2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022∙2023学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

2,若一组数据为1,3,4,6,7,10,13,则这组数据的第70百分位数为（）

A.4B.5C.6D.7

3.在三棱雉A-BCD中，Z∖4BC,ABCD均为等边三角形，BC=2,∆ACD=90o,M为ZD的

中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值为（）

A.0B.苧C.?D.1

4.4队共有甲、乙两名队员回答某道题，有1人答出则此题回答正确，甲答出的概率为之，乙

答出的概率为士则此题4队回答正确的概率是（）

O

A.ɪB.ɪC.~D.ɪ

lɔOɔL

5,某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200,1000,800,按年级进行分层，用

分层随机抽样的方法抽取一个容量为30的样本，调查全校学生的睡眠时间.高一年级抽取的学

生的平均睡眠时间为8.5小时，高二年级抽取的学生的平均睡眠时间为7.8小时，三个年级抽

取的学生的总平均睡眠时间为8小时，则高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为（）

A.7.2小时B.7.3小时C.7.5小时D.7.6小时

6.在平行四边形ZBCD中，乙4=60o,AB=I,AD=2,将△力BD沿BD折起，使得平面4BD1

平面BCO,则B到平面ACo的距离为（）

A.=B.?C.WD.?

3232

7.已知AABC的外接圆为圆。，圆。的直径4B=IO,且荏.而=64,则方•方=（）

A.80B.64C.48D.32

。这个电器元件出故障的概率分别为去按下图的两种连接方式，

8.A,B,C,4ɪp1,p2,

图一连通的概率为胃，图二连通的概率为会，其中电路是否连通只与电器元件是否出故障有

关，则P1+P2=()

r÷3)-1

-----®

图二

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9,若复数z=m'-2m-3+√7n+li（τn∈R）,则下列说法正确的是（）

A.若Z为实数，则m=-lB.若Z为纯虚数，则m=3或一1

C.z在复平面内对应的点不可能在第二象限D∙z在复平面内对应的点不可能在第三象

限

10.甲投篮5次，事件4="恰命中2次"，事件B="第3次未命中”，则与事件力UB互斥

的事件是（）

A.仅第3次命中B.第3次命中且总命中次数为2

C.第1，3,5次命中D.第2,4,5次命中

11.若以-4%+5=0（xt）为复数），则下列各选项正确的是（）

rOR

A.X0=2±iB.X0=4C.就+密=8D.xg-24x0=-55

12.在正方体ABCD-AIBICIZ）I中，AB=2,E,F,G分别为CMI,CCi，BC的中点，则（）

A.A1E,BF为异面直线

B.平面EFG截正方体所得截面的面积为

C.EG〃平面4ClB

D.A1FLDE

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知I菊=1,∣G∣=2,α∙K=∣,则（五一石）.（五+23）=.

14.若一组10个数据%,f⅛,∙∙∙,ɑ∕的平均值为3,方差为11,则研+谴+…+α%=.

15.在平行四边形ABCO中，Co的中点为E,4E交BD于F,CP=xCβ+yCE,则x+y=

16.已知某圆台的体积为（18+6，2）兀，其上底面和下底面的面积分别为3兀，6π,且该圆

台两个底面的圆周都在球。的球面上，则球。的表面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知复数Z满足IZ+2i∣=5,z=α+(3-ɑ)i(ɑ>0).

(1)求a；

(2)若复数Zl满足Zl(Zl+2)=α+23求Zr

18.(本小题12.0分)

甲袋中有3个球，2个红球1个白球，乙袋中有3个球，1个红球2个白球，从甲、乙两袋中随机

各取1个球.

(1)求这2个球为1个红球1个白球的概率；

(2)从甲、乙两袋中取出的2个球都放入甲袋，再从甲袋中随机取1个球，求该球为红球的概率.

19.(本小题12.0分)

某商品50天日销量(单位：件)的频率分布直方图如图所示.

(1)求7∏;

(2)估计该商品50天日销量的中位数(结果保留一位小数)；

(3)估计该商品50天日销量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表).

20.(本小题12.0分)

己知A(4,0),F(l,τn)(m>0),|同∣=5∙

⑴求?n；

(2)若点C,M满足或=(-1,-I),丽=XM+(2-x)瓦f(O为坐标原点)，求I而I的最小

值.

