七年级数学上学期期末考试真题汇编（人教版）有理数章末题型（16个题型）（解析版）

专题03有理数章末重难点题型（16个题型）

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一、经典基础题

题型1正负数意义及应用

题型2有理数的相关概念

题型3数集问题

题型4利用数轴求两点间距离

题型5有理数的大小比较

题型6相反数的性质与求法

题型7由绝对值求数

题型8绝对值非负性的应用

题型9有理数加减法乘除再认识

题型10有理数加、减法运算的实际应用

题型U有理数的乘除法在实际问题中的应用

题型12新定义运算

题型13有理数的简算

题型14乘方的应用

题型15新定义运算（乘方）

题型16科学记数法与近似数

二、优选提升题

题型1正负数意义及应用

【解题技巧】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.

例1.（2022•滦州市期末）如图所示的是某用户微信支付情况，-IOo表示的意思是（）

零钱明细

微信红包-100.00

2月1日14:39余额669.27

微信转账+100.00

2月1日14:34余额769.27

微信红包+0.58

1月31日11:19余额669.27

A.发出IOO元红包B.收入100元

C.余额100元D.抢到100元红包

【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解

答即可.

【解答】解：由题意可知，-I(X)表示的意思是发出100元红包.故选：Λ.

【点评】考查用负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提.

变式L(2022∙禁江区期末)秦江区永辉超市出售的三种品牌大米袋上，分别标有质量为

(10+0.2)kg,(10±0.3)kg,(10±0.25)总的字样，从超市中任意拿出两袋大米,它们的质

量最多相差()

A.0.4&gB.0.5依C.0.55kgD.0.6kg

【分析】根据正负数的意义，分别求出每种品牌的大米袋质量最多相差多少，再比较即可.

【解答】解：根据题意可得：它们的质量相差最多的是标有(10±0∙3)依的；

其质量最多相差(10+0.3)-(10-0.3)=0.6(kg).故选：D.

【点评】利用正负数的意义，判别(I0±0.2)kg,(10±0.3)kg,(10±0.25)总的意义是关键.

变式2.(2022•福建三明市•七年级期末)小明练习跳绳，以1分钟跳165个为目标，并把5

次1分钟跳绳的数量记录如下(超过165个的部分记为“+”，少于165个的部分记为“一”)：

—11,-6,一2,+4,+10

(1)小明在这5次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？

(2)小明在这5次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？

(3)小明在这5次跳绳练习中，累计跳绳多少个？

【答案】(1)175个；(2)21个；(3)820个.

【分析】(I)用165加上超过的最大的数字+10,即可解题；

(2)用超过的最大数字+10,减去少于-165最多的数字-11即可；

(3)先用165x5,再将超过和不足165的所有数字相加计算即可.

【详解】解：(1)165+10=175(个)

答：1分钟最多跳175个.

(2)10-(-11)=21(个)

答：1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多21个.

（3）165×5-ll-6-2+4+10=825-5=820（个）

答：累计跳绳820个.

【点睛】本题考查正、负数的实际应用，涉及有理数的加减法等知识，是重要考点，难度较

易，掌握相关知识是解题关键.

题型2有理数的相关概念

【解题技巧】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数;

②正有理数、。和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④

在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上

表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的

绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

例1.（2022•东至县期末）下列说法中：

①。是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称

为有理数；

23

④非负数就是正数；⑤-今不仅是有理数，而且是分数；⑥y是无限不循环小数，所以不是

有理数；

⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数.

其中错误的说法的个数为（）

A.7个B.6个C.5个D.4个

（（正整数

整叫O

【分析】有理数的分类：有理数J1负整数,依此即可作出判断.

分数〈正分""数

I\负分数

【解答】解：①没有最小的整数，故错误；②有理数包括正数、0和负数，故错误；

③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故错误；④非负数就是正数和0,

故错误；

⑤-5是无理数，故错误；⑥y是无限循环小数，所以是有理数，故错误；

⑦无限小数不都是有理数是正确的;⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的.

故其中错误的说法的个数为6个.故选：B.

【点评】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理

数、非负数的定义与特点是解题的关键.注意整数和正数的区别，注意。是整数，但不是正

数.

变式L（2022∙日照七年级期末）下列说法正确的是（）

①任何一个有理数的平方都是正数②任何一个有理数的绝对值都是非负数

③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1

④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0.

