心率为（）

A.3+1B.y/3-l

门也

C.—D.—

32

答案B

解析因为过点Q且斜率为券的直线交椭圆于点P,且2/尸尸|尸2=/尸尸2尸1,则有NPQB

=30°,/PE2FI=60°,

因此，在△PFiB中，NBPF2=90°,令椭圆半焦距为c,于是得|PE|=|aB|cos3()o=3c,

|PF2|=|FiF2|-sin30°=c,

由椭圆定义得2a=|PB|+|P尸2|=（3+1）c,则c2=3一1,

a3+1

所以椭圆E的离心率为3—1.

（2）（2022•全国甲卷）椭圆C：，+，=1伍>6>0）的左顶点为4点尸，。均在C上，且关于y轴

对称.若直线《尸，力。的斜率之积为丄，则C的离心率为（）

答案A

解析设P（加，〃）（〃#0）,

则0(—〃7,«),易知/(一。,0),

所以匕P•自0=一；；—

m-va-m-vaa—m

因为点P在椭圆C±,

所以笠+&=1,得〃2=勺（层一加2）,

a~b‘a-

代入（*）式，得

所以e=£=t/l-J=g

aMa22

第22页共34页

思维升华求椭圆离心率或其范围的方法

(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=£求解.

a

(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.

(3)构造a,c的方程.可以不求出a,c的具体值，而是得出。与。的关系，从而求得e.

命题点2与椭圆有关的范围(最值)问题

例5(1)(2023•长沙模拟)已知Q,A为橢圆\+，=l(a>6>0)的左、右焦点，椭圆的离心

率为:，M为椭圆上一动点，则尸2的最大值为()

A.-B.-C.—D,—

3234

答案A

解析如图所示，当点M为椭圆的短轴顶点时，NQM尸2最大，

卩

\M

：.\MO\^b,\MF2\^a,|OF2|=c,

...sin/OME=J^=2=L

\MF2\a2

:.ZOMF=-,

26

故/尸

所以NF1W2的最大值为*

(2)如图，焦点在x轴上的椭圆V+芸=13>0)的离心率e=/R/分别是椭圆的左焦点和右

4b2

顶点，P是椭圆上任意一点，则两•法的最大值为_______

小

LF0JAX

答案4

解析由题意知。=2,因为e=£=L

a2

所以C=l,所以〃=a2—,2=3,

第23页共34页

故椭圆的方程为上=1.

43

设尸点的坐标为(觉，/)，-2Wxo<2,f《yod,

代入£■+£=1,得yS=3—

434

因为F(—1,0),4(2,0),

所以7^=(—1—xo,一次)，P4=(2—xo,—/),

-*,—►11

所以尸尸P4=x8—xo—2+历=-x8-xo+1=-(xo—2月

44

所以当xo=—2时，动•日取得最大值4.

思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.

(2)利用函数，尤其是二次函数.

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

跟踪训练3(1)(2023・镇江模拟)已知椭圆氏3+，=l(a>Z»0)的左、右焦点分别为B，F2,

上顶点为/，射线/代交椭圆E于点8,以48为直径的圆过尸2,则椭圆E的离心率是()

厶也小「1口亜

A.-^—a.-3-C.-D.-3-

2325

答案D

解析由题意MBj=|W2|=a,

设则尸2|=2a—t,

又以4B为直径的圆过后，

所以丄

所以a2+(2a—1)2=(a+1)2,

解得t=~a,

3

4

所以|83|=*，

在△NFiB和中，由余弦定理得

COSZ^F,F=-,

2a

4c2+-a2——a2

7272

/。厂厂—99_3c~a

CO