21.(本小题12.0分)

已知四棱锥P-ABCD的体积为1,底面力BCD为平行四边形，E,F分别是PB,PC上的点，PE=

EB,PF=2FC,平面AEF交CO于点G.

(1)求等;

OL

(2)求多面体4BCGFE的体积.

22.(本小题12.0分)

o

如图，在三棱台4BC-AIBICl中，BB11平面4BC,乙ABC=90,AB=BC=4,A1B1=2,

BB1=2√1.

(1)证明：BClIAiC；

(2)求AlB与平面4CCv4ι所成角的正弦值.

B

答案和解析

1.【答案】B

(l+2i)(l+3i)1,1.

【解析】解：普+l

1—ɔl10-22∙

故选：B.

根据复数四则运算法则计算即可.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解:因为7X70%=4.9,

所以这组数据的第70百分位数是第5个数据，为7.

故选：D.

将数据数量值乘以百分比即可得出答案.

本题考查百分位数，属于基础题.

3.【答案】A

【解析1解：如图，取BD的中点N,连接CN,MN,则MN〃/1B,

异面直线力B与CM所成角即为异面直线AB与CM所成角，

而异面直线力B与CM所成角的余弦值为ICOSZNMCI,

因为A4BC,ABCD均为等边三角形，BC=2,

所以AB=AC=BC=BD=CD=2,

在ANMC中，MN=^AB=1,CN=√BC2-BN2=√3,

因为NACO=90。，所以AD=√AC2+CD2=2尸,所以AM=2AD=

CM=K所以CENMC=⅛^=⅛⅛⅛=0∙

故选：A.

取BD的中点N,连接MN,CN,由题意可知异面直线AB与CM所成角的余弦值为ICOSNNMC求

出NM,MC,NC,由余弦定理求解即可.

本题考查异面直线所成的角，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】解：根据题意，A队中，甲答出的概率为:，乙答出的概率为:，

ɔO

则甲、乙答不出的概率分别为士

ɔO

故A队答出的概率为l-gx*="

ɔOɔ

故选：C.

根据题意，求出甲、乙不能回答问题的概率，由对立事件的概率性质分析可得答案.

本题考查概率的应用，涉及互斥事件、相互独立事件的概率计算，属于基础题.

5.【答案】C

1

【解析】解：由题意得抽样比为1200+需。+8。。Ioo

则高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为1200X击=12,1000X击=Io,80OX击=8,

设高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为久小时，由8x+10×7.8+12X8.5=30×8,得X=7.5

小时.

故选：C.

先求出抽样比，根据抽样比求出高三年级抽取的学生的平均睡眠时间，再根据三个年级抽取的学

生的总平均睡眠时间为8小时列式可求出结果.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由乙4=60。，AB=1,AD=2,得BD?=AB2+

AD2-2AB-AD-cos600=l+4-2xlx2xg=3,BD=

/3.

则AB2+B∑)2=4。2,ABlBD,又四边形ZBCC为平行四边

形，•••BDICD,

•••平面4B。1平面BeD,平面4BDn平面BCO=BD,CDU平

面BCD,

.∙∙CD_L平面4BD,又∙∙∙CCu平面"C,.∙.平面4CD1平面ABZ),

在平面48。内，作8HJ.4。于点H,•；平面ACOI平面AB0,平面ACon平面48。=4。,

BH_L平面ACD,则BH即为所求点B到平面HCC的距离，

在直角三角形ABD中，AB1BD,又BHJ.4D,

ABBD_£3

MAD・BH=：ABBD=BH

8到平面4C。的距离为?.

故选：D.

计算可得BDJ.CD,结合平面4BD_L平面BeD,得CD，平面4BD,平面ACn_L平面4BD,在平面4BD

内，作BH，4。于点H,贝IjBH即为所求点B到平面ACC的距离，计算可得结果.

本题主要考查点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：圆。的直径AB=10,二4CJ.BC,/

二通•衣=照+函加=E=64，/\/\\

得∣H∣=8.取AC的中点M,则OMIac,Oy

.∙.C0CA=(CM+M0)-CA=CM-CA=∣CM∣∙∣CΛ|=32.\/

故选：D.--------/

由题意知AC_LBC,从而可得而.而=旅2=64，g∣J∣^C∣=8,取4C的中点M,可得方∙g?=

(CM+≡)∙G4,由数量积的定义求解即可.