A.①④B.②③C.③④D.②④

【分析】根据有理数的定义和特点，绝对值、相反数的定义及性质，对选项进行--分析,

排除错误答案.

【答案】解：①任何一个有理数的平方都不是负数，错误；

②任何一个有理数的绝对值都是非负数，正确：

③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是I或-1,错误

④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0,正确；故选：D.

【点睛】此题考查有理数问题，牢固掌握正数、负数、自然数、整数、倒数、正有理数、负

有理数、非负数的定义与特点.注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数.

题型3数集问题

性质：有理数的分类。注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复

解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会

出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框

图部分的数据。

例1.（2022.广西南宁市.七年级期中）将下列各数填入适当的括号内：

223

—9,-----,—0.314,2020>0>—3—,一TC,66.

78

（1）整数集合｛...｝；（2）负分数集合｛...｝；（3）非负整数集合｛

3

【答案】（1）-9.2020,0,66；（2）-0.314,-3-：（3）2020,0,66.

8

【分析】根据整数、负分数、非负整数的意义，逐个进行判断即可.

【详解】解：（1）整数有：-9，2020,0,66,故答案为：-9,2020,0,66；

.33

（2）负分数有：-0.314,-3∣,故答案为：—0.314,-3/

OO

（3）非负整数有：2020,0,66,故答案为：2020,0,66.

【点睛】本题考查整数集合，负分数集合，非负整数集合，掌握有理数的分类是解题关键.

兀

变式1.（2021•江苏镇江市•七年级期末）下列各数：-1,一,1.01001...（每两个1之间依

2

22

次多一个0）,0,—,3.14,其中有理数有个.

【答案】4.

【分析】根据有理数的定义逐一判断即可.

22

【详解】解：在所列实数中，有理数有-1、0、一、3.14,故答案为：4.

7

【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键.

变式2.（2022•江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：｛1,

2,-3）,我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素.如果一个集合满足：当有理数“

是集合的元素时，有理数-a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集

合.例如集合｛10,0｝就是一个和谐集合.

（1）请你判断集合｛1,2｝,｛-2,1,5,9,12｝是不是和谐集合？

（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）.

（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合.

【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可.

（2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）.

（3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合.

【解答】解：（1）若α=l,则-“+10=9不在集合｛1,2｝内，.∙.｛1,2｝不是和谐集合.

V-2+12=10,1+9=10,5+5=10,：.[-2,1,5,9,12｝是和谐集合.

（2）根据和谐集合的定义可知。+10-4=10,只要集合中两个数之和为10即可，∙.∙l+9=

2+8=3+7=4+6,

Λ｛2,5,8｝和｛1,9,2,8,3,7｝是和谐集合.

（3）V5+5=10,

要使素个数最少，则集合｛5｝,满足条件.

【点评】本题主要考查新定义，利用和谐集合的定义，只要确定集合元素之和等于10即可.

题型4利用数轴求两点间距离

注：距离没有方向性，所以到某点的距离为。的点一般有两个

解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为意味着这个点可

以在参考点左边距离为α的位置，也可在参考点右边距离为。的位置。因此，此类题型一般

有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。

例1.（2022•河南•七年级期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是Icm）,

刻度尺上表示“0cm”、“8c*”的点分别对应数轴上的-2和X,那么X的值为.

-2

∣lHiiIVII

012345678

【答案】6

【分析】根据直尺的长度知X为-2右边8个单位的点所表示的数，据此可得.

【详解】解：由题意知，X的值为-2+（8-0）=6,故答案为6.

【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是确定X与表示-2的点之间的距离.

变式1.（2021.绵阳市七年级期中）己知点。，A,B,C,£＞在数轴上的位置如图所示，。

为原点，OA=OC,AB=CD=2,点8所对应的数为加，则下列结论错误的是（）

ABOCD

-------------••---------------------------------*

m----------0

A.点A所对应的数为加-2B.点C所对应的数为2-加

C.点。所对应的数为4一机D.点A与点。间的距离为6+2加

【答案】D

【分析】根据AB=CD=2,点8所对应的数为m先得到点A所表示的数，进而求出B,

C,D表示的数，进而即可判断.

【详解】：AB=CD=2，点B所对应的数为"?，二点A所对应的数为加一2,

A=OC,•••点C所对应的数为2-机，

，点。所对应的数为4一加，点A与点。间的距离为6-2加，.∙∙D选项错误，故选D.

【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公

式，是解题的关键.

变式2.（2021•广东广州市•七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为-2

和6

（1）求线段AB的长；（2）己知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，

N为PB的中点.请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN

的长；若改变，请说明理由.

---------------------1-------------------1----------------------------------------------------------1-------

AOBX

【答案】（1）8；（2）见解析：MN的长度不会发生改变，线段MN=4.

【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；

（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案.

【详解】解：（I）AB=I-2-6∣=8,答：AB的长为8；

（2）MN的长度不会发生改变，线段MN=4,理由如下：

PMΛ0iX

如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，

…11

所以MA=MP=—PA,NP=NB=-PB,

22

所以MN=NP-MP=LPB--P∖=—（PB-PA）=ɪAB=ɪ×8=4.

22222

【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离

计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键.

题型5有理数的大小比较

解题技巧：(1)正数与正数比较，易于比较；(2)正数与负数比较，正数>0>负数；(3)

负数与负数比较，绝对值大的反而小；(4)如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数

表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，

可以用特值法进行比较。

例1.(2022∙湖南益阳.七年级期末)比较下列各数的大小，并用“<”号连接起来：

-2.5,ɪ,31-∣-3∣>-(-2),0.

【答案】-3<-2,5<0<∣<-(-2)<3

【分析】先把每个数进行化简，再根据有理数的大小排列起来即可.

【详解】解：-∣-3∣=-3,-(-2)=2,

V-3<-2,5<0<^<2<3,

.∙.-∣-3∣<-2.5<0<∣<-(-2)<3.

【点睛】本题考查比较数的大小，准确的把每个数进行化简是解题的关键.

变式1.(2022•云南昆明•七年级期末)按要求解答

(1)把下列各数填在相应的括号内：

221

—,0,一，-0.101001000100001(每两个1之间逐次增加1个0),",-1.26,-(+5),

74

+∣-2∣,0.18

正有理数集合：｛_________________________________

负数集合：｛...｝；

整数集合：｛...｝.

(2)画出数轴，并在数轴上表示下面5个原数，然后比较这5个原数的大小，用“<”号连接.

-(-2),|-3|,0>—4

29I

【答案】⑴万，+|-2|,0.81-0.101001000100001•，-1,26,-(+5).：0,-(+5),

÷H∣...

(2)-4<-∣<0<-(-2)<∣-3∣

【分析】(I)根据正有理数，负数，整数的定义即可判断：

(2)先准确画出数轴，然后在数轴上找到各数对应的点即可.

（I）正有理数集合：｛7，+∣-2∣,0.81｝

负数集合：｛」，-0.101001000100001,-1.26,-（+ʒ））

4

整数集合：｛0,—（+5）,+∣-2∣...｝

（2）在数轴上表示如图所示：

5

-4-20（-2）∣-3∣

»-3・々-彳8彳夕广

:Y<一∙∣<0<-（-2）<∣-3∣

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，相反数，绝对值，数轴，准确地在数轴上找到各数

对应的点是解题的关键.

题型6相反数的性质与求法

性质：”.除0外，一组相反数一定是一正一负。

尻一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）。

c.一组相反数的和为0。

解题技巧：（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b,直接

在这个数前面添加号，在利用多重符号化简的方法化简即可。（2）已知两个含有字母的

数为相反数，利用性质c,将两个数相加和为0,表示成方程的形式，直接解方程即可。

例1.（2022・江苏盐城•七年级期末）2022的相反数是（）

【答案】C

【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数.

【详解】解：2022的相反数是-2022.故选：C.

【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键.

变式1.（2022•广东湛江•七年级期末）下列各组数中，互为相反数的是（）

431I

A.-和一B.-和-0.333C.α和-αD.-和4

3434

【答案】C

【分析】根据相反数（只有符号不同的两个数互为相反数）的定义求解即可.

【详解】解：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得：

只有选项C的两个数符合题意，故选：C.

【点睛】题目主耍考查相反数的定义，深刻理解相反数的定义是解题关键.

变式2.（2022广东惠州市七年级月考）若。与方互为相反数，则。+力+2019=

【答案】2019

【分析】。与b互为相反数，则相加为0,代入代数式计算.

【详解】与｝互为相反数，∙∙.α+b=0,.∙∙t∕+⅛+2019=2019.