本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由图一得(ITX勺(I-PlP2)=祟

⅛S-⅛(l-p2)(l-i×∣×p1)=g,

解得F=：，故P1+P2=2

IDo=-

故选：C.

根据独立事件的概率乘法公式，建立方程，可得答案.

本题考查了独立事件的概率乘法公式，是基础题.

9.【答案】AD

［解析］解：z=m2—2m—3+√m+lt(m∈R),

对于4若Z为实数，

则√m+1=O=Wi=-I,故A正确；

对于8,若Z为纯虚数，

则匕匕二普一：=°,解得m=3,故8错误；

Wm+1≠0

对于C,因为√τn+1≥0,

所以Z在复平面内对应的点不可能在第三象限，C错误，D正确.

故选：AD.

根据已知条件，结合实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：4UB的对立事件为In后，

与AU8互斥的事件应为］n后的子事件，

即“总命中次数不是2次且第3次命中”，

故只有AC符合.

故选：AC.

根据互斥事件的定义逐一分析即可.

本题考查了互斥事件的定义，是基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：因为就-4xo+5=O,所以X。一2=±i,所以XO=2±i,故A正确；

因为就—4%0+5=0,且XO=2±i≠z0,所以Xo+'=4,故B正确；

ɪo

因为X。+1=4,所以(%o+*=16,所以其+套+10=16,所以由+缁=6,故C错误;

2

因为就—4x0+5=0,所以说=4x0—5,则端—24x0=(4x0—5)—24x0=16xθ-64x0+25

=16(xg-4x0)+25=16×(-5)+25=-55,。正确.

故选：ABD.

根据已知，利用复数概念、性质计算求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解：如图所示,

易得EF〃A$,即&E,BF在同一平面，A错误；

平面EFG截正方体所得的截面是边长为。的正六边形，

该正六边形的面积为3/3，B正确；

易证EF//平面AiBCi,尸G//平面A】Be1，XfFCiFG=F,

则平面EGF〃平面

因为EGU平面EFG,

所以EG〃平面C正确；

易证DlFIDE,又DEIAlD1，A1D1HD1F=D1,

则OE_L平面4。#,

则。E14ιF,。正确.

故选：BCD.

根据图形易得EF〃&B,即4E,B/在同一平面，A错误；平面EFG截正方体所得的截面是边长

为々的正六边形，8正确；平面EGF〃平面C正确；DEL平面AlDlF,。正确.

本题主要考查直线与平面平行，平面的基本性质及推论，异面直线的判定，属中档题.

13.【答案】-ɪ

【解析】解：因为I五∣=1,∣b∣=2,a-b=-f

222

所以f=∖a∖=I1K=∣b∣=4>

所以①一办0+2垃=α2+α∙h-262=l+∣-8=-y.

故答案为：一孩■.

利用数量积的运算法则将(日一方>(五+2W展开，结合方2=吊|2=I,/=|司2=4求解即可.

本题考查向量的数量积，解题关键是熟练掌握数量积公式，属于中档题.

14.【答案】200

【解析】解：若一组10个数据%,。2，…，臼。的平均值为3,

ccrιal+α2+∙∙∙+α10ɔ

所以----R-------=3,

即Q[+。2+.・・+。10=30,

不妨设这组数据的方差为S?,

22-2

此时IOS2=(ɑɪ-3)+(a2-3)+,•,+(ɑɪo3);

BPlO×11=(ɑɪ+谖+…+a彳0)—ð(ɑɪ+Q，2+…+ɑɪŋ)+90,

则a；+aj+…+研O=110+6×30-90=200.

故答案为：200.

由题意，根据平均数和方差的计算公式，进行求解即可.

本题考查平均数和方差，考查了逻辑推理和运算能力.

15.【答案】I

【解析】解：连接CF,因为ZBCD是平行四边形，所以。C〃4B,

所以ADEF7BAF,所以*=有=3，

rbAbL

4

得而=CB-I-SF=CB-F∣β^=CB+I(CD-CS)=∣CB+3-CT

所以％=/y=,，得％+y=g∙

故答案为:|.

根据平行四边形的性质，结合相似三角形的判定、平面向量基本定理进行求解即可.

本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.

16.【答案】ɪ

【解析】解：设该圆台的高为/1,则（18+6。）兀=,九（3兀+73τrx6兀+6τr）,解得九=6.