【点睛】相反数的性质是本题的突破口，牢记互为相反数和为0.

【点睛】本题主要考查了多重负号的化简，灵活运用相反数的定义成为解答本题的关键.

题型7由绝对值求数

a,a>0

1）由数求绝对值：时一定为非负数，即∣4=∙0,a=0

-a,a<0

2）由绝对值求数

α绝对值为0的数仅有1个，即0;绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负

的数不存在。

/7.绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）

例1.（2022.辽宁朝阳•七年级期末）如果|x-1|=2,那么X的值是

【答案】3或—1##-1或3

【分析】根据绝对值的意义求解即可.

【详解】解：∙.∙∣x-l∣=2,.∙.X-I=i2,

.∙.x=2+l=3或x=-2+l=T.故答案为：3或-1.

【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握该知识点是解题关键.

变式2.（2022・广东潮州•七年级期末）如果∣χ-2I=1,那么X=

【答案】I或3##3或I

【分析】根据绝对值的意义，即可求解.

【详解】解：∙.∙IX—2I=1,.∙.χ-2=±l,.∙.x=l或3,故答案是：1或3.

【点睛】本题主要考查绝对值方程，掌握绝对值的意义，是解题的关键.

题型8绝对值非负性的应用

性质：H>0,即非负性，注：。为任意实数

解题技巧：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0,则每一个非负数必为0”，

即若Ial+∖b∖=0,则IaI=O且Ibl=0.

例L（2022・河北唐山•七年级期末）已知∣α+3∣+9一2）2=0,则（〃+3户9的值为（）

A.2019B.-2019C.D.1

【答案】C

【分析】根据非负数的性质得出关于α,b的方程，然后求出“,人的值，最后代入数据计算

即可.

【详解】解：∙.1α+3∣+e-2)2=0

.*.6Z+3=O,0-2=0,，=-3,h=2,

，(4+6)9=(-3+2严9=T.故选：C.

【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0,这几个非负数都为0.正确掌握

非负数的性质是解题的关键.

变式1.(2022•北京房山•七年级期中)若(α+l)2+∣0-b+4∣=0,则“="=

【答案】->3

【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求解即可.

【详解】解：*.*(«+1)2+∣a-⅛+4∣=0,.*.0+1=0,a-⅛+4=0,

解得a=-l,b=3,故答案为：-1,3.

【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非

负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.

变式2.(2022•陕西宝鸡七年级期末)已知∣α-3∣与(HI):互为相反数，贝IJ-2α+∕√g的值为

【答案】-5

【分析】根据非负数的性质得出关于“，〃的方程，然后求出〃的值，最后代入数据计算

即可.

【详解】解：根据题意，得"3=0，b+l=0,.∙.a=3,b=T,

.•.-2〃+〃侬=-2χ3+(-l)2022=_5.故答案为：-5.

【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0,这几个非负数都为0∙正确掌握

非负数的性质是解题的关键.

题型9有理数加减法乘除再认识

解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加

减乘除法运算规律逐一判别即可。

例1.(2022•吉林白城市•七年级期末)已知数力在数轴上表示的点的位置如图所示，则下

列结论正确的是()

-2Q-b

A.a+b>OB.a-b>QC.⅛+l<0D.a∙b<O

【答案】D

【分析】根据数轴得出“<0<6,∣α∣>∣⅛∣,再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断

即可.

【详解】解：从数轴可知：a<O<b,∣w∣>∣⅛∣,A、a+b<O,故此选项不符合；

B、a-b<O,故此选项不符合；C、不能确定6+1与O的大小关系，故此选项不符合；

D、ab<O>故此选项符合；故选：D.

【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主

要考查学生对法则的理解能力，难度不是很大.

变式I.（2022•广东省初一月考）如果小匕是有理数，则下列各式子成立的是（）

A.如果a<0、b<0,那么a+/?>0B.如果a<0、b>0,那么a+b>O

C.若a>0、b<0,则a+8<0D.若a<0、b>0,且同>网，则a+匕<0

【答案】D

【分析】利用有理数的加法法则判断即可得到结果.

【解析】A、如果。<0、。<0,那么。+匕<0,故A错误；

B、如果a<0/>（）,那么不能判断级+/>的符号，故B错误；

C、若。>0、〃<0,不能判断a+b的符号，故C错误；

D、若aV0,b>0,且∣a∣>∣b∣,那么a+b<O,正确；故选：D.

【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

变式2.（2022•浙江杭州市•七年级期末）在数轴上，四个不同的点A,B,C,力分别表示有

理数4,b,c,d,且α+b=c+d,则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（）

―•■・.・♦

A.ACDBB.CABD

■♦♦♦.▲—4

C."

BDACD.DBAC

【答案】C

【分析】从选项数轴上找出〃、b、c、d的关系，再根据“+b=c+d,逐项判断.

【详解】解：；数轴上4、B、C、。四点所代表的数分别是。、b、c、d,且α+）=c+d,

A、a<c<d<b,可以满足“+方=c+d,故不符合；B、c<a<h<d,可以满足α+h=c+d,故不

符合；

C>b<d<a<c,满足α+b<c+d,故符合；。、d<b<a<c,可以满足“+6=c+d,故不符合；

故选C

【点睛】本题主要考查数轴，有理数的加法运算，解题的关键是根据数轴上的位置得到。、

b、c、d的关系.

题型10有理数加、减法运算的实际应用

解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正

数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正

负数还原为实际数。

（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较

结果，得出结论。

例1.（2021.浙江杭州市.七年级期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将-1,2,-3,4,-5,6,

-7,8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则G+6的值是

【答案】7或-6

【分析】由八个数的和为4及横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等可得，两个圈

的和为2,横、竖的和也是2,从而可设出两空白圈的数，列等式求解即可

【详解】解：设小圈上的数为c,大圈上的数为d

-I+2-3+4-5+6-7+8=4且横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等

两个圈的和为2；横、竖的和也为2.∙.-7+4+b+6=2,2+4+c+b=2,a+c+2+d=2

b=-1，c=-3,a+d=3

当a=8时，d=-5,则α+b=8-1=7

当a=-5时，d=8,则α+A=-5—1=-6故答案为：7或-6

【点睛】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是依据八个数的和与横、纵向以及内外

圆圈上的4个数字之和都相等得到：两个圈的和为2；横、竖的和也为2

变式1.（2021•内蒙古鄂尔多斯市•七年级期末）10袋小麦称重后记录如图所示（单位：千

克）.10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计超过多少千

克或不足多少千克？

91M9191.5H8991.2

HHi

91.38S.7S8.891.891.1

【答案】10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克.

【分析】先求出10袋小麦90千克的增减量，然后相加即可得解.

【详解】解：91+91+91.5+89+91.5+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4(千克)

以90千克为标准，10袋小麦的记录如下：

+1、+1、+1.5、-1、+1.2、+1.3、-1.3、-1.2、+1.8、+1.1,

(+1)÷(÷1)+(÷1.5)+(-1)÷(+1.2)+(+1.3)+(-1.3)+(-1.2)+(+1.8)+(÷1.1)

=(+1)+(-1)+(+1.2)+(-1.2)+(+1.3)+(-1.3)+(+1)+(+1.5)+(+1.8)+(+1.1)

=5.4千克.

答：10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克.

【点睛】本题考查了正负数的意义，读懂题目信息，写出90千克的增减量是解题的关键.

题型11.有理数的乘除法在实际问题中的应用

解题技巧：(1)根据题意列出算式；(2)进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算:

(3)比较结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数

量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，

关键是对操作过程中的某一个量进行赋值(通常为±1),通过对操作过程的量化，讨论理数

正负号变化规律，最终求解出具体问题。

例1.(2022•四川成都•七年级期末)元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一

次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八

折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七

折优惠.小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的

商品，那么她可以节约元.

【答案】55.6或22##22或55.6

【分析】根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解即可.

【详解】解：付款192的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则

商品的标价为192元；付款192的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500

元，按标价给予八折优惠付款，则标价为192÷0.8=240元；

由500x0.8=400,所以付款384的商品没有超过500元，则按规定：若一次购物超过200元，

不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为384÷0.8=480元，

所以某人两次购物分别付款192元和384元的商品的总标价为192+480=672(元)或

240+480=720(元)，

当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若•次购物超过500元，其中500元按上述

八折优惠之外，超过500元部分给予七折优惠进行付款.

总标价为672元应实际付款数=500x0.8+(672-500)×0.7=520.4(元)，

则他可节约(192+384)-520.4=55.6(元)；

总标价为720元应实际付款数=500x0.8+(720-500)×0.7=554(元)，

则他可节约（192+384）-554=22（元）.