设圆台上、下底面半径为万，所以万斤=3兀，πr∕=6π,解得：0=√^6rι=ʌfɪ

当圆台的上、下底面在球心的两侧时，

设球心。到下底面的距离为3球。的半径为R,

则t2+债=（6一t>+*=R2,所以d+6=（6—£）2+3,解得t=*,

则R2=（?）2+6=芟L+6=芸，故球。的表面积为4兀/?2=等.

v416164

当圆台的上、下底面在球心的同侧时，

设球心。到下底面的距离为X,球。的半径为R,

则/+修=（6+吟2+号=/?2,所以/+6=（6+X）2+3,解得：x=-⅛不符合题意.

4

故答案为：等.

由圆台的体积公式求出圆台的高八,再由圆的面积公式求出圆台上、下底面半径,讨论当圆台的上、

下底面在球心的同侧时不满足题意，当圆台的上、下底面在球心的两侧时，设球心。到下底面的

距离为t,球。的半径为R,由t2+6=（6-t>+3,解方程求出3即可求出R,再由球的表面积

公式求解即可.

本题考查圆台与球的结构特征及其体积，表面积，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由题意得z=α+(α-3)i,

z+2i=Q+(Q—l)i,

所以Q2+(α-1)2=25=Q=4或Q=-3(舍去),

故Q=4；

(2)设Zl=%+yi[x,y∈R),

22

则Zlil=X2+y2,x+y+2(x+yj)=4+2i

所以层[I+?”=',解得Cw或I；：二,

所以Zl=1+i或—3+i.

【解析】(1)根据复数的模长公式即可求解.

(2)根据复数相等的充要条件，即可列方程组求解.

本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题.

18.【答案】解:⑴记事件&=甲袋取红球且乙袋取白球，则P(4ι)=∣x∣=%

事件&=甲袋取白球且乙袋取红球，则P(4)=X2/

所以这2个球是1个红球1个白球的概率为P(4ι)+P(∕I2)=

(2)该事件等同于“从乙袋中任取1个球放进甲袋，再从甲袋中取1个球，且该球为红球”，

所以所求事件的概率为£x,+,x;=5∙

343212

【解析】(1)由题意可知2个球为1个红球1个白球可以是：甲袋取红球且乙袋取白球或甲袋取白球

且乙袋取红球，分别求出其概率即可；

(2)该事件等同于“从乙袋中任取1个球放进甲袋，再从甲袋中取1个球，且该球为红球”，进而可

以求出结果.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，(0.026+0.020+0.016+2m+0.010)×10=1,

解得Tn=0.014；

(2)设该商品50天日销量的中位数为X件，

因为第一组和第二组数据的频率之和为(0∙014+0.020)X10=0.34<0.5

第一组、第二组和第三组数据的频率之和为0.34+0.026X10=0.6>0.5,

所以x∈[4Q50),

则0.34+(X-40)X0.026=0.5,

解得X≈46.2；

(3)该商品50天日销量的平均数的估计值为(25X0.014+35X0.020+45X0.026+55X

0.016+65×0.014+75×0.010)×10=47.6.

【解析】(1)根据频率之和为1即可求解；

(2)根据中位数的计算公式结合条件即得；

(3)根据平均数的计算公式即可求解.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和中位数的计算，属于基础题.

20.【答案】解：(1)由I荏I=5，可得32+T∏2=25,又τn>0,.∙.m=4.

(2)由B(l,4),BCr=(-1,-1),可得点C坐标为(0,3),

所以丽=xO^+(2-x)O?=x(4,0)+(2-x)(0,3)=(4x,6-3%).

222

.∙.∖OM∖=716X+9(2-X)=√25x-36x+36=J25(x-撒2+签,

∙∙∙χ∈R,.•・当X=票时，I而I取最小值，最小值为「整=言

【解析】(1)由向量模长得到关于Tn的方程，求解即得；

(2)首先求出点C坐标，进而得到宿的坐标，表示出模长，配方求得最小值.

本题考查平面向量的坐标运算，属基础题.

21.【答案】解：（1）如图，延长EF,BC交于点H,取PC的中点Q,连接EQ,贝IJEQ〃BH,

由图可知，AEQIHCF,嘲喑=等=字T

ʌCH=2EQ=BC,

连接AH,则G