故答案为：55.6或22.

【点睛】本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键.

变式1.（2021•浙江台州市♦中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋

上标有“15滴/毫升”.输液开始时，药液流速为75滴/分钟.小华感觉身体不适，输液10分

钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升.

（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间.

【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需

的时间为60分钟.

【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；

（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解.

【详解】ɑ）解：75÷I5=5（毫升/分钟），

250-5×10=200（毫升），

答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；

（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），

160÷4+20=60（分钟），

答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟.

【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关

系，是解题的关键.

题型12新定义运算

解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则,

将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。

例1.（2021.湖南永州市.七年级期末）若“！”是一种数学运算符号,并且1!=1,2!=2x1,

3!=3×2×1,4!=4×3×2×1....则士22021的'值等于（）

2020!

A.2021B.2020C.2021!D.2020!

【答案】A

【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，进而可得出结论.

【详解】解：.∙1!=1,2!=2×1,3!=3×2×1,4!=4×3×2×1,

2021!2021×2020×2019×...×l……，

----------=-------------------------------=2021故选A.

2020!2020×2019×...×l

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

变式1.(2021•湖南张家界市•七年级期末)规定一种新运算“※”，两数”,b通过“※”运算得

伍-2)x2+。即“※b=("-2)x2+b,例如：3X5=(3-2)x2+5=2+5=7.

根据上面规定解答下题：(1)求6※(-4)的值；(2)6※(一4)与(一4你6的值相等吗？请说

明理由.

【答案】(1)4；(2)不相等，理由见解析

【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；(2)分别求出各自的值，比较即可.

【详解】解:(1)6※(-4)=(6—2)x2+(-4)=8—4=4.

(2)不相等.

理由：Y6※(-4)=4,

(-4)X6=(-4-2)x2+6=-6,

.∙.6※(一4)与(一4)X6的值不相等.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算,解题的关键是理解所给运算的意义,注意运算顺序.

题型13有理数的简算

解题技巧：(1)有理数的简便运算一般运用加法(乘法)的运算律或减法(除法)的性质，

达到简便运算的目的。(2)利用乘方的运算性质Mb，：=(ab)",将可以凑整的部分先放

在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。

例1.(2022•广东中山市•七年级期中)运用简便方法计算。

435124

(1)0.7×l-+2-×(-15)+0.7×-+-×(-15)(2)-19—×(-5)

4

【答案】(1)-43.6：(2)99-.

【分析】(1)先利用有理数加法的交换律与结合律，再利用有理数乘法的分配律，然后计算

24

有理数的乘法与减法即可得；(2)先利用有理数乘法法则去掉负号，再将19石改写成

20--L,然后利用有理数乘法的分配律进行计算即可得.

25

【详解】(1)原式=[o.7xl§+O.7Xg卜卜15)+1X(—15),

(31、

+2上+,×(-15),

44jv7

=0.7×2+3×(-15),

=1.4—45，

=-43.6；

24

(2)原式=19—χ5,

=20×5---×5，

25

=100」，

5

4

=99-.

5

【点睛】本题考查了有理数加法的交换律与结合律、有理数乘法的分配律等知识点，熟练掌

握各运算法则和运算律是解题关键.

变式1.(2022•大庆市初一开学考试)计算(橙)2022χ0.62022的结果是()

【答案】C

55353

【解析】(一)2022χ0.62O22=(N)2O22χ(-)2O22=(±.×_)2022=]故选：C

33535

【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，逆用积的乘方法则是解题的关键.

变式2.(2022.郑州市中原区第一中学七年级月考)阅读下面文字：

5231

MT(-5-)+(-9-)+17-+(-3—)

6342

可以如下计算：

5231

原式=K-5)+(--)]+[(-9)+(--)]+(17+-)+[(-3)+(--)]

6342

5231

=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(--)+(--)+-+(--)]

6342

1

=0+(-1-)

4

1

=-1-

4

上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？

仿照上面的方法，计算：(-2020：)+2019：+12018|)+2017；

【答案】-21

【分析】先仿照题目给出的方法把每一项拆成两项，再根据有理数的加法法则和加法运算律

解答即可.

【详解】解：1-2020：1+20吟+卜20吟)+20吗

{(—2020)+(q]+(2019+扑(-2018)+^-1]+(2017+g

ɪ[(-2020)+2019+(-2018)+2017]+f-∣j+∣+f-∣j+∣

=(-2)+

【点睛】本题考查了有理数的加法，正确理解题意、熟练掌握加法法则和加法运算律是解题

的关键.

变式3.(2022・四川内江七年级期中)观察下面算式的演算过程：

2

1+二心」=二112×4+l93

1×31×31×31×32×42×42×42x4

2

ɪ,T___1_=_4_×_6__+_l___2_5____5__

3×53×53×53×54×64×64×64×6

(1)根据上面的规律，直接写出下面结果:

1+

1+1⅛

5^7

("为正整数)

2〃X(2〃+2)

(2)根据规律计算:

α+⅛×0+11—1—)x(1+―ɪ-).

)×d+)×d+-----)×∙∙∙×(1+

2743^54x698×10099×101

6272(2〃+I)?200

【答案】（I）----,;(2)-----

5^76×82〃X(2N+2)--------101

【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；

（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得.

5x7+136_62

【详解】（1）1+二一

5x75x7577^5^7

2

ɪ1T___1_=_6_x_8__+_1=__4_9_=__7__

6×86×86×86×8

1+_______1______=_2__∕?__X_(_2_/_7_+__2__)_+__1=____(2__〃__+__1_)2___

2〃X(2〃+2)2〃X(2〃+2)2n×(2n+2)

«272(2〃+Ip

故答案为：_2_

5x76×82n×(2n+2)

22324252992IOO2

(2)原式=---×-----X-----------X-----------XX------------------X------------------

1x32x43x54x698×10099x101

22χ32χ42χ52χx992χlθ()2

(1×2×3×4××98X99)×(3×4×5×6××IOOx101)

22χ32χ42χ52χχ992χlθ（）222XlOO2_200

-1×2X100×101×32×42×.∙×982X992^l×2×100×101ɪθɪ,

【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律

是解题关键.

题型14乘方的应用

解题技巧：（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的基比较大，且无简单计算方法,

直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数

的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找

出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。

（2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形

入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要

求计算结果。

例1.（2022•贵州）观察下列算式：

3∣=332=933=2734=8135=24336=7293?=2187用你所发现规律写

出32°"的末位数字是（）

A.3B.9C.7D.1

【答案】C

【分析】先由已知算式可发现，每四个式子为一个循环，再计算2019÷4的余数即可得出

答案.

【解析】由己知算式可知，每四个式子为一个循环，末位数字依次为3,9,7,1

2019+4=5043则3?(M9与每四个式子中的第三个式子的末位数字相同，即末位数字为

7故选：C.

【点睛】本题考查了有理数乘方的规律题，依据已知算式，正确发现规律是解题关键.

变式1.(2022•浙江杭州市•七年级期末)我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二

进制数(只有数码O和1),它们两者之间可以互相换算，例如将(101)2,(IOll)2换算成十

进制数应为：

20

(IOl)2=1×2+Ox2'+l×2=4+0+1=5；

320

(1011)2=l×2+0×2+1×2'+l×2=8+0+2+1=11.

按此方式，将二进制(IOOl)2换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为

()

A.17,(IlOl)2B,9,(HlO)2C.9,(IlOl)2D.17,(HlO)2

【答案】C

【分析】首先理解十进制的含义，然后结合有理数运算法则计算出结果，然后根据题意把

13化成按2的整数次暴降基排列，即可求得二进制数.

【详解】解：(IOOl)2=1×23+0×22+0×21+l×20=9.13=8+4+1=1×23+l×22+0×21+l×20=(HOl)

2故选：C.

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，理解十进制的含义，培养学生的理解能力.

题型15新定义运算(乘方)

【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算程序,将数值代入，

转化为常规

的有理数混合运算算式进行计算.

例1.(2022•江苏初一期中)已知m>2,n>2,且m,n均为正整数，如果将m"进行如

图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有()

1

3

<1

35

7□

V39□

5u4i□

72□

<5

9

2297

①在25的“分解”结果是15和17两个数.②在42的“分解”结果中最大的数是9.

③若加的“分解”结果中最小的数是23,则机=5.④若3"的"分解”结果中最小的数是79,

则n—5.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据所给的例子的分解方法中找出加'分解的规律,其中最小的数是

zπ"=〃z"T一〃7+1,从而可判断出②④正确.

【解析】①在25的“分解”中最大的数是2$T+1=17,